（新课标版）THUSSAT中学生标准学术能力2022-2023年度高三诊断性测试9月测试数学试题（含答案与解析）

中学生标准学术能力诊断性测试2022年9月测试

数学试卷

(时间：120分钟分值：150分)

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改

动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本

试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={x*-3x<0},8={*"},A.,则。取值范围是()

A.(-oo,0]B.(^)0,3]C.[0,+oo)D.[3,+co)

2.已知aeR,若/一1+是纯虚数(i是虚数单位)，则。=()

A.-1或1B.0C.-1D.0或1

3.已知函数/(X)的图象如图所示，则它的解析式可能是()

222

A./(x)=-|-j^—B.=-C・/(%)=——D./(x)=-14—

')3凶一3')3W-3L3-33®+3

4.已知向量〃=卜而e,cos。)，方=(l-sina2cos。)，且。《。，兀],则“£〃是"。=色"的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

fjr\jr

5.己知函数/*）=sin2x+1+sin2尤向左平移8个单位后为偶函数，其中Ow0,-.则6的值为

（）

71冗_7171

A.-B.-C.—D.一

2346

6.在平面直角坐标系中，4（0,1）,5（0,2）,若动点C在直线>=x上，圆M过A&C三点，则圆〃的

面积最小值为（）

2兀兀兀

A.兀B.—C.—D.一

324

7.已知椭圆和双曲线有相同的焦点耳、区,它们的离心率分别为，、出，点尸为它们的一个交点，且

/月产乙=半，则的范围是（）

C.（2,+oo）D.

8.已知平面向量b,£满足且”=W=2,卜+4+q=1,则0+的最小值为

（）

A.叵B.V15C.叵D.V17

22

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.己知空间中。涉是两条不同的直线，夕是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）

A.al.a,b-La=>a//b

B.a.La.a±b=>b//a

C.〃尸no与匕异面

D0La,acB=b,aLbna1B

10.如图所示，在四棱锥P—ABC。中，24,平面ABC。，四边形A3C0为正方形，PA=AB=1,

E、产为线段PO上的两个动点（不包括端点），且满足所=更，以下结论正确的个数是（）

2

p

A.AC±EF

B.P3〃平面AEC

C.二面角七一班)一C的大小为定值

D.四面体ACEF的体积为定值

11.已知/(x)=2x2,g(x)=3TX,若方程|/(x)—g(x)卜/(》)一8(力+办+4a=0有四个不同的

根，则满足上述条件的。的可能的值为()

124

A.gB.-C.-D.1

235

2

12.数列｛a“｝满足q=a,an+l=3an-an-1,则下列说法正确的是()

A.若arl且aw2,数列｛q｝单调递减

B.若存在无数个自然数”，使得。,川=。“，则。=1

C.当a>2或a<l时，｛4｝的最小值不存在

111f1

D.当a=3时，--+--+……+--e-J

4-2%-2Un~212_

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若tanja-当］=，，则tan(a-乡］值为.

14.(X+1)2(2%-3)3=%+4%+々2/+小/+%•一，则a4=.

15.随机变量4分布列如下表所示，则方差。(3的取值范围是.

乡012

Pab

3

1431

16.已知—F—=1,则-+-的最小值为_________-

aba-2b—4

三.解答题：本题共6小题，共70分•解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题

为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

17.有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一

个球.

(1)求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：

(2)当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下J个球，则求自的分布列与数学期望£«).

18.在AABC中，角A,B,C的对边分别为。，b,C,且cosC—bsinC=@".

b

(1)求角B的大小；

(2)若人=2,记，为AABC内切圆半径，求"的最大值.

19.如图所示，多面体中，AD//EF//BC,平面ADER_L平面8a户，AD1EC,且

71

AD=CD=2,CB=EF=1,ZBCD=-.

3

(1)证明：BFYDE-,

(2)若FB=B求直线。。与平面A3广所成角的正弦值.

20.已知数列｛叫的前〃项和S,,满足S2=5,2s“=2〃+加“，

(1)求｛%｝的通项公式；

2

.9111,

(2)数列出｝,同满足“瑞q且g…次他,求证：一+—+・・•+—<4.

C\C2Cn

21.如图所示，M、。分别为椭圆W+y2=i(a>i)的左、右顶点，离心率为走

a-2

(1)求椭圆的标准方程；

(2)过M点作两条互相垂直的直线M4,MB与椭圆交于A,8两点，求ADW面积的最大值.

22.已知函数/(x)=e'-ex,g(x)=2ax-a-i,其中aeR,e=2.71828…为自然对数的底数.

(1)求/(x)的最小值；

(2)设函数Mx)=7'(x)-g(x)(/'(X)为"X)的导函数)，如果函数〃(X)在(0,1)内有两个不同的

零点，求实数a的取值范围.

参考答案

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合A={X'_3X<0},B={x|x>a}(A^B则“的取值范围是()

A.(-oo,0]B.C.[0,+a?)D.[3,+oo)

【答案】A

【解析】

【分析】首先解一元二次不等式求出集合A,再根据集合的包含关系求出参数的取值范围；

【详解】解：由X2_3X<0,即(X-3)X<0,解得0〈尤<3,所以

A={小?-<o}={%10<%<3},

又8={x|xNa}且A=

所以a40,即ae(Y>,0]；

故选：A

2.己知aeR,若"―l+(a-l)i是纯虚数(i是虚数单位)，贝ija=()

A.-1或IB.0C.-ID.0或1

【答案】C

【解析】

【分析】根据纯虚数的概念求解即可.

【详解】一l+(a-l)i是纯虚数，

a2-1=0且a—IHO，

解得a=—1,

故选：C

3.已知函数/(X)的图象如图所示，则它的解析式可能是()

22

X

D.f(x)=—

WC-

3-33-J3凶+3

【答案】B

【解析】

【分析】利用排除法,通过函数的定义域，取特殊点验证进行分析判断.

【详解】由图象可知函数的定义域为{》卜工±1},所以排除CD,

由图象可知，/(-2)>0,

_?1

对于A,/(-2)=手匚=—§<0,所以排除A,

对于B,/(—2)=工^'=2>0,符合题意,

八,3同-33

故选：B

4.已知向量a=kin2(9,cos。)，^=(l-sin6>,2cos6>),且6G[0,可，则“£〃是'的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

TTjrSir

【分析】根据向量平行的坐标运算以及三角函数的性质可得当£〃加时。=一或者6=—或者。=L，即

266

可判断必要不充分条件.

【详解】若则满足2cosesin?6=cos6。一sin6),进而得cos6(sine+l)(2sine-1)=(),故

cos。=0或sin。+1=0或2sin6-1=0,

TTTT「TP

由于ee[o,7i],所以。=；或者。=二或者夕=二,

266

TT

因此‘£〃是“。=工”的必要不充分条件，

6

故选：B

'乃、「兀

5.已知函数/'(x)=sin［2x+§J+sin2x向左平移Q个单位后为偶函数，其中0e［。，万］.则0的值为

()

【答案】D

【解析】

【分析】先对函数化简变形，然后利用三角函数图象变换规律求出平移后的解析式，再利用其为偶函数可

求出8的值.

【详解】f（x）=sin^2x+—j+sin2x

=sin2xcos—+cos2xsin—+sin2x

33

3._G）

--sin2x+——cos2x

22

=Gsin（2x+f,

所以『3）的图象向左平移。个单位后，得

y=>/3sin2（x+，）+^=V3sin^2x+2^+^,

因为此函数为偶函数，

所以29+2=K+EM£Z,得6=三十”,ksZ,

6262

TT

因为Oe0,-,

TT

所以。=3

6

故选：D

6.在平面直角坐标系中，A（0,l）,B（0,2）,若动点C在直线y=x上，圆M过A&C三点，则圆M的

面积最小值为（）

【答案】C

【解析】

【分析】设C(a,a),讨论a=l时和awl时两种情况，分别求出或表示出半径的平方值，结合二次函数

性质求得答案.

【详解】因为A(0,l),6(0,2),若动点C在直线y=x上，圆M过A&C三点，

设C(a,a),显然圆心为线段AB的垂直平分线和AC的垂直平分线的交点，

13

当a=l时，C(l,l),则圆心为(_,二)，

22

设圆半径为八则/=d)2+(|-l)2=g,此时圆的面积为兀/=］；

当时，AC的垂直平分线方程为y-四=/一。一区),

2\-a2

313

令>=二，则工=。+――二,

2a2

133133131

故圆心为(an-----,一),则r2=(ad------)2+(1)2=(ad-----)2H—，

。22a22a24

令，=Q+—,由于a>0时，a+—>2；avO时，a+—<—2,

aaa

故，>2或f4—2,

331

因此对于函数丁="一5)2,y>(2--)2=-,

、1、TT

即此时圆M的面积nr>—,

22

综合上述，圆加的面积最小值为3，

2

故选：C

7.已知椭圆和双曲线有相同的焦点耳、工，它们的离心率分别为弓、《2,点P为它们的一个交点，且

27r

/月产乙=半，则e；+e；的范围是()

A.［省8,+8)B.2^^,+8

C.(2,+oo)D.(3,+co)

【答案】C

【解析】

【分析】设椭圆的长半轴长为4,双曲线的实半轴长的，焦距2c.结合椭圆与双曲线的定义，得

|PF^\=at+a2,IPg|=q,在△耳「用中,根据余弦定理可得到％，电，与c的关系式，进而可得

31,t.3

—+—=4,设4=e：/2=e；,则有12=公一；>1，所以觉<乙<1,构造函数

qe?4/j—J4

4r2-2x3

/(%)=—~<x<1,利用导数求出函数的值域即可.

4x—34

【详解】解：设椭圆的长半轴长为4,双曲线的实半轴长。2,焦距2c,点P为第一象限交点.

则|PfJ+|P近1=2%,|尸耳|-|尸得|=2。2,

解得|261=4+。2，|「6|=4一。2,

在△耳P6中,根据余弦定理可得:

227r

WE|=|+|尸入『_2|P8|.C0Sy,

31

整理得4c2=3。：+*,即？+?=4,

%约

,,八31.

设4=64=监，则有0<:<1<，2，7+1=4,

G*2

1.34-t,-3t,3

所以=4-即有弓=^^>1,所以<乙<1,

「2G—J4

4彳一2乙

所以e；+e；=[+t=ti+

24/1-34%-3

.n.r,、4厂—2.x3i

设/(x)=—~—,~<x<\,

4x-34

16X2-24X+6

贝iJf(x)=

(4X—3)2

人，'/、八汨3\/33+y/3

令/(x)=0,得为=—―,x=-——

424

3

所以/(x)<0xe(-,1)上恒成立,

3

所以/(x)在xe(―,1)上单调递减，

4

3

当了趋于一时，/(x)趋于+8,当x趋于1时，/(X)趋于2,

4

所以/。)>2,

nr22

即：e；+纭>2.

故选：C

8.已知平面向量£,B，£满足£_LB，且卜卜M=2,p+G+q=l,则|"+4+2'+］的最小值为

()

A.叵B.V15C.叵D.V17

22

【答案】D

【解析】

【分析】建立直角坐标系，由向量的坐标运算，得点。的轨迹，进而根据相似以及三角形边的关系即可结

合图形求解.

【详解】建立如图所示的直角坐标系，设£=(2,O),B=(O,2),双="=(x,y),M(-2,O),7V(O,-2)

则F+£+q=ln(x+2『+(y+2)2=l,故点C在以(-2,—2)为圆心，半径为1的圆上，

3

如图：取点E(一一,一2),则DE_2，JDC尸1,且NCDE=NNDC,

2~DC~~i~2'~DN~2

CN

因此ADCN“DEC,所以一=2,故。V=2EC,

EC

,+囚+2,+@=次+(,+2)2+2j(x+2『+y2=CN+2CM=2CE+2CM=2(CE+CM)由于

CE+CMNEM=*L2+22=晅，当瓦”,C三点共线且点C在线段ME上时，等号取到，

V22

因此,+可+2,+4=23+01/)2屈，

故选：D

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求，全部选对的得5分，部分选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9.已知空间中。力是两条不同的直线，/，是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（）

A.a±a,b=>a//b

B.a±a,aLb=>b//a

C.aua,bu0,a〃与b异面

D.01a,ac0=b,a上bna上0

【答案】BCD

【解析】

【分析】根据空间中的线与平面，以及平面与平面的位置关系即可逐一判断.

【详解】A：由垂直于同一平面的两直线平行，可知A正确；

B：由a_L4z,a_|_匕可得匕〃a或者故B错误；

C：由aua,buB,a〃4可得。与力异面或。//力，故C错误；

D：由力_La,aQ/?=b,,力，当aUa时，不能得到a_L/?,

只有当aua时，才可以得到故D错误.

故选：BCD

10.如图所示，在四棱锥P—A3C。中，Q4_L平面A8C。，四边形ABCD为正方形，24=43=1,

E、产为线段PO上的两个动点（不包括端点），且满足所=也，以下结论正确的个数是（）

2

p

A.AC±EF

B.P3〃平面AEC

C.二面角七一班）一C的大小为定值

D.四面体ACEF的体积为定值

【答案】CD

【解析】

【分析】根据已知对选项逐项判断即可.

【详解】对于A,因为24,平面ABCD,4（7匚平面/3。£）,.・.24,4。，

假如AC_LE〃，又=.•.AC_L平面P4Q,

又ADu平面PAO,.,.AC，A£>,

而四边形ABC。为正方形，与AC_LAT>矛盾，故ACJ_EE不正确，故A不正确;

对于B,设连接0E,

若PBH平面AEC,又平面PB。D平面AEC=OE,则PB//0E,

在△P8Z）中，因为。为8。的中点，则E必为PD的中点，这与E为线段PD上的动点矛盾，故B不正

确：

对于C,因为E为线段PO上的动点，所以二面角£—80—。的大小即为二面角P—8D—C的大小,

连接P0,

p

因为B4_L平面ABC。，A。,ABu平面ABC。，所以PA_LAD,PA_LAB,

因为四边形ABC。为正方形，PA=AB^AD=\，

所以APABRPAD，

故PB=PD=®BD=6,

又。为8。的中点，POLBD,乂OCLBD,

故NPOC为二面角P—30—C角的平面角，

P0=j+闺=与oc=；AC当,PC7PA2+AC)=5

而△P0C三边均为定值，由余弦定理可求得cosZPOC为定值，

故二面角E一%）一C的大小为定值，故C正确；

对于D,因为抬_L平面ABC。，CDu平面ABCD，C。，

因为四边形ABCD为正方形，,•.AOLCD,

又Q4cAD=A，\C0A平面Q4。，

又E、尸为线段PO上的两个动点（不包括端点），\CDA平面EV，

•••四边形ABCD为正方形，PA^AB^i，:.CD^\,

又尸的边防的高即为△%£＞的边AO的高，故高为交，且防=正,

22

1V20]_

•aq——X-------X---------

•・^EAF2224

VA_CEF=匕_4「=|S.-C。=J，故四面体ACEF的体积为定值，故D正确•

故选：CD

11.己知/'（x）=2x2,g（x）=3TX,若方程|/.（6—8（到一/.（》）一8（》）+奴+4a=0有四个不同的

根，则满足上述条件的。的可能的值为（）

।24.

A.—B.-C.-D.1

235

【答案】AB

【解析】

【分析】先将原方程化简，根据TWxWl与x>l或x<-1,去掉绝对值符号，然后构造函数

屋五）,工〉1或工〈一1

尸(")=<,将方程有四个根转化为y=F（x）与%="|x+2a有四个交点，再结合

图像即可求得。的范围.

当/(x)>g(x)时,即2f»3一国,即为>1或x<—1时

由|/(x)-g(x)|一/(x)-g(x)+办+4a=0可得

[/(x)-g(x)]-/(x)-g(x)+or+4a=()

即g(x)=^x+2a

当/(x”g(x)时,即-IWxKl时，

由|/(》)_8(》)|―/(》)_8(》)+办+4“=0可得

[g(x)-/(x)]-/(x)-g(x)+^+4”。

即/(x)=-^x+2a

令尸⑺Jg(x)，x>l或%<-1

⑴壮⑺，-

则|/(x)一8(犬)|一/(》)一8(%)+内+4"=。有四个不同的根

即凶=尸（X）与必=Wx+2a有四个交点

且％=^x+2a=a]+2）过定点A（-4,0）

画出丁=尸（%）图像如上图所示，结合图像可知,

当直线％=£x+2a过点8（1,2）与C（3,0）时与y=*x）有三个交点

此时％AB=|，&IC=O

即直线必=§x+2a斜率的范围为（0，1

即。＜@＜2=0＜。＜4

255

12

所以满足条件的“为一,一

23

故选:AB.

12.数列｛qj满足％=。，a,l+i=3a„-a^-\,则下列说法正确的是（)

A.若awl且。工2,数列｛%｝单调递减

B.若存在无数个自然数”，使得4川=%,则。=1

C.当a>2或。<1时，｛4｝的最小值不存在

111f1

D.当a=3时，-----+-----+....+-----

4—24—22\2

【答案】ACD

【解析】

【分析】A选项，根据。向—4=—（《,—Ip<0求出可力1,再由。，漳=3%-一1/1求出4彳2,从

而得到。。1且。。2,数列｛《,｝单调递减，A正确；

B选项，可举出反例；

C选项，由a>2或。<1时，4+i—a,=2a,,—a「—1=一（4一炉<。可证得数列&｝单调递减，所以最

小值不存在;

,111

D选项，对。川=3%-一1变形为------=——------采用裂项相消进行求和，结合数列的项

%+1一1/一1«„-2

的正负性和单调性求出其取值范围.

22

【详解】A选项，all+l-an-2an-a,,-1=-（«„-1）,

令%+1<%，解得：q产1，

令a,*1=3a„-a：-1H1,解得：a“H2

综上：q尸1且a“H2,

所以a。1且2,数列｛%｝单调递减，A正确;

2

B选项，当。=2时，a2=3<21-«|-1=6-4-1=1,

当〃23时，。〃=3-1-1=1,

所以存在无数个自然数〃，使得an+i=an

故B错误;

22

C选项，当。>2或。<1时，aM-an=2afJ-an-1=-(«w-1)<0,

所以数列｛为｝单调递减，所以最小值不存在，c正确;

D选项,an+1-1=3an-a；-2=-(a„-l)(a„-2),

111

所以4+1一1（生一1）（凡一2）a„-1%一2'

111_

所以

a-1

n+\

11二十二一••+

故-----+------+.....+

q—2a2—2ctfJ_26Z]—1%—1%—1%—1

1111

%T4+1T2an+i-1

因为q=a=3,4=3q-a；-1=-1<0，｛《,｝单调递减,

1

所以当〃22时，％+1<。2<0,

%

111

所以万一£^1>2,

71+1

111

又因为------7单调递减，所以当〃=1时，-------7取得最大值,

4+1-12an+l-l

1111,

最大值为r•白=5+5=|,

1111Iefpl,D正确.

综上：言+右+……+

勺-22an+t-1

故选：ACD

【点睛】由数列通项公式研究数列的性质，要对数列的通项公式进行变形，转化为熟悉的知识点进行处

1111

理，本题D选项，要将4+1=34-a,：-1变形为------=-----------------=-------------泵用驯

a1

n+\~(a„-1)(«„-2)an-\an-2,

项相消进行求和，结合数列的项的正负性和单调性求出其取值范围.

二.填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

»(57则tan[a71

13.若tan["w的值为.

【答案】3

【解析】

【分析】由tan,利用两角和与差的三角函数和商数关系的齐次式求解.

.(5/r71

sina-------F一

【详解】解：tana一春=一124

757n

、cos0C---------1—

124

=3,

故答案为：3

232345

14.(X+1)(2X-3)=a0+atx+a2x+a3x+a4x+a5x,则％=.

【答案】-20

【解析】

【分析】根据乘法分配律以及二项式展开式的特征即可求解.

【详解】由(x+l)2(2x—3)3=(x2+2x+l)(2x—3>,要得则

X2C；(-3)'(2X)2+2xC1(一3)°(2x)3=-36x4+16x4=-20/,所以q=-20,

故答案为：-20

15.随机变量J的分布列如下表所示，则方差。(/的取值范围是.

4012

]_

Pab

3

【答案】炭］

【解析】

【分析】结合概率之和为1求出“与人之间的关系，进而用人表示出期望公式和方差公式，最后结合二次

函数性质即可求解.

1222

【详解】由题意可知，a+h=\一—=—,则04aW—,0<^<-,

3333

12

故随机变量4的数学期望E(J)=§x0+a+20=a+2b=5+b,

3511

从而。值)=Z［。一夙初2E=一(。—)2+

i=\612

因为04b42,

3

28

<|/<

所以由二次函数性质可知,9--\-9-

2Q

故方差0(4)的取值范围是.

1431

16.已知。>匕>0,—+―=1,则——+--的最小值为_________.

aba-2b-4

1

+

【答案】V3+-##V34-

4

【解析】

11□1

【分析】由题意可得•=」一,由。>〃>0可得4<〃<5,将•=」一代入——+——化简得

〃一4b-4a-2b-4

3101W-40llx-40

----1----=-J.令/(x)=-3--——~,4<x<5,利用导数求出fM的最小值

a-2b-4(b-4)0-8)(九一4)。一8)

即可.

14

【详解】解：因为。—+—=1,所以"=8+4。,

ab

14b-4b

所以一二1—^=1-,所以。=二

abbp-4

又因为。>〃>0,

b>Q

b

所以《>0,解得4<力<5,

b-4

b

>b

为一4

门…313s—4)+a—23b+a-l43h+a-l43(6—8)+a+10.a+10

所以-----1--------=------------------=-------------------=-------------=-------------------=—3—

a-2Z?-4(。-2)・(〃-4)a〃-4a-2Z?+88-Z?S-bh-S

士+1031W-40

_3_^^-

人一/、o1lx—40

令/(x)=-3—(I/有,4<x<5

„■Ilf—80x+128

则f(x)=------------------

[(x-4)(x-8)]2

人，7、n俎40±8V3

令/(x)=0,得8=.........-

11

又因为（4,5）,

所以当xe（4,竺彳誓）时，/（x）＜0,/（x）单调递减;

当XG（丝土更,5）时，/'（X）＞0,f（x）单调递增;

所以/（》）*=/（"簪尸卜叔

故答案为：—+yfi.

4

【点睛】本题考查了转化思想、学生的计算能力，也考查了导数的综合运用，属于难题.

三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题

为必考题，每个试题考生都必须作答.第22.23题为选考题，考生根据要求作答.

17.有甲、乙两个盒子，甲盒子中装有2个小球，乙盒子中装有4个小球，每次随机取一个盒子并从中取一

个球.

（1）求甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球的概率：

（2）当其中一个盒子中的球被取完时，记另一个盒子恰剩下J个球，则求&的分布列与数学期望£修）.

3

【答案】（1）—

16

（2）分布列答案见解析，数学期望：-

2

【解析】

【分析】（1）分析出总共取了四次球，第四次取到的一定是甲盒中的球，前三次中有一次取到甲盒中的

球，另外两次取的是乙盒中的球，利用二项分布求概率公式求出概率；

（2）求出J的可能取值及相应的概率，得到分布列，求出数学期望.

【小问1详解】

甲盒子中的球被取完时，乙盒子中恰剩下2个球，意味着总共取了四次球，第四次取到的一定是甲盒中的

球，

前三次中有一次取到甲盒中的球，另外两次取的是乙盒中的球，

*z"1丫113

所以〃=C；—x—x—=一

\2）2216

【小问2详解】

由题意知：J的可能取值为123.4,

当4=1时，总共取了5次球，剩余的一个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，

若剩余的一个球在甲（乙）盒子中，则第5次取到的是乙（甲）盒子中的球，前4次有一次取到甲盒子中

的球，另外3次取到乙盒子中的球，

所以“=叫5+明―，

当。=2时，总共取了4次球，剩余的2个球可能在甲盒子中，也可能在乙盒子中，

若剩余的2个球在甲盒子中，则4次均取到乙盒子中的球，

若剩余的2个球在乙盒子中，则第4次取到甲盒中的球，前3次有1次取到甲盒中的球，有2次取到乙盒

子中的球，

故尸（1）=4「+嗯）三

当＜=3时，总共取了3次球，剩余的3个球一定在乙盒子中，第3次一定取到的是甲盒中的球，前2次

有1次取到甲盒中的球，有1次取到乙盒子中的球，

所以PC=3）=C；［£|=；，

当J=4时，总共取了2次球，剩余的4个球一定在乙盒子中，前2次均取到甲盒中的球，

（1Y1

即4的分布列为：

234

18.在AABC中，角A,B,。的对边分别为“，b,c,且cosC—J^sinC=3".

b

(1)求角B的大小；

(2)若。=2,记r为AABC的内切圆半径，求"的最大值.

【答案】(1)8=]

⑵是

3

【解析】

【分析】(1)利用正弦定理化边为角，再结合三角恒等变换化简即可得解；

(2)利用余弦定理结合基本不等式求出a+c的最大值，再根据三角形的面积公式计算，从而可得出答案.

【小问1详解】

解：因为cosC一百sinC=^——

b

所以Z?cosC-V§/?sinC=a-2c,

所以sinBcosC-V3sinBsinC=sinA-2sinC，

所以sin3cosC-V3sinBsinC=sin(B+C)-2sinC,

则2sinC-百sinBsinC=sin(B+C)-sinBcosC=cos3sinC,

又sinCW0,

所以2—6sinB=cosB，即2=>/3sinB+cosB=2sin^B+—J,

又8«0,兀)，所以8+看€(2年)，

所以8+'=四，所以8=1；

623

【小问2详解】

解：己知「为AABC内切圆半径，

*.*B=-b=2,

39

b2=4="+c2—ac=(。+-3ac,

<.、23i

,<*cic-...I，，4N(a+c)2—(a+c)~=—(a+c)一,

I2)44

，a+cW4,

q-acsinB=—ac

^ABC24

又因为SA4BC=g(a+〃+c)r=；(a+c+2)r,

.v3ac13ac

••r=—----------——产--------

2a+c+22J3a+c+2

2

1(fl+c)-4=1(a+c_2)^>

2v3a+c+22\/33

当且仅当。=。，即AABC为等边三角形时，r取得最大值为正

3

19.如图所示，多面体ABCOE尸中，AD//EF//BC,平面平面BCE/7,ADLEC,且

7T

AD=CD^2,CB=EF=L/BCD=—.

3

(1)证明：BF上DE：

⑵若FB=®,求直线0c与平面AB"所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见解析；

⑵亚

10

【解析】

【分析】(1)由题意可得四边形£必。为平行四边形，利用3月〃EC,由〃斯，AD±EC,可得

BFA.EF，平面AZ)ER_L平面8CE厂，得3E，平面AOER,即可证明F3_LDE.

(2)由题意可证明故ED，FE，FB两两垂直，建立坐标系，利用空间向量求解即可.

【小