《高等数学习题集》457-4答案

第1章极限与连续性

练习一

x2x

一、1.(3,4-00)；2.(-2,2)；3./(%)=—4--+1；4.3；

42

5.原点.

二、1.D；2.C；3.C；4.B；5.A.

三、1.}»=InVcosx=Inw,u=Jcosx=&,v=cosx.

2.y=e(*"'=e",M=(x+l)2--v2,v=x+l.

C.x+lX+l

3.y=arcsin----=arcsinu,u=----.

22

4.y==&，M=sin>/x=sinv,v—yfx.

5.y=lg[tan(x2+l)2]=lg«,w=tan(x2+1)2=tanv,v=(x2+1)2-t2,t=xi+\.

四、1.(1)

(2)当|x|>l时，/(x)在(l,+8)上单调增加，在(-8,-1)上单调递减.当|x|=l时,

f(x)=2,为函数的最小值.所以f(x)值域为(2,+8).

当IxIWl时，/(X)在［-1,1］上单调递减.当x=-1时，/(x)=3,为函数的最大值；

当x=l时，/(x)=-l,为函数的最小值.所以/(x)的值域为［-1,3］.

综上，函数/(x)的值域为［-1,+00).

(3)当x=0时，/(x)=l-2x=l；

当x=-2时，/。)=/+1=5；

当x=2时，/(X)=X2+1=5；

当x=—I时，/(x)=l-2x=3；

当x=l时,/(x)=1-2x=-1.

1

/高等教学习题集

2.(1)当瓶中液面高度为〃时，进入病人体内液体高度为(15-力)cm,所以进入病

人体内液体体积V=1671(15-〃)cm3.

(2)rmin后，液面下降(cm,瓶中液面高度为〃=[15-(卜m.

(3)V=16兀(15-t)cmL

(4)液面全部下降完需要15cm+1cm/min=90min.

6

练习二

一、1.0；2.0；3.0,不存在：4.1；5.--.

二、1.A；2.B；3.B；4.A；5.C.

一..2x~—x—1.(x—l)(2x+1)2x4-1

二、1.hm---------=hm-------------=lim------=2.

XT8£_3X+2is(工一1)(尢-2)x-2

...2x2—x*—1(x—l)(2x4-1)2x+1

2.=hm-------------=lim------=-3.

x2-3x+2(x-l)(x-2)xfx-2

c12x+5-3(j2x+5-3)(，2x+5+3)2x+5-9

3.lim=lim------------/-------=lim--------1-----------

2

、T2X-212(x-2)(V2x+5+3)-^(x-2)(V2x+5+3)

2(x-2)

=lim

XT2(x—2)(j2x+5+3)t,2x+5+33

x-1x+1-2x-2

4.=limx=lim——=lim--=0.

XT8(x+l)(x-1)(x+l)(x-1)XTOO|XT8|

X——

X

2”一1

5.lim-----=lim图0.

“f83”+l“Too

1+F

四、1.lim—_|------------1----------+…+

nfg1-33-55-7(2n-l)(2n+l)

=lim------1------1------F…H---------------

335572n-\2〃+l

11.n

=lim-|1-=hm----=-lim-----=—

〃T82I2n+l〃tb2n+1f2+12

n

参考答案

c「3f+dx+〃+33/+以+。+3

2.hm-----；-------------=lim--------------------

xfX4-X-2si(x+2)(x-l)

若使原式极限存在，则分母中不得出现5-1).

当。=-3时，3/+cvc+a+3=3x2-3x-3+3=3x2-3x=3x(x-1),此时

1.3x(x-l)..3x[

lim----------------=lim-------=1.

XTl(%+2)(尤-1)XTX+2

练习三

1-1

一、1.2；2,上；3.e2；4.-；5.e-1.

2

二、1.C；2.C；3.A；4.B；5.C.

三、1.令f=4，则V=L当Xf8时,Ef0,则limx3sin]=lim-sinr.

XtX-KO£0/

因为x〜sinx,所以limlsinf=lim-r=l.

t1°t

2

1-cos2xl-(l-2sin2JC)..2sin2x”

2.limlim-------------------=lim----；-=2lim=2.

XTOa。Xx->0厂x->0

3.因为sin4x〜4x,所以

sin4x4x4x(Jx+4+2)]加4x(Jx+4+2)

lim____=lim=lim

zJx+4-2x->077+4-2x->0(77+4-2)(77+4+2)i。X

=lim4(Jx+4+2)=16.

.v->0

77

4.令——7=r,贝！JY=——.当尤fco时，ff0,则

xt

x22

lim=lim(l+r)1=lim(l+r)f

XTOCr->0z->0

5.=

+x+3J

41

令-----=一，贝！=-3.当％—>8时，r->oo,于是

x+3t

隔1一入『=/"广行.

X-lX+3)t)

3

,高等教学习题集

x-CxC

x；x—C+Crc~x^lim—0

四、1.lim|=lim=lim1+—e-x-c=e，=2,

XT8‘X-C|X->oo'X-Cx-x»lX-C

所以C=1n2.

2.经过第一个人间隔后，细菌的数量为：4+3＞上=41+左上；

nnn

2

经过第二个人间隔后，细菌的数量为：41+&•41+人上1+4上；

nnnnn

经过〃个人间隔后，细菌的数量为：41+女2；

nn

]_、

即经过时间/后,细菌的数量为:limAj1+k—=lim41+3A，'.

“TOOn"T8kt

7

练习四

1.oo；1;2.oo；3.4；4.1；5.2.

1.C；2.D；3.C；4.D：5.C.

1

三、1.lim—-------------=lim----------------------・

X—>OOx4-3X2+2~(x2-2)(x2-1)

1

当1-8,limf-2与limf_1均为无穷大,则lim=0.

XT8XT8X—>00X4-3X2+2

2.当x—>8时，cos3xe[-l,1],x3+oo,则

为有界函数与无穷大之比，即limB半=0.

XT00片XT8£

五至二=lim

3.令3x=，，则x=L则limVT+7-1

3x->0arcsinx

arcsin一

3

因为arcsin，~，，Jl+f-1〜L,所以lim'"/--=lim-2-=—

332—.，J/->0。1,2

arcsin--t，

33

sinx-tanxtanxcosx-tanxtanx(cosx-l)

4.lim=lim=lim

x->0x->0A->0

4

参考答案

tanx(cosx-l)

因为tanx~x，cosx所以lim

XTO

sin3©-1)

lim哗3

5.令3x=，,贝！Jx=1,=lim-----y----------

3soln2(l+3x)-。ln-(l+r)

2

因为sin二~0,ln(l+z)~/,所以lim即?'"

2一o产3

33，〜。in(i+r)

limxcosf-^

四、1.因为lanx~x所以limtanxcos=0-limcos0.

x->0s。\xjXTO

.2+元

In—

ln(2+x)-In22

2.lim2x=lim

.r->0-e-lXTO

ln(l+r)

令±=t,则尤=2,

2e4/-l

因为ln(l+r)~f,e4/-l~4r,所以lim卜?十。=lim，=L

一oe-1T04r4

练习五

一、1.0；2.2；3.x=0；4.x=0X=1；

5.[0,2)U(2,+8).

二、1.A；2.C；3.B；4.B；5.C.

/\

三、1.Iimln(2cos3x)=In2limcos3x=In2•—=In1=0.

*二'二

9k972

2.因为sinx~x,所以=limln2=In1=0.

.s0xxf0%

c「tan(x-l)tan(x-l)

3.lim-^-------=hm-----------------.

Ax+x-23(x-l)(x+2)

令％—l=f,贝(jx=f+l・当x—>1时，ffO,则lim’ari('_—=limtan^

xf(x-l)(x+2)J。t(t+3)

因为tanf~f,所以lim3“'=lim——-——=--

—o«，+3)t[t+3)3

.f.1Of.1xA

4.lrimxsin---------=limrx-sin-----------.

a。Ixsinxjxsinxj

5

,高等教学习题集

Iy'

因为sinx~x,所以limxsinr--------=limxsin--1=-1.

•r-*oxsinxXT。x

5.因为ln(l+x)~x,所以1加侬"')=iim2=liml=1.

x->01x->0%A->0

四、1.(1)当尤=0时，/(%)=〃-1为常数，导数恒存在，因此。可以为任意值.

lim/(x)=lim(x2—2)=-2.

XT。-X->0'

当lim/(x)=limf(x)时，f(x)在x=0处存在极限，即lim/(x)=lim足。+"")=-2.

+

io-x->oXT(T*TO+x

因为ln(l+x)-x,所以lim皿1+"*)=lim—=/?=-2.

.r->0+XAT。"X

所以当。为任意值、b=-2时，/(x)在x=O处存在极限.

(2)当/(x)在％=0处连续时,lim/(x)=lim/(x)=/(O),即

x-^)-XT0+

ln(l+bx)

hmj(x)=lim-----------=lim/(x)=/(0)=6Z-1=-2,a=-\.

XT。*XT。'XXT。-

所以b=—2,a=—1.

2./(x)==(x+l)d),所以x=],%=2是/(x)的间断点.

X2-3X+2(X-1)(X-2)

因为limf(x)=-2,即xfl时，f(x)的左右极限均存在且相等，所以x=l是可去间

x->I

断点；

因为lim/(%)=—oo,所以x=2是无穷间断点.

12-

复习题

2

一、1.y-log2u»w=sinv,v=x+2；2.[0,3)；

3.2；4.x=0J二；5.x=0,x=—l.

二、1.A；2.B；3.A；4.D；5.B.

一iix—2(x—2)(5/x+2+2)...//~c、

二、1.rlimln1----=hmln-/--------.------=limln(vx+2+2)

12Jx+2-212(J%+2-2)(JX+2+2)T

=Inlim(Jn+2+2)=In4.

XT2

令一J=，，则x=当x-»oo时，0,贝---「—=lim^

xtei°e

3.因为1一cos2x~2%2,sin2x~2x,所以lim^―COS^A=limx=0.

-0sin2x5

4.因为l-cosx〜-x2,所以

2

lim(1-cosx)sin=lim—x2•limsin±=0•limsin±二0.

1

.r->0£XTO2XT°X~”T0x

5.因为x~sinx,x2-2(1-cosx),所以

cosx

6(1—cos幻一sinx

3/-xcotx「sinxi-6-7cosx

lim—-------------=lim=hm-----

XTOJT+COSX+I

2(1-cosx)+cosx+1XTO3-COSX2

四、1.因为/(力均由初等函数构成，所以/*)在(0,3)上连续.

又因为/(0)=1>0,/⑶=2sin3-2v0,所以存在£《(0,3),使得f(£)=0.

2.当x<0时，/(%)=—.当*片一1时-，/'(x)有意义，所以在x<0时的连续

X+1

区间为(y，-l)U(T，0).

当0WXW2时，f(x)=l-x,f(x)在区间［0,2］内均有意义，所以/(X)在0WXW2时

的连续区间为［0,2］.

当%>2时，f(x)=sm(x-3).当X/3时，f(x)有意义，所以/(x)在x>2时的连续

x-3

区间为(2,3)U(3，+a>).

当％=0时，lim/(x)=lim=1,lim/(x)=lim1-x=l.因为lim/(x)=lim/(x),

XT(Tx^O-%+1.r->0+x->0+XT(TXT0+

所以f(x)在x=0时具有连续性.

当x=2时，limf(x)=lim1一x=-1,limf(x)=lim而"("~~=‘皿",因为

.92-八x->2-7八fx-3-1

7

等教学习题集

/

f(x),所以/(x)在x=2时不具有连续性.

x->2*f2+

综上，f(x)的连续区间为(TO,—l)U(T，2)U(2,3)U(3,+8).

第2章导数与微分

练习一

一、1.12；2.3x+y-2=0；3.(1,0)；4.1；

5.充分条件.

二、1.C；2.B；3.B；4.B；5.C；6.B.

,2—

二、1.(1)y'=2——x3-4sinx.

3

公、,(2x)\\+x2)-2x(l+x2y2-2x2

(2)y=~~~•

(1+X2)2(l+X2)2

/c、，(sinxA.八，cos2x4-sin2x2

(3)y=------+(xe)=-----------------+ex+xex=secx+ex4-xex.

Vcosx)cosx

(、，—(x)'lnx-x(lnx)'_lnx-1

(lnx)2(Inx)2

(5)y=3x2-[(sinx)zlnx+sinx(Inx)r]=3x2-cosxInx-为丝.

x

(6)y'=(2x)'x2+2'(x2/-esc2x=2'•In2•f+2'•2x-esc?x.

2.7(x)在x=l处可导，则，(x)在x=l处连续，且£«)=£⑴，

即lim/(x)=lim(-x2+bx)=-1+Z>=/(I)=a+1,

XT1XTl

(1)=2ax=2a=fj(i)=-2x+b=-2+h.

-1+Z?=a+1

则所以,a=0,b=2.

2a=—2+b

四、1.川1=21=6,则y-9=6(x—3),化简得6x-9-y=0.

2.(1)^(2)=6.8,因为“⑺=4-06,所以“(2)=2.8.

所以f=2秒时，飞轮转过6.8弧度，此时飞轮的旋转速度为2.8弧度每秒.

20

(2)飞轮停止旋转，即°'(f)=0,则”«)=4—0.6f=0,解得，=三.

所以，飞轮2'0秒后停止.

3

9

高等教学习题集

练习二

2・-------；3.x—2y+25/3—0；4.2；

x\nxIn2

]_

5.

2

二、1.C；2.C；3.B；4.A；5.A.

,1..1sinInx

1.(1)y=———cosx-smInx-=cotx-----------

sinxxx

(2)/=2sinxcosx+2xcosx2.

1i_2(

(3)y'=[(X+4X)3]4,^-(X+4X)3,+

Jkr

(4)y'=e'n")'cossinx+e"n*cossinx'=es,n'1'cosxcossinx-es,nvcosxsinsinx

=e5"1vcosx(cossinx-sinsinx).

2.(1)(y3y-(5孙2)，+x，=o,

3/-y-(5-/+5x-2y-y)+l=0,

)，(3/一10孙)=5丫2-1,

”5广1.

3y2-\Qxy

(2)e)'+e)‘+⑸y=e'，

ev+yrey+y+孙'=0,

y(ev+x)=-(eA+y)，

(3)[ysin(孙)Y=(x2)r,

y'sin(孙)+y[sin(孙)]'=2x,

yzsin(xy)+(y+xy')ycosxy=2x,

[sin(盯)+Aycos⑸)[y'=2x-y2cos孙，

2x-y2cos(xy)

yf=•

sin(孙)+A7cos(孙)

(4)(siny)'—[xcos(x-y)]'=0,

y'cosy-[cos(x-y)-xsin(x-y)•(1-yr)]=0,

yr[cosy-xsin(x-y)]=cos(x-y)-xsin(x-y),

10

参考答案

,cos(x-y)-xsin(x-y)

y~~•

cosy-xsin(x-y)

与二、,[a(l—cos[)]'tzsinrsinr

3.Q1)y=---------------=-------------=----------.

[a(t-sint)ya-acost1-cosr

(、,(A3-t2—303r—2t—3

(?+02r+l

4.(1)dy=d(sin2ev)=2exsineAcosexdx.

(2)dy=d(arctan\J\-x2)=--------?—♦—(1-x2).2xdx=----------\—dr.

i+(VT7)22(2—f)jj二彳

四、1.铜的体积为扩音器杆头镀铜之后的体积与未镀铜体积之差，即

%=n(r+Ar)21-nr21=7t/(2rAr+Ar2).

当r=0.15cm,Ar=0.001cm时，△片《广，所以

匕同n2nrArl=3.768x103cm',

桃铜二夕嗑=8.9g/cm3x3.768x10-3cm3=0.03354g.

71Tt71兀.71.It

2.cos60°30'=cos一+---cos—cos-------sin—sin-----.

336033603360

因为limcosx=l,limsinx=x,所以

A-->0

九.兀1

cos60°30r«cos-------sin—=——

336032

复习题

ysin(xy)-ev+v

1.(1，2);2.-13.2；4.

ex+y-xsin(孙)

46

5.

~9~

二、1.D；2.D；3.B；4.B；5.C.

三、1.(d)'+(y3y—(sin3x)'+(6y)'=0,

3x2+3y2y'-3cos3x+6y'=0,

icos3x-x2,

dy=--------------dx•

y+2

将代入得，)，；

当尤=0时,y=0.(0,0)dydLo=dx.

2.等式两边取对数后为lny=xlnx,再对x求导得,

11

高等教学习题集

(lny)'=(xlnx)',

—y'=Inx+x—,

>“

y=xv(lnx+l).

y〃=[xv(lnx+l)]z=(xv)'(lnx+1)+x'(Inx+1)'=xv(ln^+l)2+xx~].

_(1(x+2)(1-2L)

—W(3X+1)3

尸2尸(心尸+产2两-2土刃(3X+Di+如…炉/+产3

(3X+1)3

(1-2x)2(X+2)29(x+2)2(1-2x)5

ir3T5

2(3x+1)1(x+2)2(3x+1)2(1-2x)22(3x+1户

_(x+2/(1—2x)21_______1_______9

二32(x+2)-l-2x-2(3x+l)

(3X+N

.,sc、，(1-x)sinx+cosx(x-l)sinx+cosx

4.y=(2)------------------=2in2o------------------.

(I-X)2(1-x)2

11_212--

5.dy=y'dr=[(1+ln2x)盯dx=-(1+In?x)3-21nx—dr=—(1+In2x)Inxdr.

3x3x

11,Z(-]1\\

6.dy=/dr=[.r(xr2)2+lnx]'dx=(x4+lnx),dx=—x^+—dr.

(4x)

7.y'=2x(3x-1)(1-V)+(f+l)[(3x-l)(l-x3)y

=2x(3x-1)(1-x3)+(x2+1)[3(1-x3)+(3x-l)(-3x2)]

=2x(3x-1)(1-V)+3(f+1)(1-x3)-3x2(x2+l)(3x-1)

=-18X5+675X4-12X3+12X2-2X+3.

8.等式两边取对数后为ylnx=xlny,再对x求导得，

„1,1,

ylnx+y—=Iny+x—y,

xy

x

y，iInx---=Iniy----y,

Iy)x

刈Inx-x2

12

第3章导数的应用

练习一

一、1.在闭区间[〃，勿上连续，在开区间(〃，。)内可导；

2.-；3.—；4.0；5.6.

23

二、1.C；2.A；3.C；4.D；5.B.

一[x2—3x+2(x—2)(%—1)[、1

二、1.lrim--------------=hm-----------------=lim(x-l)=1.

12X—2*T2X—2*T2

cfl1e'—1—xe'-1ex—1

2.rlim---------=limr--------------=hrm---------------=lim---------------

ex-1Jx->0]©-1)A->Oex-1+xeAeA(x+l)-l

=1.m1=I=1

一理eA(x+l)+ex-lx(0+l)+l-2*

c..1-cos3x..3sin3x3-3x9

3-hm---------=lim----------=-------=­・

XTOx2.so2X2X2

..Intanlx..tan2x-7sec2lx2x-7sec27x,

4A.lim-----------=lim---------------；——=lim-----------；——=1.

fintan2x^->o*tanlx-2sec2x―,。’7x•2sec2x

厂「x-sinx-1-cosx-1-cosx-1

5.hm-------------=lim------------------------=hm----------------------=hm----------；-----

5x-xcosxx-1-(cosx-xsinx)…1-cosx+xsinxr^°)+xsinx

1-cosx

xlnx

=lim

txlnx+x-1

lnx+x-1

=lim------------—=—

A->1.112

Inx+x--+1

x

xnnxn~]n(n-V)x"~2〃("-1)("-2)尸n'

7.lim--=hm------=hm^2_avlimat...=lim--=0.

X-»-H>OX-»-KOxaeXT+<X>ae1切/e©

13

高等教学习题集

711

/、——arctanx--------2

..|71|..91-14.r-7..X

8o・limx\——arctanx=lim------：-------=lim—=lim-------=1.

XT+OCI2JX-»4001XT+OC1XTM]+厂

XX2

四、设/(x)=arcsinx+arccosx，

TT

因为/'(x)=0，所以/(x)为常数.又因为/(0)=21^出0+@1*805。=/，所以

当一1WxW1时，恒有arcsinx+arccosx=—.

练习二

一、1.(-2,0)和(0,2)；2.(2,+co)；3.—；4.工=一1,2

3

二、1.B；2.C；3.D；4.D；5.B.

三、1.y'=ex+x-e'x-(-l)=e-x(l-x),所以

当x=1时，/=0；

当x<l时，y'=e*(l—x)>0,则y在(-8,1)内单调增力口；

当x>l时,y=e"x(l-x)<0,则y在(1,+8)内单调减少.

2.(1)/(X)的定义域为(-00,+8).

f'(x)=3X2-18x+15=3(x-5)(x-1),令尸(x)=0,得驻点3=5,々=1.

f(x)=6x-18,因为/"(5)=6x5-18=I2>0,所以用=5为极小值点，且极小值为

/(5)=-22；

因为广⑴=6xl-18=-12<0,所以*2=1为极大值点，且极大值为/(1)=10.

(2)/(x)的定义域(V,+8).

f'(x)=2ex-e-x,令((x)=0,得驻点x=—In夜.

当x>-ln&时,2e、>e-*,即/(x)>0；

当x<—In及时，2et<e-\即/'(x)<0；

所以，x=-ln四为极小值点，且极小值为/(-In夜)=2夜.

3.函数的定义域为(-co,+8),且在区间|-2,2|内连续.

/'(x)=4/-6x=2x(2x2—3),令/'(x)=0,得驻点％=0,々=-等，/=乎.