2018北京顺义高三（上）期末数学（理）（第一次统练）（教师版）

14/142018北京顺义高三（上）期末数学（理）（第一次统练）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．已知集合，或，则A． B． C． D．2．若复数在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是A． B． C． D．3．执行如图所示的程序框图，输出的值为A． B． C． D．4．已知点的坐标满足条件，且点在直线上．则的取值范围是A．， B．， C．， D．，5．已知向量，其中，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知，，且，则A． B． C． D．7．已知点，，为坐标原点，点在圆上．若，则的最小值为A． B． C．1 D．38．某食品保鲜时间（单位：小时）与储藏温度（单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数）．若该食品在的保鲜时间是192小时，在的保鲜时间是48小时，则该食品在的保鲜时间是A．16小时 B．20小时 C．24小时 D．28小时二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．已知双曲线和椭圆焦点相同，则该双曲线的方程为．10．在的展开式中，的系数为．（用数字作答）11．在中，，，，则．12．在极坐标系中，直线与圆交于，两点，则．13．在1，2，3，4，5，6，7这七个数字组成的没有重复数字的三位数中，至多有一个数字是奇数的共有个．（用数字作答）14．数列的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若，则位于第10行的第1列的项等于，在图中位于．（填第几行的第几列）三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（13分）已知函数．求的最小正周期；求在区间上的最大值．16．（13分）已知是等差数列，是单调递增的等比数列，且，，．求的通项公式；设，求数列的前项和．17．（13分）为了解市民对，两个品牌共享单车使用情况的满意程度，分别从使用，两个品牌单车的市民中随机抽取了100人，对这两个品牌的单车进行评分，满分60分．根据调查，得到品牌单车评分的频率分布直方图，和品牌单车评分的频数分布表：品牌分数频数分布表分数区间频数，1，3，6，15，40，35根据用户的评分，定义用户对共享单车评价的“满意度指数”如下：评分，，，满意度指数012（Ⅰ）求对品牌单车评价“满意度指数”为0的人数；（Ⅱ）从该市同时使用，两个品牌单车的用户中随机抽取1人进行调查，试估计其对品牌单车评价的“满意度指数”比对品牌单车评价的“满意度指数”高的概率；（Ⅲ）如果从，两个品牌单车中选择一个出行，你会选择哪一个？说明理由．18．（13分）已知函数．（Ⅰ）求曲线在点，（1）处的切线方程；（Ⅱ）若不等式恒成立，求实数的取值范围．19．（14分）已知抛物线经过点，焦点为．（Ⅰ）求抛物线的方程，并求其焦点的坐标；（Ⅱ）若过点的直线与相交于，两点，点关于轴的对称点为．求证：，，三点共线．20．（14分）对于数列，如果存在一个数列，使得对于任意的，都有，则把叫做的“基础数列”．（Ⅰ）设，，求证：是数列的“基础数列”；（Ⅱ）设，是数列的“基础数列”，请判断是否可能为等差数列？并加以证明；（Ⅲ）设，，，且是的“基础数列”，求实数的取值范围．

参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．【分析】先求出集合，然后进行交集的运算即可．【解答】解：，或；．故选：．【点评】考查绝对值不等式的解法，描述法表示集合的概念，以及交集的运算．2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件列出不等式组，求解即可得答案．【解答】解：在复平面内对应的点在第四象限，，解得．实数的取值范围是．故选：．【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：模拟程序的运行，可得，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，不满足条件，执行循环体，，．满足条件，退出循环，输出的值为．故选：．【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．4．【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出目标函数取最大、最小值时的最优解，计算最大、最小值，从而求出的取值范围．【解答】解：画出不等式组表示的平面区域，如图所示；则目标函数转化为，目标函数过点时，取得最小值，过点时取得最大值；由，求得，由，求得，则的最小值为，最大值为；的取值范围是，．故选：．【点评】本题考查了线性规划的简单应用问题，也考查了数形结合的应用问题，是基础题．5．【分析】“”“”；“”“或”．【解答】解：向量，其中，时，，，，“”“”；向量，其中，，，，解得或，“”“或”．“”是“”的充分而不必要条件．故选：．【点评】本题考查命题真假的判断，考查向量垂直等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．6．【分析】，，且，利用函数的单调性、不等式的性质即可判断出结论．【解答】解：，，且，，，，．故选：．【点评】本题考查了函数的单调性、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．7．【分析】设，，用表示出，，根据三角恒等变换得出的函数解析式，从而得出答案．【解答】解：设，，则，，，，其中，，的最小值为．故选：．【点评】本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．8．【分析】由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程组求出，的值，运用指数幂的运算性质求解即可．【解答】解：为自然对数的底数，，为常数）．当时，，当时，当时，故选：．【点评】本题考查的知识点是函数解析式的运用，列出方程求解即可，注意整体求解．二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）9．【分析】根据题意，求出椭圆的焦点坐标，由双曲线的几何性质可得若双曲线和椭圆焦点相同，则有，解可得的值，将的值代入双曲线的方程，即可得答案．【解答】解：根据题意，椭圆焦点的在轴上，且其焦点坐标为，，若双曲线和椭圆焦点相同，则有，解可得；则双曲线的方程为：；故答案为：．【点评】本题考查双曲线的几何性质，关键是掌握双曲线的标准方程的形式．10．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令的指数为2，求出的值，将的值代入通项求出展开式中含项的系数．【解答】解：的展开式的通项为．令，得．展开式中含项的系数为．故答案为：135．【点评】本题考查二项展开式的通项公式的运用．解决二项展开式的特定项问题，二项展开式的通项公式是常用工具，是基础题．11．【分析】由已知利用三角形内角和定理可求，根据余弦定理即可得解的值．【解答】解：，，，，由余弦定理可得：，解得：．故答案为：．【点评】本题主要考查了三角形内角和定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．12．【分析】求出直线的直角坐标方程为，圆的直角坐标方程为，圆心到直线的距离，．由此能求出结果．【解答】解：直线，直线的直角坐标方程为，圆，圆的直角坐标方程为，圆心，半径，圆心到直线的距离，．故答案为：．【点评】本题考查弦长的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．13．【分析】根据题意，分2种情况讨论：①，三位数的3个数字中没有奇数，即有3个偶数，②，三位数的3个数字中有1个奇数，2个偶数，分别求出每一种情况的三位数的数目，由加法原理计算可得答案．【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：①，三位数的3个数字中没有奇数，即有3个偶数，则组成三位数的3个数字为2、4、6，将3个偶数全排列，有种情况，即有6个没有奇数的三位数；②，三位数的3个数字中有1个奇数，2个偶数，先在1、3、5、7中任选1个，2、4、6中任选2个，有种选取方法，将选出的3个数字全排列，有种情况，此时有个只有1个奇数数字的三位数；则一共有个至多有一个数字是奇数的三位数；故答案为：78．【点评】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的应用，注意理解“至多有一个数字是奇数”的含义．14．【分析】由题意可得第行个数为，且最后一个数为第个数，结合已知通项公式，以及等差数列的通项可得所求．【解答】解：由题意可得从上而下各行的个数为1，3，5，7，，第行个数为，且最后一个数为第个数，则第10行有19个数，最后一个数为，可得第一个数为，由前行的个数之和为，由于时，，时，第45行有89个数，由，可得在图中位于第45行第82列．故答案为：，第45行第82列．【点评】本题考查归纳推理的应用，考查数列的特点和等差数列通项和求和公式的应用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．【分析】利用和与差的公式和二倍角，辅助角公式化简，即可求的最小正周期．根据在上，求解内层函数的范围，结合三角函数的性质可得最大值．【解答】解：（1）函数的最小正周期．（2）由上，，故得当时，即时，函数取得最大值为：．【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．16．【分析】设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，．可得，，，联立解出即可得出．由可得：．可得．再利用等差数列与等比数列的求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，且，，．，，，联立解得，，，．．由可得：．．数列的前项和．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．【分析】（Ⅰ）由对品牌单车评分的频率分布直方图，求出对品牌评价“满意度指数”为0的频率，由此能求出对品牌评价“满意度指数”为0的人数．（Ⅱ）设“对品牌单车评价的‘满意度指数’比对品牌单车评价的‘满意度指数’高”为事件，设“对品牌单车评价的‘满意度指数’为1”为事件，“对品牌单车评价的‘满意度指数’为2”为事件，“对品牌单车评价的‘满意度指数’为0”为事件，“对品牌单车评价的‘满意度指数’为1”为事件，用频率估计概率，根据相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式能求出该用户对品牌单车评价的“满意度指数”比对品牌单车评价的“满意度指数”高的概率．（Ⅲ）如果从用户对、两个品牌评价的“满意度指数”的期望角度看，分别求出、品牌“满意度指数”的分布列和期望，由，得选择品牌的单车出行．【解答】解：（Ⅰ）由对品牌单车评分的频率分布直方图，得：对品牌评价“满意度指数”为0的频率为，对品牌评价“满意度指数”为0的人数为人．（Ⅱ）设“对品牌单车评价的‘满意度指数’比对品牌单车评价的‘满意度指数’高”为事件，设“对品牌单车评价的‘满意度指数’为1”为事件，“对品牌单车评价的‘满意度指数’为2”为事件，“对品牌单车评价的‘满意度指数’为0”为事件，“对品牌单车评价的‘满意度指数’为1”为事件，用频率估计概率得：，，，，事件与相互独立，其中，2，，1，（C）．该用户对品牌单车评价的“满意度指数”比对品牌单车评价的“满意度指数”高的概率为0.3．（Ⅲ）如果从用户对、两个品牌评价的“满意度指数”的期望角度看，品牌“满意度指数”的分布列为：0120.20.40.4品牌“满意度指数”的分布列为：0120.10.550.35，，，会选择品牌的单车出行．【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，是中档题．18．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算（1），（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）求出函数的导数，问题等价于，令，根据函数的单调性求出的范围即可．【解答】解：（Ⅰ），故（1），又（1），故切线方程是，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故不等式可化为：，而，故上式等价于，令，则，当时，，则，，的变化如下：10递增极大值递减故是的最大值点，即（1），故，综上，实数的范围是，．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，导数的应用，是一道中档题．19．【分析】把点坐标代入抛物线方程即可得出的值；设直线的方程为，求出，，证明得出结论．【解答】解：把代入抛物线方程得：，抛物线的方程为，焦点坐标为．证明：设直线的方程为，联立方程组，消去可得：，设，，，，则，，，，，，，，即，，三点共线．【点评】本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．20．【分析】（Ⅰ）由，，利用新定义域即可证明．（Ⅱ）由，是数列的“基础数列”，结合定义说