概率论与数理统计课后答案-北邮版-(第三章)2

32273227习题三将一硬币抛掷三表示在三次中出现正面的次数表次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝试和的散布.【】Y的合散布律如表：0

131

0

C3

1128282

18

1122盒子里有只球、只球2只球，在其中任取只球，以X示取到黑球的只数，以表取到红球的只数求X和Y的合散布.【】X和的合散布律如表：

C

2C232C47

C

3C132C7

P(0黑2红白=12C2/435

C1C622C4C1C1622C4

C2C1C132C7C32C47

C32C7设二维机变量，）联合散布函数为F（x，y）=

ππxy2其他求二维随机变量，Y）在长方形域

ππ,y463

内的概【】图

P{0X

πππ,}公式463ππππππF)(,)))436

yy)y14sin

πsinsinsin0sinsin03436

(题说明：也可先求出密度函数，再求概率。设随机量，）散布密度f（x，y）=

)

x0,y0,他求）常A；（2随机变量（X，）散布函；（3P{0<1，Y<2}.【）由

f(x)dxy

0

e

xy)

dxdy

12

得A=12（2由概念，有F,y)

f(u,vdud)(1)

y0,x其

P{01,0{01,02}

)0

dxy(1设随机量，）概率密度为f（x，y）（1肯定常数k；（2求{＜，＜3}；（3求{<}（4求{+≤4}.【）由质有

k(6),0y他

f(y)dxy

k(6)dy

3131.542XY3131.542XY故（2

18P{X

f(yx

02

18

k(6)dydx

38

P{

f(x)dxdy如图a

f(x)dxdyx0

2

D127(6.832

P{4}

f(xxdy如bxy

0

42

D1(6)d8题设和Y是个彼此独立的随机变量在0服均匀散布，的度函数为f（y）=

,y0,其他求）与的合散布密度）P{}.题【）因X在服从均匀散，所以X的密度函数为f()

10x0.20,他而yyf()所以

0.2xx20.2xx2(xy)X,)

10.20,

y0x且y0,他.

Y

f(xxy如

xdyy

Ddxy5)d0

-1

0.3679.设二维机变量，）联合散布函数为F（x，y）=求（X，）的联合散布密度.

x),xy0,0,他【】

(x,)f(x,y)

x0,y0,他设二维机变量，）概率密度为f（，y）

4.8x0y,0,他.求边缘概率密度【】

f)X

f(y)dy=

yx),0其他f()f(,y)dY

y

4.8y(2yyy0,

0y其题设二维机变量，）概率密度为

题

yy11f（x，y）=

e,0x,他求边缘概率密度【】

f)X

f(y)dyed=x其f(y)x)dYd=其题10图设二维随机变量X，）概率密度为f（，y）

y

2

y他（1试肯定常数c；（2求边缘概率密度【）

f(x)dxdy如D

fx)dxdy=

dyx2

421

c得

c

214

f()X

f(y)dy

21x24

dx),

0,

0,

他f()Y

f(,yx

0,

214

2

y20,

0y他

X1X1y|X设机变量（X，）概率密度为f（x，y）=

y0x他求条件概率密度f（y｜x（x｜y）.题11图【】

f)X

f(y)dyx

yx,0其他f()Y

1dxy,y0,f(x)dx1dx0其他.所以f(x)f(yxf(x)

1|2x0,他f(y)

,yxf(y)1,xf()y其他.袋中有五个号码1，234，从中任取三个，记三个号码中最小的号码为X，大的号码为.（1求与的合概率散布；（2X与Y是是彼此独立？【）X与Y的合散布律如下表X

Y

45

P{X}i

ii

11C3105

22C310515

33C310525

0

C2105

{y}i

因

P{{Y3}

661{10100故X与不立设二维随机变量X，）联合散布律为Y

X

（1求关于X和关于的缘散布；（2X与Y是是彼此独立？【）X和的缘散布如下表

25P{}P{Xx}i因

P{2}P{0.2(XY0.4),故X与不立设X和Y是个彼此独立的随机变量在0，1上服从均匀散布，的率密度为f（y）=

/2

y0,其他（1求X和的联合概率密度；（2设含有a的次程为2Xa=0，求a有实根的概率.【）因

xf(x)X0,其他

eyf(y)0,他.

xdyxdy故

f(x,)X,Y独立()f()XY

0,

/2

y0,其方

a2Xa

题14图有实根的条件是(2)

2

Y故从而方程有实根的概率为：

X≥Y，P{X

}

f(xy)dxdyx

12

/2dy20.1445.

[(1)设和别表示两个不同电子器件的寿命（以小时计设和彼独立，且服从同一散布，其概率密度为f（x）=

1000,xx0,其他.求=/的率密度.【解】图Z的布函数

F(){}{Z

}(z)当z时Z（2当<1时时,y

1000z

）(如图a)F(z)

10x2

dxdy

yz

10x22

d

103

310dyyzy3

dyii1dyii1题15图当z时时当y3

时，x=10

z图bF(z)

10x2

dxdy

zy10102y

d

103y

10zy

63

d

12z即

1,f(z),其他故

f

(z

1z2,设某种型号的电子管的寿时计地服从160.随地选取求其中没有一只寿命小于180h概率

只，【解】这四只寿命为X(i=1,2,3,4)则X~N（160从而

P{min(,X,,X)立P{XP{X180}1234i12{P{X34{X180}][1{180}]{X{X12{X4

160

44

4

0.00063.设X，是此独立的随机变量，其散布律别离为P{=k}=（k=01，，，

iiiikikiiiiikikiikik1212n121n1nP{r}=qr，，2，证明随机变量X的散布律为P{Z=i}=

p()(i)

，i=0，，k【明因和所可能值都是非负整数，所以{}}{XY}{XY于是

{X,0}P{}{,}Y相互独立

P{}{}((i)

设是此独立的随机变量它们都从参数为np的项散证明ZX+服从参数为，的二项散布.【明方式一可取值为，1，，2P{}{XY}i({}ikiqn

pkq

k

pq

pkq

方式二：设μ,,…,;μμ′,，均从点散布（参数为pXμ+…+，=μ′+μ′,X+=μμ+…++μ′+μ′,所以，X服参数为2,p)的二项散布.设随机变量（X，）散布律为

X

123

iiii求{｜Y，{｜；（2求=max（X）散布律（3求=min（，Y）散布律；（4求X+的布律【解）

P{Y2}

P{2}P{Y2}

P{2}5P{Y2}

,2P{Y0}

iP{Y3,0}P{P{XY1;30.03P{XYj}j（2

P{}{max()}{}{X,}{}{X,},所以的散布律为

iVX)0

24P

PU}{min(,Y}{X}{Y}{X,}

P{XY}

i0,1,2,3,于是U=min(,)P

23(4)类似上述进程，有=X

23456P0雷达的圆形屏幕半径为R，设目标出现点（X）屏幕上服从匀散.（1求{｜＞X}；（2设M，}求{M0}.

RπRπRπRπ题20图【】（，）联合概率密度为f)

1πR

x

,（1

P{Y}

0,P{YY}PYX}

f(,f(,

dπ/4π/4

ππ

rrrr

3;1/2P{0}Y){max(Y)0}{Y0}

xy

f(y

.21.设平面区域D由曲线y=1/及线y，x2所成，二维随机变量（X）在区域D服从均匀散布，求X，）于的边缘概率密度在x=2处的值为多少？题21图【】域D的面积为

S0

1

1x

dln

1

2.

（,）联合密度函数为

123i12j111,3222j3123i12j111,3222j3f,y

11x2,0y,2x0,其他（，）关于X的边缘密度函数为f()X

x0,

1yx,2x他所以

f(2)X

14

.设随机变量和Y彼独，下表列出了二维随机变量，）合散布律及关于和的边缘散布律中的部份数试将其余数值填入表中的空白X

y

y

y

P{=}=p

ix

1/8x

1/8P{y}=p1/6jP{y}P【解】因jj

2

P{x,Y}ij

故

iP{Yy}{x,Y}{XY},11从而

P{Yy}11

1.6824而与Y独，

P{x}{y}P{X,}ijii

从而即：

P{}1P{}1

11P{Xxy}.6241/2464又即

P{}P{xy}{X,y}{Xx,Y},121{xy},4248从而

P{,Yy}13

112

.同理

13P{Y},P{Xxy}2又

3j

11P{Yy},{}623

同理

P{x}2

34

.

2331323313从而1P{,Yy}P{y}{Xx,Y}3124故

y1

y

2

y3

P{x}Pii

18

x

2

18

38

P{y}pj

j

16

13

设某班车起点站上客人数服参数为(的松散布，每位乘客在半途下车的概率为（0<p<1半途下车与否彼此独立，Y表在半途下车的人数，求在车时有个客的条件下，半途有m下车的概率）维随机变量X，）概率散布【】

P{Y}m(1n,P{Y}P{}{m}

mn

m(1pn

en!

nm

设随机变量和Y独，中X的率散布为

20.3

，而的率密度为fy)，求随机变量U=概率密度g(u).【】（y）是的布函数，则由全概率公式，知U=+的布函数为G({X}0.3P{X{X|2}P{0.7{|2}由于和Y独，可见G(u)0.3P{Y0.7{YF(u0.7F(u由此，得U的概率密为g()0.30.7

0.3f(fu25.设机量X与Y彼此独立，且均服从区间[上的均匀散布，求P}1}.解因为随即变量服[0，3]的均匀散布，于是有fx)

10x3f()

13

y3,

0,x0,x3;

0,yy因为X彼独立，所以f(,)

19

0xy3,

0,x0,y0,3,y3.推得

PX}

19

26.设维机变量）概率散布为

X

0

0c其中a,c常数，且X的学期望({≤0}=，记ZX.：（1,,c的；（2Z的率散布；（3P{Z}.解(1)由概率散布的性质知，a+b+c+=1即a+b+c=(X)由再由

，可得P{Y0}

P{XYa0.5P{Xa

得

解以上关于a，的个方程得0.2,0.1,

Z的能取值为，，，P{Z{X

，P{Z{0}{Y

，

XYZ12XYZ12P{ZP{{XY0}{Y0.3

，P{Z{XY0}{Y0.3

，P{ZP{

，即Z概率散布为ZP

1

P{Z}{Y0}0.10.20.10.10.2

27.设机量X,Y独立同散布且X的布数为F(x),求Z=max{X,Y}的布函数.解：因为X,Y独同散布，所以（）(z),（z）≤z}=P{X≤z，≤≤z}≤［（z

设随机变量与Y彼独的率散布为1P{},3

i的概率密度为

f()

0y他

记Z=（1求

P{Z

12

X（2求的概率密度

f(z)Z分析题（1）可用条件概率的公式求题（2）可先求Z的布函数，再求导得密度函解1)

1{Z}{|X2P{0}

{Y}{0}（2

{})P{}{}Z{X{,X{XP{Y{YX0}{X

XYXX