2021-2022学年重庆市高一（下）期末数学试卷（附答案详解）

202L2022学年重庆市高一（下）期末数学试卷

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）

1.复数盘的虚部是（）

A.一：B.：C.D.1

222

2.设向量五=（2,1）,b=（3,m）＞21后,则m=（）

A.-6B.--C.--D.-

262

3.设空间中的平面a及两条直线a,b满足aCa且bua,贝U“aCb=是“a〃a”

的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.某地区对居民用电实行阶梯电价以提高能源效率，统计该地区每户居民月均用电量,

得到相关数据如表：

分位数50%分位数60%分位数70%分位数80%分位数90%分位数

户月均用电量

150162173195220

（单位：kW-h）

如果将该地区居民用户的月均用电量划分为三档，第一档电量按照覆盖70%的居民

用户的月均用电量确定，第二档电量按照覆盖90%的居民用户的月均用电量确定，

则第二档电量区间为（）

A.(162,173]B.(173,195]C.(173,220]D.(220,+8)

5.已知△河的面积考荏.宿则如C=（）

.7T

A.76B.4C.3D.—3

6.在正方体48C。-48也1。1中，与直线AB】不垂直的直线是（)

A.B.BCC.ArDD.BDr

7.已知某圆台上下底面的面积之比为1：9,侧面积为詈，母线长为2,则该圆台的高

为（）

A.2B.延C.JD.1

33

8.从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，则恰好抽到一对夫妇的概率为（）

二、多选题(本大题共4小题，共20.0分)

9.关于复数z及其共也复数3,下列说法正确的是()

A.z+zERB.|z|=|z|C.\z'z\=z2D.z•z=|z|-|z|

10.设平面向量|五|=1,\b\=2,至在五方向上的投影向量为乙贝人)

A.a-c=c-6B.a•b=a-c

C.|a-c|<2D.ac=|a|-|c|

11.已知100个零件中恰有2个次品，现从中不放回地依次随机抽取两个零件，记事件

4="第一次抽到的零件为次品"，事件4=“第二次抽到的零件为次品”，事

件4=”抽到的两个零件中有次品"，事件B="抽到的两个零件都是正品”，则

()

A.P(&)=P(%)

B.P(A)=P(勺)+P(a)

C.PQ4UB)=P(A)+P(B)

D.P(B)=(1-P(•))•(1-P(4))

12.某学校规定，若五个工作日内学校某天有超过3个人的体温测量值高于37.5汽，则

需全员进行核酸检测.该校统计了五个工作日内每天体温超过37.5久的人数，则根

据这组数据的下列信息，能断定该校不需全员进行核酸检测的是()

A.中位数是1,平均数是1B.中位数是1,众数是0

C.中位数是2,众数是2D.平均数是2,方差是0.8

三、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在AABC中，BC=V2，AC=2,Z.BC4=―,则AB=

14.如图，边长为2的正方形AB'C'。是用斜二测画法得到的四

边形4BCD的直观图，则四边形4BC。的面积为.

15.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，则点数之和为8的概率是

16.如图，4BCD是棱长为6的正四面体，E,F为线段48的三

等分点，G,H为线段CD的三等分点，过点E,F,G,H分

别作平行于平面BCD,平面4CD,平面4BD,平面4BC的

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截面，则正四面体4BCD被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为

四、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.在△ABC中，AB=3,AC=2,4=会点。，E分别在边48,8c上，且荷=而，

BE=2FC，设

—XTLB+yAC-

(1)求x,y的值;

(2)求|屁

18.某学校派出甲、乙、丙三名同学参加英语演讲比赛，已知甲、乙、丙三人晋级的概

率分别为gj|,且三人是否晋级彼此独立.

343

(1)求甲、乙、丙三人中至少有一人晋级的概率；

(2)求甲、乙、丙三人中恰有两人晋级的概率.

19.如图，在正三棱柱中，M,N分别为棱A&,BC的中点.

(1)证明：AN〃平面BMC1；

(2)证明：平面BMC11平面BBiGC.

20.学校统计了高三年级1000名学生的某次数学考试成绩，已知所有学生的成绩均在

区间［100,150］内，且粮据统计结果绘制出如下频率分布表和频率分布直方图.

分组频数频率

[100,110)0.05

[110,120)

[120,130)400

[130,140)0.3

[140,150]0.1

合计10001

(1)求图中a的值；

(2)试估计这1000名学生此次数学考试成绩的中位数.

21.如图1,在梯形4BCD中，AB//CD,AD1DC,2AB=2AD=CD=4,将△4DB沿

DB折成如图2所示的三棱锥P-DBC,且平面PDB1平面DBC.

(1)证明：PD1BC；

(2)设N为线段PC的中点，求直线DN与平面PBC所成角的正切值.

22.如图，边长为2的等边448。所在平面内一点£»满足而=1荏(£>0),点「在边8。

上，|而|=?n.APDB的面积为百，记五=荏，b=AC-

(1)用五，石及m表示正；

(2)求方•丽的最小值.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•••会=»夕，.••复数士的虚部是《

故选A.

先将复数化简击=：一夕，再确定其虚部.

本题主要考查复数的除法运算，考查复数的概念，属于基础题.

2.【答案】A

【解析】解:1••a=(2,1).b=alb，

•••2x3+1X771=0,解得zn——6.

故选：A.

根据已知条件，结合向量垂直的性质，即可求解.

本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：当anb=0时，,两条直线a,b满足aa且bua,

a与a可能相交，故充分性不成立，

当a〃a时,aCa且bua,

aCtb=0,

故"anb=是“”/a”的必要不充分条件.

故选：B.

由直线、平面的位置关系，结合充分和必要条件定义，即可求解.

本题主要考查充分和必要条件定义，属于基础题.

4.【答案】C

【解析】解：由题意知，第一档用电量区间为(0,173],第二档用电量区间为(173,220].

故选：C.

根据题设户均用电量的百分位数对应的值，结合电量覆盖要求即可得第二档电量区间.

本题主要考查频率分布表，属于基础题.

5.【答案】C

【解析】解：由题设,ShABC=^-AB-AC=^-\AB\\AC\cos^BAC,

又S-BC=/画I码sin/BAC,

所以V5cosNBAC=sinzB/lC.

即tanziBZC=V3>

而0<Z.BAC<n,

故NBAC=p

故选：C.

由向量数量积的定义及三角形面积公式可得BCOSNBAC=sin/BAC，结合三角形内角

性质即可求NBAC.

本题考查了数量积的计算以及三角形面积公式、同角三角函数关系，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：如图所示，

在正方形ABB14中,AB11A1B；

因为BC1平面故BCLABi；

连接BiC、AC,因为当。〃4山，所以AB】与&D所成的角为60。，不垂直;

易得平面4B1C,所以BAJL4B］；所以C正确.

故选：C.

在正方体中，借助线面垂直关系进行判断.

本题考查了空间中线面垂直关系的判断，属于基础题.

7.【答案】B

【解析】解：设圆台的上底面半径为r,母线长为/,高为八，

•••圆台上下底面的面积之比为1：9,.••下底面的半径为3r,

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又母线长为2,圆台的侧面积为詈，

则兀(r+3r)-I=8rtr=等,

解得r=|,

则圆台的高九=122_(2_|)2=竽.

故选:B.

设圆台的上底面半径为r,母线长为2,高为无，由题意确定下底面的半径为3r,由圆台

的侧面积公式求出r,由此求解圆台的高.

本题考查了圆台的几何性质的应用，圆台的侧面积公式的应用，考查了逻辑推理能力、

空间想象能力与化简运算能力，属于基础题.

8.【答案】B

【解析】解：从三对夫妇中随机抽选2人参加采访活动，

基本事件总数n=Cg=15,

恰好抽到一对夫妇包含的基本事件个数m=禺=3,

则恰好抽到一对夫妇的概率为P=：=2=[•

故选：B.

基本事件总数n=量=15,恰好抽到一对夫妇包含的基本事件个数m=废=3,由此

能求出恰好抽到一对夫妇的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

9.【答案】ABD

【解析】解：设2=a+bi(a,beR),则2=a—bi(a,beR),

则z+z=2a€R,故A正确；|z|=|z|=Ta2+匕2,故B正确；

\z'z\=\z\2＞故C错误，。正确.

故选：ABD.

设2=a+bi(a,b6R),贝ijz=a—bi(a,beR),再由复数的基本运算逐一分析四个选

项得答案.

本题考查复数的基本运算，考查复数的基本概念与复数模的求法，是基础题.

10.【答案】BC

【解析】解：设E与方的夹角为。，

对于4,当0为锐角时，a.c=|a|.|c|=\c\,c-b=\c\-\b\cos6=|c|2>不一定相

等，故A错误，

对于8.当。为锐角时，五.]=|2|.\b\cos8=\b\cos0=a-c=|a|-|c|=|c|，成立,

当。为钝角时,a-K=|a|•\b\cosd=\^\cos6=a-c=—|a|-|c|=—|c|>成立，

当。为直角时，五不=五々=0成立，故正确；

对于C,|a-c|=|a|-|c|=|c|<|i|=2.故C正确,

对于D,a-c=|a|.\c\cosB,故于错误.

故选：BC.

根据向量数量积的定义，逐一验证，即可求解.

本题主要考查了平面向量数量积的定义和运算，属于基础题.

11.【答案】AC

【解析】解：P(&)=早=煮P(4)=嗤萨=右，所以A正确•

^,100JUA7vDU

因为41nA2H0，A=A1\)A2,故P(4)=PG4I)+P(A2)-P(&CA2)，所以B错误.

因为/nBM0,AUB=。，即A、B为对立事件，故PQ4UB)=P(A)+P(B),所以C

正确.

P(B)=^=舒，[l-PG4i)][l-P(&)]=总x券KP(B),所以/)错误•

AUUAvv□vOU

故选：AC.

利用事件之间的关系，结合概率的加法、乘法公式求解.

本题主要考查相互独立事件和对立事件，属于基础题.

12.【答案】AD

【解析】解：4因为中位数是1,设五个工作日内每天体温超过37.5久的人数为从小到大

的顺序为a,b,1,c,d,

因为平均数是1,所以a+b+1+c+d=5,若d=4,则a=b=c=0,不合题意，

故正确；

B.设五个工作日内每天体温超过37.5。(：的人数为从小到大的顺序为0,0,1,2,4,

满足中位数是1,众数是0,但有一天超过3,故错误；

C.设五个工作日内每天体温超过37.5汽的人数为从小到大的顺序为0,2,2,3,4,

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满足中位数是2,众数是2,但有一天超过3,故错误；

D设五个工作日内每天体温超过37.5P的人数为a,b,c,d,e,

因为平均数是2,方差是0.8,则a+b+c+d+e=10,

|[(a-2)2+(b-27+(c—2>+(d-2/+(e-2)2]=0.8,

即(a-2)2+(b—2)2+(c-2)2+(d-2)2+(e-2)2=4,

则e<4,若e=4,从方差角度来说a=b=c=d=2,不满足a+b+c+d+e=10,

所以e<4,故正确.

故选：AD.

利用中位数、众数、平均数和方差的定义逐项判断.

本题考查了求平均数，众数，中位数，与方差的问题，是基础题.

13.【答案】V2

【解析】解：在△ABC中，由余弦定理得：AB2=AC2+BC2-2AC-BCcos^BAC

=4+2-2x2xV2xcos—=4+2-2x2xV2xcos—=6-2x2xV2x—=2,

442

所以AB=V2.

故答案为：V2.

由余弦定理可得AB?=AC2+BC2-2AC-BCcos乙BAC,计算可求4B.

本题考查余弦定理在解三角形中的应用，属基础题.

14.【答案】8V2

【解析】解：根据题意，正方形AB'C'D'的边长为2,其面积S'=2x2=4,

则四边形4BCD的面积S=2\[2S'=8V2,

故答案为：8V2.

根据题意，求出正方形AB'C'D'的面积，由直观图与原图的关系分析可得答案.

本题考查斜二测画法，涉及平面图形的直观图，属于基础题.

15.【答案】5

【解析】解：连续投掷2次，骰子点数的样本空间为6x6=36,2次点数之和为8的有：

(2,6),(3,5),(4,4),(6,2),(5,3),故有5种，其概率为总

故答案为：W

30

先计算基本事件的样本空间，再计算所求事件的种数，按照古典概型计算即可.

本题主要考查古典概型的问题，熟记概率的计算公式即可，属于常考题型.

16.【答案】出

3

【解析】解：如图，取中心0,连接04A

因为2BCD是棱长为6的正四面体，所以(Ml平/1\

面BCD,

根据几何关系：BO=2y/3,AB=6,AO=2V6»

所以正四面体4BCD的体积为：VA_BCD=

-S^BCD-OA=-x-x6x6x—x2y/6=1872,B

因为平面EMN〃平面BCD,E为线段4B的三等分

点，c

所以4EMN=：SABCD，三棱锥4一EMN的高九=5。4

所以匕-EMN=GSAEMN,八=/匕-BCD==誓,

所以正四面体4BCD被这四个截面截去四个角后所得几何体的体积为匕.BCD-

WA-EMN=18近-竽=

故答案为：竺史.

3

根据题意，取△BCD中心0,连接。4进而得0A_L平面BCD,再根据几何体关系计算得

以一BCD=18a,%_£财囚=竽，进而得正四面体4BCC被这四个截面截去四个角后所得

几何体的体积为以=VABCD~^A-EMN=

本题考查了几何体的体积计算，属于中档题.

17.【答案】解：(1)•••AD=DB，BE=2EC，

BE=^BC=^(AC-AB)f

,,■一-一»1■—―，■•♦o,11•,,，1,21,1>

ADE=BE-BD=-AB--(AC-AB)=--AB+-AC,

23、763

DE=x~AB+y~AC，

12

・•・%=-£o，y=-5-

(2)M4BC中，AB=3,AC=2,A=^,

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~DE2=(一二通+-AC)2=—x9+-x4-2xix-x3x2xi=—,

k63736963236

■■■\DE\=i

【解析】(1)利用平面向量的线性表示及平面向量基本定理求出屁-:荏+1左，再与

o5

已知对比可求x,y.

(2)利用平面向量数量积运算，平面向量的求模公式求解即可.

本题主要考查了向量的线性表示，平面向量基本定理及向量数量积性质，属于中档题.

18.【答案】解：(1)设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为人

依题意P(A)=1-(1一i)(l-；)(1—|)=W

(2)设甲乙丙三人至少一人晋级的事件为B.

依题意P(B)=(l-》xqx|+(l-$x5x|+(l_|)xqx：=W

【解析】(1)正难则反，先求三个人全没有晋级的概率，再用对立事件求概率即可.

(2)分成三种情况，分别考虑其中有一人没有晋级的情况.

本题主要考查相互独立事件，属于基础题.

19.【答案】证明：(1)取8G的中点。，连接ND,MD,

则N0〃CCi〃44「ND=|cCi=2=AM,

得四边形AMDN为平行四边形，.•.AN〃MD,

又MDu平面BMC1，ANU平面BMC1，

二AN〃平面BMC1；

(2)在正三棱柱-中，可得BBi1平面4BC,

■.■ANu平面ABC,；.BBi1AN,

又△ABC为正三角形，N为棱BC的中点.

•••AN1BC,又•；BCnBB1=B,BC,BB】u平面BBCC,

•••AN，平面BBiGC,

由(1)可知4N//M0,

•••MD1平面BBiGC,

vMDu平面BMG，

二平面BMC】L平面881cle

【解析】(1)取BG的中点。，连接ND,MD,证明2N〃MD,再由直线与平面平行的判

定可得4N〃平面BMC1；

(2)先证明4NJ■平面可证MO_L平面BBiGC,从而可证平面BMC】J"平面

BB]C1c.

本题考查直线与平面平行的判定，以及面面垂直的证明，考查空间想象能力与思维能力,

属中档题.

20.【答案】解：(1)由题设频率直方表如下:

分组频数频率

[100,110)500.05

[110,120)15010a

[120,130)4000.4

[130,140)3000.3

[140,150]1000.1

合计10001

10a=0.15,解得a=0.015.

(2)由(1)知：0.05+10a=0.2<0.5<0.05+10a+0.4=0.6,

•••中位数位于[120,130)内，令中位数为X,

则0.05+10a+(x-120)X0.04=0.2+(x-120)X0.04=0.5,

解得x=127.5.

【解析】(1)补全直方表数据，根据频率和为1,由此能求出参数a；

(2)利用频率分布直方图及中位数的求法能求出1000名学生此次数学考试成绩的中位数.

本题考查频率、中位数、频数分布表等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.

21.【答案】(1)证明：在梯形2BCD中，BD=2V2,BC=2五,CD=4,

所以8。2+8。2=。。2,即8OJ.BC,

取BD的中点M,连接PM,CM,

因为PD=PB,所以PM1BD,

又平面PD8_L平面DBC,平面POBn平面。BC=BO,

所以PM，平面DBC,

因为BCu平面DBC,所以PM_LBC,

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S^BDdPM=M,BD,PMa^PBD,

所以BC_L平面PBD,

因为POu平面PBD,所以PDJLBC.

B

(2)解：由(1)知，PDIBC,PD1PB,

因为BCnPB=B,BC,PBu平面PBC,所以PD1平面PBC,

所以NPND即为直线DN与平面PBC所成角，

在APB。中，PM=^BD=^2,

在^BCM中，CM?=BC2+BM2=8+2=10,

由(1)知，2时工平面/^。，

因为CMu平面DBC,所以PM1CM,

所以PC=7PM2+CM2=y/2+io=2痘,

因为N为线段PC的中点，

所以PN=；PC=W,所以tan/PN。="=4==2，

2PN遮3

故直线DN与平面PBC所成角的正切值为亚I

3

【解析】(1)取BO的中点M,连接PM,CM,由平面PDBL平面D8C,可证PMJL平面DBC,

从而知PM