2020北京东城高三（上）期末数学（教师版）

14/142020北京东城高三（上）期末数学一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，那么A． B． C． D．2．复数在复平面内对应的点位于A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．下列函数中，是偶函数，且在区间上单调递增的为A． B． C． D．4．设，为实数，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件5．设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，则下列结论中正确的是A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则6．从数字1，2，3，4，5中，取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，这样的三位数的个数为A．7 B．9 C．10 D．137．设，是三角形的两个内角，下列结论中正确的是A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则8．用平面截圆柱面，当圆柱的轴与所成角为锐角时，圆柱面的截线是一个椭圆．著名数学家创立的双球实验证明了上述结论．如图所示，将两个大小相同的球嵌入圆柱内，使它们分别位于的上方和下方，并且与圆柱面和均相切．给出下列三个结论：①两个球与的切点是所得椭圆的两个焦点；②若球心距，球的半径为，则所得椭圆的焦距为2；③当圆柱的轴与所成的角由小变大时，所得椭圆的离心率也由小变大．其中，所有正确结论的序号是A．① B．②③ C．①② D．①②③二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．若双曲线与有相同的焦点，则实数．10．已知是各项均为正的等比数列，为其前项和，若，，则公比，．11．能说明“直线与圆有两个不同的交点”是真命题的一个的值为．12．在平行四边形中，已知，，则四边形的面积是．13．已知函数，曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，则的所有可能值为．14．将初始温度为的物体放在室温恒定为的实验室里，现等时间间隔测量物体温度，将第次测量得到的物体温度记为，已知．已知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为．给出以下几个模型，那么能够描述这些测量数据的一个合理模型为；（填写模型对应的序号）①；②；③．在上述模型下，设物体温度从上升到所需时间为，从上升到所需时间为，从上升到所需时间为，那么与的大小关系是．（用“”，“”或“”号填空）三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）在中，已知．（Ⅰ）求的大小；（Ⅱ）若，，求的面积16．（13分）2019年6月，国内的运营牌照开始发放．从到，我们国家的移动通信业务用了不到20年的时间，完成了技术上的飞跃，跻身世界先进水平．为了解高校学生对的消费意愿，2019年8月，从某地在校大学生中随机抽取了1000人进行调查，样本中各类用户分布情况如下：用户分类预计升级到的时段人数早期体验用户2019年8月至2019年12月270人中期跟随用户2020年1月至2021年12月530人后期用户2022年1月及以后200人我们将大学生升级时间的早晚与大学生愿意为套餐支付更多的费用作比较，可得出如图的关系（例如早期体验用户中愿意为套餐多支付5元的人数占所有早期体验用户的．（Ⅰ）从该地高校大学生中随机抽取1人，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到的概率；（Ⅱ）从样本的早期体验用户和中期跟随用户中各随机抽取1人，以表示这2人中愿意为升级多支付10元或10元以上的人数，求的分布列和数学期望；（Ⅲ）2019年底，从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐，能否认为样本中早期体验用户的人数有变化？说明理由．17．（14分）如图，在三棱柱中，平面，，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求异面直线与所成角的大小；（Ⅲ）点在线段上，且，点在线段上，若平面，求的值（用含的代数式表示）．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）若在时，有极值，求的值；（Ⅱ）在直线上是否存在点，使得过点至少有两条直线与曲线相切？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由．19．（14分）已知椭圆的离心率是．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知，分别是椭圆的左、右焦点，过作斜率为的直线，交椭圆于，两点，直线，分别交轴于不同的两点，．如果为锐角，求的取值范围．20．（13分）已知数列，记集合，，，．，．（Ⅰ）对于数列，2，3，4，写出集合；（Ⅱ）若，是否存在，，使得？若存在，求出一组符合条件的，；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若，把集合中的元素从小到大排列，得到的新数列为，，，，．若，求的最大值．

参考答案一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．【分析】可以求出集合，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，，．故选：．【点评】本题考查了描述法的定义，一元二次不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】利用复数的运算法则、几何意义即可得出．【解答】解：复数在复平面内对应的点位于第三象限．故选：．【点评】本题考查了复数的运算法则、几何意义，属于基础题．3．【分析】根据函数奇偶性的定义和基本初等函数的单调性，逐项进行判断即可．【解答】解：为奇函数，不符合题意，为非奇非偶函数，不符合题意，为偶函数，在上单调递减，不符合题意，为偶函数，且时，单调递增，符合题意．故选：．【点评】本题考查函数奇偶性的定义，以及基本初等函数的单调性，属于基础题．4．【分析】“”“”，“”“”，从而“”是“”的充分而不必要条件．【解答】解：，为实数，“”“”，，且，“”“”，“”是“”的充分而不必要条件．故选：．【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件的判断，考查指数函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5．【分析】利用线面垂直的性质和线面垂直的判定定理等进行逐一判断即可．【解答】解：对于，垂直于同一直线的直线和平面可能平行，也有可能是，所以错误；对于，若，，，则，故正确．对于，若，，则或，故错误；对于，若，，，则或异面，故错误．故选：．【点评】本题主要考查空间直线和平面位置关系的判断，要求熟练掌握平行和垂直的判定定理和性质定理的应用．6．【分析】分情况讨论其中各位数字之和等于6的三位数，计算其可能的情况数目即可求出结论．【解答】解：从1，2，3，4，5中，随机抽取3个数字（允许重复），其中各位数字之和等于6的三位数可分为以下情形：①由1，1，4三个数字组成的三位数：114，141，411共3个；②由1，2，3三个数字组成的三位数：123，132，213，231，312，321共6个；③由2，2，2三个数字可以组成1个三位数，即222．共有个，故选：．【点评】本题考查排列、组合的综合应用，涉及古典概型的计算，解题时需分类讨论，注意要按一定的顺序，做到不重不漏．7．【分析】根据正余弦函数在上的单调性进行逐一判断即可【解答】解：因为，所以，又因为在上单调递增，在单调递减，若，则，则，，则正确；，，故错；若，则，则，，故错；，，故错；故选：．【点评】本题考查命题真假性的判断，涉及三角函数的单调性等知识点，属于中档题．8．【分析】数形结合，利用切线长定理得空间推过可得①正确，结合图形，利用勾股定理可得②正确，根据图形特征可得③错误．【解答】对于①，设点为曲线上任一点，连接，，则，分别是两个球面的切线，切点分别为，，过点作母线，与两球面分别相交于点，，则，分别是两球面的切点，切点为，，根据切线长定理的空间推广，可知，，所以是定值，故点的轨迹是以，为焦点的椭圆，故①对；对于②，，所以，故②正确；对于③，因为平面与母线的夹角相同，故离心率相同，故③错．故选：．【点评】本题考查椭圆定义及其性质，数形结合是关键，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9．【分析】分别求出两个双曲线的焦点坐标，由题意列式求得值．【解答】解：由双曲线，得，则双曲线的焦点坐标为；由双曲线，得，则双曲线的焦点坐标为，，双曲线与有相同的焦点，，即．故答案为：4．【点评】本题考查双曲线的简单性质，是基础的计算题．10．【分析】结合等比数列的通项公式及求和公式即可求解．【解答】解：，，，，由题意可知，，，．故答案为：，．【点评】本题考查等比数列的通项公式及前项和公式的简单应用，是基础题，11．【分析】把圆的方程整理为标准方程，找出圆心坐标与半径，根据直线与圆有两个不同交点得到直线与圆相交，即圆心到直线的距离小于半径，求出的范围，即可作出判断．【解答】解：圆方程整理得：，圆心，半径，直线与圆有两个不同交点，直线与圆相交，即，，即，解得：，故能说明“直线与圆有两个不同的交点”是真命题的一个的值可以为0．故答案为0．【点评】此题考查了直线与圆相交的性质，直线与圆有两个不同的交点即为直线与圆相交．12．【分析】可画出图形，根据，代入并进行数量积的运算即可得出，从而得出平行四边形为菱形，并且知道，从而可得出四边形的面积．【解答】解：如图，，，，，，四边形是菱形，且，四边形的面积是．故答案为：4．【点评】本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量数量积的运算及计算公式，菱形的定义，菱形的对角线互相垂直，考查了计算能力，属于基础题．13．【分析】令或，；再根据图象与直线相邻的两交点之间距离为，得到的可能取值进而求出结论．【解答】解：由函数的图象与直线的相邻的两个交点之间的距离为，所以或，；曲线与直线相交，若存在相邻两个交点间的距离为，结合正弦函数的图象和性质：，，令，；，，令，；则的所有可能取值为2或10．故答案为：2或10．【点评】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用以及三角方程的求解，熟练应用三角函数的图象和性质是求解的关键，重点考查了推理能力以及计算能力，属于中档题目．14．【分析】（1）根据题意关系找出各个参量的关系，（2）由（1），分析各个量的变化对数据的影响，判断出结果．【解答】解：（1）由题意物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为，可知物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为，故合理模型为，选②；（2）将第次测量得到的物体温度记为，则两次的体温变化为，又由物体温度的变化与实验室和物体温度差成正比（比例系数为，，当物体温度从上升到所需时间为，可得，解得，当物体温度从上升到所需时间为，可得，解得，当物体温度从上升到所需时间为，可得，解得，，，，，，与的大小关系是．故答案为②，．【点评】本题考查根据实际问题求出函数，属于难题．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【分析】（Ⅰ）由正弦定理化简已知等式，结合，根据同角三角函数基本关系式可求，结合范围，可求．（Ⅱ）由正弦定理可得的值，结合范围，可求，进而利用三角形内角和定理可求，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得，因为，所以，又因为，所以．（Ⅱ）由正弦定理可得，又因为，所以，，所以的面积．【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形内角和定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16．【分析】（Ⅰ）由题意知从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，由此能估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到的概率．（Ⅱ）由题间意的所有可能取值为0，1，2，记事件为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，事件为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件，相互独立，（A），（B），由此能求出的分布列和．（Ⅲ）设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐”，则（D）．从而样本中早期体验用户的人数有所增加．【解答】解：（Ⅰ）由题意知从高校大学生中随机抽取1人，该学生在2021年或2021年之前升级到的概率估计为样本中早期体验用户和中期跟随用户的频率，估计该学生愿意在2021年或2021年之前升级到的概率为：．（Ⅱ）由题间意的所有可能取值为0，1，2，记事件为“从早期体验用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，事件为“从中期跟随用户中随机抽取1人，该学生愿意为升级多支付10元或10元以上”，由题意可知，事件，相互独立，（A），（B），，，，的分布列为：0120.180.490.33．（Ⅲ）设事件为“从这1000人的样本中随机抽取3人，这三位学生都已签约套餐”，则（D）．样本中早期体验用户的人数有所增加．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．17．【分析】（Ⅰ）推导出平面，从而平面，进而平面平面，由，得，从而平面，，，由此能证明平面．（Ⅱ）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线与所成角的大小．（Ⅲ）求出平面的法向量，推导出，0，，设，得，，，则，，，平面，得，由此能求出．【解答】解：（Ⅰ）证明：在三棱柱中，平面，平面，平面，平面平面，交线为，又，，平面，平面，，，，，平面．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知平面，，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，0，，，0，，，2，，，0，，，0，，，，，，．异面直线与所成角的大小为；（Ⅲ）解：，2，，，2，，，，，，0，，设平面的法向量，，，则，取，得，1，，点在线段上，且，，0，，点在线段上，设，得，，，则，，，平面，，解得．．【点评】本题考查线面垂直的证明，考查异面直线所成角的大小的求法，考查满足线面平行的线段的比值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18．【分析】结合极值与单调性的关系及极值存在条件即可求解，根据导数的几何意义进行求解即可求解．【解答】解：，由题意可得，，，经检验时，有极值，综上可得，，不妨设直线上存在点，设过点与相切的直线为，切点，，则切线方程为，又直线过，有，即，设，则，故单调递增，至多一个解，故过点与相切的直线最多有一条，故在直线上不存在至少有两条直线与曲线相切．【点评】本题主要考查了导数与单调性关系及极值存在条件的应用及导数几何意义的应用，属于中档试题．19．【分析】（Ⅰ）由题意列关于，，的方程组，解得，则椭圆方程可求；（Ⅱ）由已知直线的斜率不为0，设直线的方程为，直线与椭圆的交点，，，，联立直线方程与椭圆方程，化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系可得，的横坐标的和与积，再写出直线的方程，求得的坐标，同理可得的坐标．由依题