新教材高中数学一元二次函数方程和不等式1等式性质与不等式性质学案新人教A版必修

06/605/6/等式性质与不等式性质[课程目标]1.了解等式的性质；2.掌握不等式的基本性质；3.能用不等式的基本性质解决一些简单问题．知识点一等式的性质性质文字表述性质内容注意1对称性a＝b?b＝a?2传递性a＝b，b＝c?a＝c?3可加、减性a＝b?a±c＝b±c?4可乘性a＝b?ac＝bc?5可除性a＝b，c≠0?eq\f(a,c)＝eq\f(b,c)?eq\a\vs4\al(【思辨】)判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)由3a－2＝2b，得3a＝2b＋2.(√)(2)由eq\f(x,2)－1＝2y－3，得x－1＝4y－6.(×)(3)由eq\f(x－y,x)＝eq\f(2a＋b,b)，得x－y＝2a＋b.(×)(4)x－2＝4x＋7，得x＝－3.(√)知识点二不等式的性质性质文字表述性质内容注意1对称性a＞b?b＜a?2传递性a＞b，b＞c?a＞c?3可加性a＞b?a＋c＞b＋c?4可乘性a＞b，c＞0?ac＞bca＞b，c＜0?ac＜bcc的符号5同向可加性a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d同向6同向同正可乘性a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd同向7可乘方性a＞b＞0，那么an>bn(n∈N，n≥2)同正[研读]将不等式的性质与等式的性质进行比较，可以加深对不等式的理解．性质4、性质6、性质7强调数或式的符号，性质3、性质5表明不等式只能同向相加，不能同向相减．eq\a\vs4\al(【思辨】)判断正误(请在括号中打“√”或“×”).(1)若a>b，则ac>bc一定成立．(×)(2)若a－c<b－c，则a<b.(√)(3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(×)(4)若a>b，c>d，则eq\f(a,c)>eq\f(b,d).(×)【解析】(1)由不等式的可乘性知，当不等式两端同乘一个正数时，不等号方向不变，因此若a>b，则ac>bc不一定成立，故此说法是错误的．(2)在不等式a－c<b－c两边同时加上c，可得a<b，所以此说法正确．(3)取a＝4，c＝5，b＝7，d＝1，满足a＋c>b＋d，但不满足a>b，故此说法错误．(4)取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，满足a>b，c>d，但eq\f(a,c)>eq\f(b,d)不成立．所以此说法错误．eq\o(\s\up7(),\s\do5(比较两个数（式）的大小))eq\a\vs4\al(例1)教材拓展已知a，b为正数，且a≠b，比较a3＋b3与a2b＋ab2的大小．解：(a3＋b3)－(a2b＋ab2)＝a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)－b2(a－b)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).因为a>0，b>0，且a≠b，所以(a－b)2>0，a＋b>0，所以(a3＋b3)－(a2b＋ab2)>0，即a3＋b3>a2b＋ab2.[规律方法]作差比较法比较两个数(式)大小的步骤：(1)作差：对要比较大小的两个数(或式)作差．(2)变形：对差进行变形，常见的变形技巧是：因式分解，配方．(3)判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号．(4)作出结论．活学活用设x，y∈R，比较x2＋y2与xy＋x＋y－1的大小．解：x2＋y2－(xy＋x＋y－1)＝eq\f(1,2)[(x2－2xy＋y2)＋(x2－2x＋1)＋(y2－2y＋1)]＝eq\f(1,2)[(x－y)2＋(x－1)2＋(y－1)2]≥0，∴x2＋y2≥xy＋x＋y－1.eq\a\vs4\al(例2)已知a>b>c，求证：a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.证明：(a2b＋b2c＋c2a)－(ab2＋bc2＋ca2)＝a2(b－c)－(b2－c2)a＋(b－c)bc＝(b－c)[a2－(b＋c)a＋bc]＝(a－b)(b－c)(a－c)>0，所以a2b＋b2c＋c2a>ab2＋bc2＋ca2.活学活用设x，y，z∈R，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．解：5x2＋y2＋z2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2xy＋4x＋2z－2))＝(z2－2z＋1)＋(y2－2xy＋x2)＋(4x2－4x＋1)＝(z－1)2＋(y－x)2＋(2x－1)2≥0，∴5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2.eq\o(\s\up7(),\s\do5(利用不等式的性质判断命题的真假))eq\a\vs4\al(例3)若a，b，c为实数，判断下列命题的真假：(1)若a>b，则ac<bc；(2)若a>b，ab≠0，则eq\f(1,a)<eq\f(1,b)；(3)若a<b<0，则a2>ab>b2；(4)若c>a>b>0，则eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b).解：(1)因为c可以是正数、负数或零，不等式两边都乘c，所以ac与bc的大小关系不确定，所以为假命题．(2)当a>0>b时，不等式不成立，所以为假命题．(3)由eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a<b,a<0))?a2>ab，又eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a<b,b<0))?ab>b2，所以a2>ab>b2，所以为真命题．(4)因为a>b>0，所以－a<－b，所以c－a<c－b.又因为c>a>b>0，所以eq\f(1,（c－a）（c－b）)>0.在不等式c－a<c－b两边同乘eq\f(1,（c－a）（c－b）)，得eq\f(1,c－a)>eq\f(1,c－b)>0，又a>b>0，所以eq\f(a,c－a)>eq\f(b,c－b)，所以为真命题．活学活用已知a，b，c∈R，那么下列命题中正确的是(C)A．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＞b，c＜d,cd≠0))?eq\f(a,c)＞eq\f(b,d)B．eq\f(a,c)＞eq\f(b,c)?a＞bC．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a3＞b3,ab＜0))?eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)D．eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a2＞b2,ab＞0))?eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)【解析】对于A，若a＞b＞0，c＜0，d＞0，有eq\f(a,c)＜eq\f(b,d)，故A错；对于B，当c<0时，有a＜b，故B错；对于C，由a3＞b3?a＞b，又ab＜0，所以eq\f(1,a)＞eq\f(1,b)，故C正确；对于D，若a＝2，b＝1，满足a2＞b2，ab＞0，但eq\f(1,a)＜eq\f(1,b)，故D错．eq\o(\s\up7(),\s\do5(利用不等式性质求范围))eq\a\vs4\al(例4)已知10＜a＜30，15＜b＜20，则3a－b的取值范围是__10<3a－b<75__．【解析】依题意，30<3a<90，－20<－b<－15，所以30－20<3a－b<90－15，即10<3a－b<75，所以3a－b的取值范围是10<3a－b<75.【迁移探究1】在本例的前提下，a(b－10)的取值范围是__50<a(b－10)<300__；eq\f(a,b)的取值范围是__eq\f(1,2)<eq\f(a,b)<2__．【解析】因为10＜a＜30，15＜b＜20，5<b－10<10，所以10×5<a(b－10)<30×10，即50<a(b－10)<300.又eq\f(1,20)<eq\f(1,b)<eq\f(1,15)，所以eq\f(10,20)<eq\f(a,b)<eq\f(30,15)，即eq\f(1,2)<eq\f(a,b)<2，所以a(b－10)的取值范围是50<a(b－10)<300，eq\f(a,b)的取值范围是eq\f(1,2)<eq\f(a,b)<2.【迁移探究2】将本例的条件变为“10<a＋b<30，15<a－b<20”，求3a－b的取值范围．解：令a＋b＝m，a－b＝n，则10<m<30，15<n<20，由a＋b＝m，a－b＝n，得a＝eq\f(m＋n,2)，b＝eq\f(m－n,2)，所以3a－b＝eq\f(3m＋3n,2)－eq\f(m－n,2)＝m＋2n.而10<m<30，15<n<20，所以40<m＋2n<70，即40<3a－b<70.[规律方法]利用不等式的性质求参数取值范围时，一要注意题设中的条件，二要正确使用不等式的性质求解．切记想当然，以免出现错误，如两个不等式相减，不等式两边同乘(或除以)一个实数，会导致错误结果．活学活用已知－eq\f(1,2)≤x＜y≤eq\f(1,2)，试求eq\f(x－y,3)的取值范围．解：因为－eq\f(1,2)≤x＜y≤eq\f(1,2)，所以－eq\f(1,6)≤eq\f(x,3)<eq\f(1,6)，－eq\f(1,6)<eq\f(y,3)≤eq\f(1,6)，所以－eq\f(1,6)≤－eq\f(y,3)<eq\f(1,6)，所以－eq\f(1,3)≤eq\f(x－y,3)<eq\f(1,3).又因为x＜y，所以eq\f(x－y,3)<0，故－eq\f(1,3)≤eq\f(x－y,3)<0.eq\a\vs4\al(例5)已知12<a<60，15<b<36，求eq\f(a,b)，eq\f(a－b,a＋b)的取值范围．解：由12<a<60，15<b<36?eq\f(1,3)<eq\f(a,b)<4.记eq\f(a,b)＝t?eq\f(1,3)<t<4，所以eq\f(a－b,a＋b)＝eq\f(t－1,t＋1)＝1－eq\f(2,t＋1)，所以－eq\f(1,2)<1－eq\f(2,t＋1)<eq\f(3,5)，所以－eq\f(1,2)<eq\f(a－b,a＋b)<eq\f(3,5).活学活用已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则eq\f(c,a)的取值范围是__－2<eq\f(c,a)<－eq\f(1,2)__．【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0,a>b>c))?a>0，eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝0,a>b>c))?a>b＝－a－c>c?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a>－c，,a<－2c))?－2<eq\f(c,a)<－eq\f(1,2).1．若ma＝mb，那么下列等式不一定成立的是(A)A．a＝bB．ma－3＝mb－3C．－eq\f(1,2)ma＝－eq\f(1,2)mbD．ma＋8＝mb＋8【解析】当m≠0时，由ma＝mb得a＝b，当m＝0时，a＝b不一定成立．故选A.2．下列方程的变形中，正确的是(C)①3x＋6＝0变形为x＋2＝0；②x＋7＝5－3x变形为4x＝－2；③4x＝－2变形为x＝－2；④eq\f(2x,5)＝3变形为2x＝15.A．①④B．②③C．①②④D．①②③【解析】根据等式的性质可知，只有4x＝－2变形为x＝－2是错误的，其余都正确．故选C.3．如果a<0，b>0，那么下列不等式中正确的是(A)A．eq\f(1,a)<eq\f(1,b)B．eq\r(－a)<eq\r(b)C．a2<b2D．|a|>|b|【解析】因为a<0，b>0，所以eq\f(1,a)<0，eq\f(1,b)>0，所以eq\f(1,a)<eq\f(1,b).4．下列命题正确的是(D)A．若a>b，则ac2>bc2B．若a>－b，则－a>bC．若ac>bc，则a>bD．若a>b，则a－c>b－c【解析】当c＝0时，选项A错误；将a>－b两边同乘－1，得－a<b，选项B错误；当c<0时，选项C错误；只有选项D正确．故选D.5．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则(C)A．a>bB．a<bC．a≥bD．a≤b【解析】a－b＝(3x2