湘教版九年级数学上册同步练习 4.3　解直

第4页第4章锐角三角形函数4.3解直角三角形知识点1一边一角解直角三角形1．如图4－3－1，在Rt△ABC中，∠C＝90°.(1)∠A和c，那么a＝________，b＝________；(2)∠B和b，那么a＝________，c＝________．2．在直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，那么AC＝()A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°图4－3－1图4－3－23．如图4－3－2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，那么BC的长是()A.eq\f(4\r(3),3)B．4C．8eq\r(3)D．4eq\r(3)4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，∠B＝60°，求∠A，b，c.知识点2两边解直角三角形5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝eq\r(2)，AC＝eq\r(6)，那么AB＝________，∠A＝______°，∠B＝________°.6．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，如果a＝2，b＝2eq\r(3)，求c及∠B.知识点3一边和锐角三角函数解直角三角形7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB＝eq\f(\r(3),2)，BC＝5，那么∠B＝________°，AB＝________．8．2023·岳阳如图4－3－3是教学用三角尺，边AC＝30cm，∠C＝90°，tan∠BAC＝eq\f(\r(3),3)，那么边BC的长为()A．30eq\r(3)cmB．20eq\r(3)cmC．10eq\r(3)cmD．5eq\r(3)cm9．在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝eq\f(2,3)，那么AC边的长是()A．6B．2eq\r(5)C．3eq\r(5)D．2eq\r(13)图4－3－3图4－3－4知识点4“双直角三角形〞问题10．如图4－3－4，在△ABC中，AD⊥BC于点D，AB＝8，∠ABD＝30°，∠CAD＝45°，那么BC的长为()A．4eq\r(3)B．4eq\r(3)＋4C．4eq\r(3)－4D．411．教材习题4.3第3题变式如图4－3－5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，∠BDC＝45°，BD＝10eq\r(2)，AB＝20，求∠A的度数．图4－3－512．如图4－3－6所示，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线．AB＝10，tanB＝eq\f(3,4)，那么BC的长为()A．6B．8C．12D．16图4－3－6图4－3－713．如图4－3－7，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，AB＝8cm，BC＝10cm，那么tan∠EAF＝________．14．如图4－3－8，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4.求BC的长．(结果保存根号)图4－3－815．如图4－3－9，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝2，OB＝1，OA与x轴的正方向的夹角为30°，求A，B两点的坐标．图4－3－916．如图4－3－10，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，∠BCD＝45°，点E在BC上，且∠AEB＝60°，假设AB＝2eq\r(3)，AD＝1，求CD和CE的长．(结果保存根号)图4－3－1017．如图4－3－11，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD，AE与CD，CB分别相交于点H，E，AH＝2CH.(1)求sinB的值；(2)如果CD＝eq\r(5)，求BE的长．图4－3－11详解详析1．(1)c·sinAc·cosA(2)eq\f(b,tanB)eq\f(b,sinB)2．D[解析]∵∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝90°－∠A＝90°－40°＝50°.又∵tanB＝eq\f(AC,BC)，∴AC＝BC·tanB＝3tan50°.应选D.3．D[解析]∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，cosB＝eq\f(BC,AB)，即cos30°＝eq\f(BC,8)，∴BC＝8×eq\f(\r(3),2)＝4eq\r(3).应选D.4．解：∠A＝90°－∠B＝30°，c＝eq\f(a,sinA)＝16，b＝a·tanB＝8eq\r(3).5．2eq\r(2)30606．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得c2＝a2＋b2＝22＋(2eq\r(3))2＝42，∴c＝4.∵sinB＝eq\f(b,c)＝eq\f(2\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2)，∴∠B＝60°.7．60108．C[解析]∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tan∠BAC＝eq\f(BC,AC).又∵AC＝30cm，tan∠BAC＝eq\f(\r(3),3)，∴BC＝AC·tan∠BAC＝30×eq\f(\r(3),3)＝10eq\r(3)(cm)．应选C.9．B[解析]∵在△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，∴sinA＝eq\f(2,3)＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(4,AB)，∴AB＝6，∴AC＝eq\r(36－16)＝2eq\r(5).10．B[解析]首先解Rt△ABD，求出AD，BD的长，再解Rt△ADC，求出DC的长，然后由BC＝BD＋DC即可求解．11．解：∵在Rt△BDC中，∠BDC＝45°，BD＝10eq\r(2)，∴BC＝BD·sin∠BDC＝10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝10.∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝20，∴sinA＝eq\f(BC,AB)＝eq\f(10,20)＝eq\f(1,2)，∴∠A＝30°.12．D[解析]∵AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴tanB＝eq\f(AD,BD)＝eq\f(3,4)，∴AD＝eq\f(3,4)BD.∵AD2＋BD2＝AB2，∴(eq\f(3,4)BD)2＋BD2＝102，∴BD＝8，∴BC＝16.应选D.13.eq\f(1,2)[解析]∵四边形ABCD为矩形，∴CD＝AB＝8cm，AD＝BC＝10cm.∵折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，∴AF＝AD＝10cm，DE＝EF，∠AFE＝∠D＝90°.在Rt△ABF中，BF＝eq\r(AF2－AB2)＝6cm，∴FC＝BC－BF＝4cm.设EF＝xcm，那么DE＝xcm，CE＝CD－DE＝(8－x)cm.在Rt△CEF中，∵CF2＋CE2＝EF2，∴42＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8－x))eq\s\up12(2)＝x2，解得x＝5，即EF＝5cm.在Rt△AEF中，tan∠EAF＝eq\f(EF,AF)＝eq\f(5,10)＝eq\f(1,2).14．解：设BC＝x，在Rt△BCD中，∠DBC＝90°，∠BDC＝45°，∴BD＝BC＝x.∵AD＝4，∴AB＝4＋x.在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，BC＝x，AB＝4＋x.∵tanA＝eq\f(BC,AB)，即eq\f(\r(3),3)＝eq\f(x,4＋x)，解得x＝2eq\r(3)＋2，∴BC的长为2eq\r(3)＋2.15．解：过点A作AC⊥x轴于点C，过点B作BD⊥x轴于点D.在Rt△AOC中，AC＝2sin30°＝1，OC＝2cos30°＝eq\r(3)，所以点A的坐标为(eq\r(3)，1)．因为∠AOB＝90°，∠AOC＝30°，所以∠BOC＝60°.同理，BD＝OB·sin60°＝eq\f(\r(3),2)，OD＝OB·cos60°＝eq\f(1,2).因为点B在第四象限，所以点B的坐标为(eq\f(1,2)，－eq\f(\r(3),2))．16．解：过点D作DF⊥BC，垂足为F.∵AD∥BC，∠ABC＝90°，DF⊥BC，∴∠BAD＝∠ABC＝∠DFB＝90°，∴四边形ABFD为矩形，∴DF＝AB＝2eq\r(3)，BF＝AD＝1.∵在Rt△DFC中，∠C＝45°，∴DF＝FC＝2eq\r(3)，CD＝eq\r(2)DF＝2eq\r(6)，∴BC＝FC＋BF＝AB＋AD＝2eq\r(3)＋1.在Rt△ABE中，BE＝eq\f(AB,tan60°)＝2，∴CE＝BC－BE＝2eq\r(3)＋1－2＝2eq\r(3)－1.即CD＝2eq\r(6)，CE＝2eq\r(3)－1.17．解：(1)在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠CAB＋∠B＝90°.∵AE⊥CD，∴∠CAH＋∠ACH＝90°.∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝AD，∴∠DAC＝∠ACD，∴∠B＝∠CAH，∴sinB＝sin∠CAH