2021北京高三二模数学汇编：新定义（教师版）

12/122021北京高三二模数学汇编：新定义集合1.（西城区，21）设是正整数集的一个非空子集，如果对于任意，都有或，则称为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.（Ⅰ）直接写出的所有自邻集；（Ⅱ）若为偶数且，求证：的所有含个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；（Ⅲ）若，求证：.2.(海淀区，21)已知有限集X，Y，定义集合，表示集合X中的元素个数。(Ⅰ)若，求集合和，以及的值；(Ⅱ)给定正整数n，集合对于实数集的非空有限子集A，B，定义集合①求证:；②求的最小值。3.(房山区，21)已知数集.如果对任意的且，与两数中至少有一个属于，则称数集具有性质.（Ⅰ）分别判断数集，是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）设数集具有性质.=1\*GB3①若,证明：对任意都有是的因数；=2\*GB3②证明：.数列1.(东城区，21)设数列定义集合，其中为给定的正整数。(Ⅰ)若，求；(Ⅱ)若A中的项，求证:A为常数列；(Ⅲ)记集合的最大元素为，求证:。2，（朝阳区，21）已知各项均为整数的数列（）满足，且对任意，都有．记．（Ⅰ）若，写出一个符合要求的；（Ⅱ）证明：数列中存在使得；（Ⅲ）若是的整数倍，证明：数列中存在使得．3.（丰台区，21）设数集满足：①任意,有；②任意,有或，则称数集具有性质.（Ⅰ）判断数集是否具有性质，并说明理由；（Ⅱ）若数集且具有性质.(ⅰ)当时，求证：是等差数列；(ⅱ)当不是等差数列时，写出的最大值.（结论不需要证明）4.（昌平区，21）对于有限数列，，，，定义：对于任意的，，有（1）；（2）对于，记.对于，若存在非零常数，使得，则称常数为数列的阶系数.（Ⅰ）设数列的通项公式为，计算，并判断是否为数列的阶系数；（=2\*ROMANII）设数列的通项公式为，且数列的阶系数为，求的值；（=3\*ROMANIII）设数列为等差数列，满足，均为数列的阶系数，且，求的最大值.函数1.（门头沟，21）已知定义在R上的函数φ（x）的图象是一条连续不断的曲线，且在任意区间上φ（x）不是常值函数．设a＝t0＜t1＜…＜tn＝b，其中分点t1，…，tn﹣1将区间[a，b]分成n（n∈N*）个小区间[ti﹣1，ti]，记M{a，b，n}＝|φ（t0）﹣φ（t1）|+|φ（t1）﹣φ（t2）|++|φ（tn﹣1﹣φ（tn）|，称φ（x）为关于区间[a，b]的n阶划分的“落差总和”．当M{a，b，n}取得最大值且n取得最小值n0时，称φ（x）存在“最佳划分”M{a，b，n0}．（Ⅰ）已知φ（x）＝sinx，求M{0，π，2}的最大值M0（不必论证）；（Ⅱ）已知φ（a）＜φ（b），求证：φ（x）在区间[a，b]上存在“最佳划分”M{a，b，1}的充要条件是φ（x）在区间[a，b]上单调递增．

2021北京高三二模数学汇编：新定义参考答案集合1.解：（Ⅰ）的子集中的自邻集有：，，，，，. ……………4分（Ⅱ）对于集合的含有个元素的自邻集，不妨设.因为对于任意，都有或，.所以，，或. ……………6分对于集合，因为，所以，.且.所以. ……………7分因为，，或.所以，，或.所以，对于任意，都有或，.所以集合也是自邻集. ……………8分因为当n为偶数时，，所以.所以，对于集合任意一个含有个元素的自邻集，在上述对应方法下会存在一个不同的含有个元素的自邻集与其对应.所以，的含有个元素的自邻集的个数为偶数. ……………9分（Ⅲ）记自邻集中最大元素为的自邻集的个数为，.当时，，.显然.……………11分下面证明.①自邻集中含，，这三个元素.记去掉这个自邻集中的元素后的集合为，因为，所以仍然是自邻集，且集合中的最大元素是，所以含这三个元素的自邻集的个数为.……………12分②自邻集中含有，这两个元素，不含，且不只有，两个元素.记自邻集中除，之外的最大元素为，则.每个自邻集去掉，这两个元素后，仍然为自邻集，此时的自邻集的最大元素为，可将此时的自邻集分为类：含最大数为的集合个数为.含最大数为的集合个数为.含最大数为的集合个数为.则这样的集合共有个.……………13分③自邻集只含，两个元素，这样的自邻集只有1个.…………14分综上可得.所以，所以当时，.……………15分2.解：（Ⅰ）X－Y＝{1,2}，Y－X＝{5}，|(X－Y)∪(Y∪X)|＝3.（Ⅱ）①显然.若A∪B中含有一个不在S中的元素，则，即.若，且，则此时A中最小的元素，B中最小的元素，所以C中最小的元素.所以.因为，所以，即.综上，.②由①知.所以若，或，则若，且，设，且，，则，若，因为，所以这个数一定在集中C中，且均不等于1.所以所以当，时，所以的最小值是3.解：（Ⅰ）因为与均不属于数集，所以数集不具有性质.……2分因为属于数集，所以数集具有性质.……4分（Ⅱ）=1\*GB3①因为数集具有性质，若，即数集中的各个元素都是整数.……5分假设存在一个数不是的因数,……6分因为为整数，且不是的因数，所以，则，即.……7分而不是的因数，不是整数，，这与数集具有性质相矛盾，所以假设不成立.……8分所以对任意都有是的因数.……9分=2\*GB3②因为具有性质P，所以与中至少有一个属于A，且，所以，故.……10分所以.所以.……11分所以.所以，故.……12分由A具有性质P可知.又因为，所以.……13分..所以.……14分数列1.解: （Ⅰ） 3分（Ⅱ）由于,不妨设令则中的元素为因为所以有因为所以化简可得：从而可得从而数列A为常数列； 10分（Ⅲ）对任意的有所以 15分2.解：（Ⅰ）．（答案不唯一） 3分（Ⅱ）因为，所以异号．假设．设．因为，所以．又因为是有限自然数集，所以可设中的最大数为（）．令,则．因为，所以．因为，且为整数，所以．因此若数列满足，且对任意，都有，则存在使得．若，则数列满足，且对任意，都有，故存在使得，即存在使得．综上，数列中存在使得． 9分（Ⅲ）设，则．设数列中的最大值为，最小值为．因为，所以设在数列中，，．若，因为，所以．设数列，则数列至少有3项．因为，且对任意，都有，所以由（Ⅱ）可知存在使得（），即．若，设数列．同理，存在使得（），即．综上，若是的整数倍，则数列中存在使得． 15分3.解：（Ⅰ）因为，所以数集不具有性质P；…………3分（Ⅱ）（i）因为，所以.所以，则.因为，所以.所以.所以.因为，所以.①所以，.因为，所以.所以.因为，所以.否则，得矛盾.，得矛盾.所以.②①−②得，即.所以.所以是等差数列.…………………12分（ii）的最大值是4.…………………14分4.解：（=1\*ROMANI）因数列通项公式为，所以数列为等比数列，且.得.数列通项公式为，所以当时，.所以是数列的阶系数.………………4分（=2\*ROMANII）因为数列的阶系数为，所以当时，存在，使成立.设等差数列的前项和为，则.令，则.所以，设等差数列的前项和为，,则.令，则.所以，当时，，当