新教材高中数学立体几何初步.5.1直线与平面垂直作业含解析北师大版必修

10/1009/10/§5垂直关系5.1直线与平面垂直(15分钟30分)1.下列说法正确的是 ()A.垂直于同一条直线的两直线平行B.垂直于同一条直线的两直线垂直C.垂直于同一个平面的两直线平行D.垂直于同一条直线的一条直线和平面平行【解析】选C.垂直于同一条直线的两直线可能平行、可能相交、可能异面,故A,B错误;由线面垂直的性质定理知C正确;D中这条直线可能在平面内,故D错误.2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线l(与直线BB1不重合)⊥平面A1CA.B1B⊥lB.B1B∥lC.B1B与l异面D.B1B与l相交【解析】选B.因为B1B⊥平面A1C1,又l⊥平面A1C1,则l∥B3.如图,?ADEF的边AF⊥平面ABCD,且AF=2,CD=3,则CE= ()A.2 B.3C.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为四边形ADEF为平行四边形,所以AF∥DE且AF=DE.因为AF⊥平面ABCD,所以DE⊥平面ABCD.所以DE⊥DC.因为AF=2,所以DE=2.又CD=3,所以CE=QUOTE=QUOTE=QUOTE.4.一条与平面α相交的线段,其长度为10cm,两端点到平面的距离分别是2cm,3cm,这条线段与平面α所成的角大小是________.?【解析】如图,作出AC⊥α,BD⊥α,则AC∥BD,AC,BD确定的平面与平面α交于CD,且CD与AB相交于O,AB=10,AC=3,BD=2,则AO=6,BO=4,所以∠AOC=∠BOD=30°.答案:30°5.如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是BC1的中点,则直线DE与平面ABCD所成角的正切值为________【解析】取BC的中点F,连接EF,DF.则EF∥C1C,且EF=QUOTEC1C=1.又因为C1C⊥平面ABCD,所以EF⊥所以∠EDF为直线DE与平面ABCD所成的角.又因为DF=QUOTE=QUOTE,所以tan∠EDF=QUOTE=QUOTE=QUOTE.答案:QUOTE6.如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B(1)证明:B1C(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求点B1到平面ABC的距离.【解析】(1)连接BC1,则O为B1C与BC1因为侧面BB1C1C为菱形,所以B1C又AO⊥平面BB1C1C,所以B由于BC1∩AO=O,故B1C⊥又因为AB?平面ABO,所以B1C⊥(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD.作OH⊥AD,垂足为H.由于BC⊥AO,BC⊥OD,且AO∩OD=O,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.又OH⊥AD,且AD∩BC=D,所以OH⊥平面ABC.因为∠CBB1=60°,所以△CBB1为等边三角形,又BC=1,可得OD=QUOTE.因为AC⊥AB1,所以OA=QUOTEB1C=QUOTE.由OH·AD=OD·OA,且AD=QUOTE=QUOTE,得OH=QUOTE.又O为B1C所以点B1到平面ABC的距离为2OH=QUOTE.(30分钟60分)一、单选题(每小题5分,共20分)1.正方体ABCD-A1B1C1D1中与AD1A.平面DD1B.平面A1DBC.平面A1B1C1DD.平面A1DB1【解析】选D.因为AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,所以AD1⊥平面A1DB1.2.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是 ()A.异面 B.平行C.垂直 D.不确定【解析】选C.因为BA⊥α,α∩β=l,l?α,所以BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC=B,所以l⊥平面ABC.因为AC?平面ABC,所以l⊥AC.3.(2020·新高考全国Ⅰ卷)日晷是中国古代用来测定时间的仪器,利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间.把地球看成一个球(球心记为O),地球上一点A的纬度是指OA与地球赤道所在平面所成角,点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面,在点A处放置一个日晷,若晷面与赤道所在平面平行,点A处的纬度为北纬40°,则晷针与点A处水平面所成的角为 ()A.20° B.40° C.50° D.90°【命题意图】本题考查直线与平面所成的角、线面垂直的定义以及数学文化,考查学生的空间想象能力,体现了直观想象和数学运算等核心素养.【解析】选B.晷针与晷面垂直,而晷面与赤道所在平面平行,所以晷针与赤道所在平面垂直,进而可知晷针与OA的夹角是50°,又OA垂直点A处的水平面,则晷针与点A处的水平面所成的角为40°.【补偿训练】1.已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,则点C到平面BDD1B1A.1B.QUOTEC.2QUOTED.2QUOTE【解析】选B.如图,连接AC,DB交于点O,在正方体ABCD-A1B1C1D1中因为DB⊥AC,BB1⊥AC,BB1∩DB=B,所以AC⊥平面BDD1B1.所以点C到平面BDD1B1的距离为CO,CO=QUOTEAC=QUOTE.2.在△ABC中∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为 ()A.2QUOTE B.7 C.QUOTE D.QUOTE【解析】选A.如图所示,因为PC⊥平面ABC,所以PC⊥CM,则△PCM是直角三角形,故PM2=PC2+CM2,所以当CM⊥AB时,CM最小,此时PM也最小.由条件知AC=4,BC=4QUOTE,故CM的最小值为2QUOTE,又PC=4,则PM的最小值为QUOTE=2QUOTE.4.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是 ()A.EF⊥平面α B.EF⊥平面βC.PQ⊥GE D.PQD.PQ⊥FH【解析】选B.因为EG⊥平面α,PQ?平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ?平面β,得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH.【误区警示】做此题进行加条件时,四个选项需要逐一分析,要认真领会线面垂直的性质和判定定理的内容.二、多选题(每小题5分,共10分,全部选对得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)5.下列命题正确的是 ()A.QUOTE?b⊥α B.QUOTE?a∥bC.QUOTE?b∥α D.QUOTE?b⊥α【解析】选AB.由性质定理可得A,B正确.6.如图,四棱锥S-ABCD底面为正方形,SD⊥底面ABCD,则下列结论中正确的有 ()A.AC⊥SBB.AB∥平面SCDC.SA与平面ABCD所成的角是∠SADD.AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角【解析】选ABCD.因为SD⊥平面ABCD,AC?平面ABCD,所以SD⊥AC.因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC,又SD∩BD=D,所以AC⊥平面SBD,而SB?平面SBD,所以AC⊥SB,故①正确.因为AB∥CD,AB?平面SDC,CD?平面SDC,所以AB∥平面SCD,故②正确.因为SD⊥平面ABCD,所以SA在底面上的射影为AD,所以SA与底面ABCD所成的角为∠SAD,③正确.因为AB∥CD,故④也正确.三、填空题(每小题5分,共10分)7.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB1与平面ADD1A1所成的角等于________;AB1与平面DCC1D1所成的角等于【解析】∠B1AA1为AB1与平面ADD1A1所成的角,即45°;AB1与平面DCC1D1答案:45°0°【补偿训练】在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,当底面四边形ABCD满足条件________时,有A1C⊥B1D【解析】当BD⊥AC时,BD⊥AA1,AC∩AA1=A,所以BD⊥平面AA1C,从而BD⊥A1又B1D1∥BD,所以A1C⊥B1D1答案:BD⊥AC8.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面.①若m∥α,m⊥n,则n⊥α;②若m⊥α,n∥α,则m⊥n;③若m?α,n?β,且α∥β,则m∥n;④若m,n不平行,则m与n不可能垂直于同一平面.其中为真命题的是________.(填序号)?【解析】①若m∥α,m⊥n,则n与α位置关系不确定,故为假命题.②若n∥α,则α内存在直线l与n平行.因为m⊥α,所以m⊥l,所以m⊥n.故为真命题.③若m?α,n?β,且α∥β,则m,n可能异面.故为假命题.④原命题的逆否命题为“若m与n垂直于同一平面,则m,n平行”,为真命题,所以原命题为真命题,所以②④为真命题.答案:②④四、解答题(每小题10分,共20分)9.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是BB1上的动点,AB1,DF交于点E,要使AB1⊥平面C1DF,求线段B1【解析】设B1F=x,因为AB1⊥平面C1DF,DF?平面C1DF,所以AB1⊥由已知可得A1B1=QUOTE.设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h,则DE=QUOTEh.又2×QUOTE=hQUOTE,所以h=QUOTE,DE=QUOTE.在Rt△DB1E中,B1E=QUOTE=QUOTE.在Rt△DB1F中,由面积相等得QUOTE×QUOTE=QUOTEx,解得x=QUOTE,即线段B1F的长为QUOTE.10.如图,四棱锥P-ABCD的底面为正方形,PD⊥底面ABCD.设平面PAD与平面PBC的交线为l.证明:l⊥平面PDC.【证明】在正方形ABCD中,AD∥BC,因为AD?平面PBC,BC?平面PBC,所以AD∥平面PBC,又因为AD?平面PAD,平面PAD∩平面PBC=l,所以AD∥l,因为在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,所以AD⊥DC,所以l⊥DC,且PD⊥平面ABCD,所以AD⊥PD,所以l⊥PD,因为CD∩PD=D所以l⊥平面PDC.如图,直升机上一点P在地面α上的正射影是点A(即PA⊥α),从点P看地平面上一物体B(不同于A),直线PB垂直于飞机玻璃窗所在的平面β.求证:平面β必与平面α相交.【证明】假设平面α与平面β平行.因为PA⊥平面α,所以PA⊥平面β.因为PB⊥平面β,由线面垂直的性质定理,可得PA∥PB,与已知PA∩PB=P矛盾,所以平面β必与平面α相交.【补偿训练】如图,AEC是半径为a的半圆,AC为直径,点E为弧AC的中点,点B和点C为线段AD的三等分点,平面AEC外一点F满足FC⊥平面BED,FB=QUOTEa.(1)证明:EB⊥FD;(2)求点B到平面FED的距离.【解析】(1)因为FC⊥平面BED,BE?平面BED,所以EB⊥FC.又点E为弧AC的中点,B为直径AC的中点,所以EB⊥BC.又因为FC∩BC=C,所以EB⊥平面FBD.因为FD?平面FBD,所以EB⊥FD.(2)如图,在平面BEC内过C作CH⊥ED,连接FH.则由FC⊥平面BED知,ED⊥平面FCH.因为Rt△DHC∽Rt△DBE,所以QUOTE=QUOT