新教材高中数学空间向量与立体几何章末综合测评含解析新人教A版选择性必修

14/1413/14/章末综合测评(一)空间向量与立体几何(满分：150分时间：120分钟)一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．空间直角坐标系中，点A(－3,4,0)与点B(2，－1,6)的距离是()A．2eq\r(43)B．2eq\r(21)C．9D．eq\r(86)D[由条件知eq\o(AB,\s\up8(→))＝(5，－5,6)，∴|eq\o(AB,\s\up8(→))|＝eq\r(25＋25＋36)＝eq\r(86).故选D.]2．在空间四边形ABCD中，若向量eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3,5,2)，eq\o(CD,\s\up8(→))＝(－7，－1，－4)，点E，F分别为线段BC，AD的中点，则eq\o(EF,\s\up8(→))的坐标为()A．(2,3,3) B．(－2，－3，－3)C．(5，－2,1) D．(－5,2，－1)B[取AC中点M，连接ME，MF(图略)，则eq\o(ME,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(5,2)，1))，eq\o(MF,\s\up8(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CD,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,2)，－\f(1,2)，－2))，所以eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\o(MF,\s\up8(→))－eq\o(ME,\s\up8(→))＝(－2，－3，－3)，故选B.]3．A，B，C不共线，对空间内任意一点O，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\f(1,8)eq\o(OC,\s\up8(→))，则P，A，B，C四点()A．不共面B．共面C．不一定共面D．无法判断是否共面B[由于eq\f(3,4)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝1，∴P、A、B、C四点共面．故选B.]4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1,0)，则y轴与平面α所成的角的大小为()A．eq\f(π,6) B．eq\f(π,4)C．eq\f(π,3) D．eq\f(π,2)B[y轴的一个方向向量s＝(0,1,0)，cos〈n，s〉＝eq\f(n·s,|n|·|s|)＝－eq\f(\r(2),2)，即y轴与平面α所成角的正弦值是eq\f(\r(2),2)，故其所成的角的大小是eq\f(π,4).故选B.]5.长方体ABCD-A1B1C1D1中AB＝AA1＝2，AD＝1，E为CC1的中点，则异面直线BC1与AE所成角的余弦值为()A．eq\f(\r(10),10) B．eq\f(\r(30),10)C．eq\f(2\r(15),10) D．eq\f(3\r(10),10)B[建立坐标系如图所示．则A(1,0,0)，E(0,2,1)，B(1,2,0)，C1(0,2,2)，eq\o(BC1,\s\up8(→))＝(－1,0,2)，eq\o(AE,\s\up8(→))＝(－1,2,1)．cos〈eq\o(BC1,\s\up8(→))，eq\o(AE,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(AE,\s\up8(→))·\o(BC1,\s\up8(→)),|\o(AE,\s\up8(→))|·|\o(BC1,\s\up8(→))|)＝eq\f(\r(30),10).所以异面直线BC1与AE所成角的余弦值为eq\f(\r(30),10).故选B.]6．空间直角坐标系中A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，则直线AB与CD的位置关系是()A．平行B．垂直C．相交但不垂直D．无法确定A[∵空间直角坐标系中，A(1,2,3)，B(－1,0,5)，C(3,0,4)，D(4,1,3)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝(－2，－2,2)，eq\o(CD,\s\up8(→))＝(1,1，－1)，∴eq\o(AB,\s\up8(→))＝－2eq\o(CD,\s\up8(→))，∴直线AB与CD平行．故选A.]7.如图是一平行六面体ABCD-A1B1C1D1，E为BC延长线一点，eq\o(BC,\s\up8(→))＝2eq\o(CE,\s\up8(→))，则eq\o(D1E,\s\up8(→))＝()A．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))＋eq\o(AA1,\s\up8(→))B．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))C．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))D．eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))B[取BC的中点F，连接A1F(图略)，则A1D1FE，所以四边形A1D1EF是平行四边形，所以A1FD1E，所以eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\o(D1E,\s\up8(→)).又eq\o(A1F,\s\up8(→))＝eq\o(A1A,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\o(BF,\s\up8(→))＝－eq\o(AA1,\s\up8(→))＋eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))，所以eq\o(D1E,\s\up8(→))＝eq\o(AB,\s\up8(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AD,\s\up8(→))－eq\o(AA1,\s\up8(→))，故选B.]8.如图所示，ABCD-A1B1C1D1是棱长为6的正方体，E，F分别是棱AB，BC上的动点，且AE＝BF.当A1，E，F，C1四点共面时，平面A1DE与平面C1DF所成夹角的余弦值为()A．eq\f(\r(2),2) B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,5) D．eq\f(2\r(6),5)B[以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，易知当E(6,3,0)、F(3,6,0)时，A1、E、F、C1共面，设平面A1DE的法向量为n1＝(a，b，c)，依题意得可取n1＝(－1,2,1)，同理可得平面C1DF的一个法向量为n2＝(2，－1,1)，故平面A1DE与平面C1DF的夹角的余弦值为eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)＝eq\f(1,2).故选B.]二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)9．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中正确的有()A．eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))与eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))是一对相反向量B．eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))与eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OD1,\s\up8(→))是一对相反向量C．eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))与eq\o(OA1,\s\up8(→))＋eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))＋eq\o(OD1,\s\up8(→))是一对相反向量D．eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))与eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OC1,\s\up8(→))是一对相反向量ACD[∵O为正方体的中心，∴eq\o(OA,\s\up8(→))＝－eq\o(OC1,\s\up8(→))，eq\o(OD,\s\up8(→))＝－eq\o(OB1,\s\up8(→))，故eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝－(eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→)))，同理可得eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up8(→))＋eq\o(OD1,\s\up8(→)))，故eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(OB,\s\up8(→))＋eq\o(OC,\s\up8(→))＋eq\o(OD,\s\up8(→))＝－(eq\o(OA1,\s\up8(→))＋eq\o(OB1,\s\up8(→))＋eq\o(OC1,\s\up8(→))＋eq\o(OD1,\s\up8(→)))，∴AC正确；∵eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))＝eq\o(CB,\s\up8(→))，eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OD1,\s\up8(→))＝eq\o(D1A1,\s\up8(→))，∴eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))与eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OD1,\s\up8(→))是两个相等的向量，∴B不正确；∵eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝eq\o(AA1,\s\up8(→))，eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OC1,\s\up8(→))＝eq\o(C1C,\s\up8(→))＝－eq\o(AA1,\s\up8(→))，∴eq\o(OA1,\s\up8(→))－eq\o(OA,\s\up8(→))＝－(eq\o(OC,\s\up8(→))－eq\o(OC1,\s\up8(→)))，∴D正确．]10．在以下命题中，不正确的命题有()A．|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件B．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λbC．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若eq\o(OP,\s\up8(→))＝2eq\o(OA,\s\up8(→))－2eq\o(OB,\s\up8(→))－eq\o(OC,\s\up8(→))，则P，A，B，C四点共面D．若{a，b，c}为空间的一个基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间的另一个基底ABC[A.|a|－|b|＝|a＋b|?a与b共线，但a与b共线时|a|－|b|＝|a＋bB.b定成立，故不正确；B.b需为非零向量，故不正确；C.因为2－2－1≠1，由共面向量定理知，不正确；D.由基底的定义知正确．]11．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则与直线CE不垂直的有()A．AC B．BDC．A1D D．A1AACD[建立如图所示的空间直角坐标系．设正方体的棱长为1.则A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,1,0)，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，C1(0,1,1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,2)，1))，∴eq\o(CE,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,2)，1))，eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－1,1,0)，eq\o(BD,\s\up8(→))＝(－1，－1,0)，eq\o(A1D,\s\up8(→))＝(－1,0，－1)，eq\o(A1A,\s\up8(→))＝(0,0，－1)．∵eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＋0＝－1≠0，eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(BD,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋0＝0，eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(A1D,\s\up8(→))＝－eq\f(1,2)＋0－1＝－eq\f(3,2)≠0.eq\o(CE,\s\up8(→))·eq\o(A1A,\s\up8(→))＝0＋0－1＝－1≠0.∴与CE不垂直的有AC、A1D、A1A，故选ACD.]12.如图，已知E是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC的中点，F是棱BB1的中点，设点D到面AED1的距离为d，直线DE与面AED1所成的角为θ，面AED1与面AED的夹角为α，则()A．DF⊥面AED1B．d＝eq\f(4,3)C．sinθ＝eq\f(4\r(5),15)D．cosα＝eq\f(2,3)BCD[以A为坐标原点，eq\o(AB,\s\up8(→))，eq\o(AD,\s\up8(→))，eq\o(AA1,\s\up8(→))的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，则A(0,0,0)，E(2,1,0)，D(0,2,0)，D1(0,2,2)，A1(0,0,2)，F(2,0,1)，所以eq\o(AE,\s\up8(→))＝(2,1,0)，eq\o(AD1,\s\up8(→))＝(0,2,2)，eq\o(DE,\s\up8(→))＝(2，－1,0)，eq\o(DF,\s\up8(→))＝(2，－2,1)．设平面AED1的法向量为m＝(x，y，z)，则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m·\o(AE,\s\up8(→))＝0,m·\o(AD1,\s\up8(→))＝0))，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y＝0,2y＋2z＝0，))令x＝1，则y＝－2，z＝2，故m＝(1，－2,2)．∵eq\o(DF,\s\up8(→))＝(2，－2,1)，不存在λ使m＝λeq\o(DF,\s\up8(→))，即eq\o(DF,\s\up8(→))与m不共线，∴DF与面AED1不垂直故A不正确；又∵eq\o(DD1,\s\up8(→))＝(0,0,2)，∴d＝eq\f(\o(DD1,\s\up8(→))·m,|m|)＝eq\f(4,\r(1＋4＋4))＝eq\f(4,3)，故B正确；又eq\o(DE,\s\up8(→))＝(2，－1,0)．∴sinθ＝|cos〈eq\o(DE,\s\up8(→))，m〉|＝eq\f(|2＋2＋0|,\r(1＋4＋4)\r(4＋1))＝eq\f(4\r(5),15).∴C正确；又eq\o(AA1,\s\up8(→))＝(0,0,2)为平面AED的一个法向量，∴cosα＝eq\f(|\o(AA1,\s\up8(→))·m|,|\o(AA1,\s\up8(→))||m|)＝eq\f(4,2×3)＝eq\f(2,3)，故D正确，故应选B、C、D.]三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．已知向量e1，e2，e3是三个不共面的非零向量，且a＝2e1－e2＋e3，b＝－e1＋4e2－2e3，c＝11e1＋5e2＋λe3，若向量a，b，c共面，则λ＝________.1[因为a，b，c共面，所以存在实数m，n，使得c＝ma＋nb，则11e1＋5e2＋λe3＝(2m－n)e1＋(－m＋4n)e2＋(m－2n)e3，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2m－n＝11,－m＋4n＝5,m－2n＝λ))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝7,n＝3,λ＝1)).]14.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝eq\r(2)，E，F分别是面A1B1C1D1、面BCC1B1的中心，则E、F两点间的距离为________．eq\f(\r(6),2)[以D为坐标原点，分别以eq\o(DA,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))，eq\o(DD1,\s\up8(→))所在方向为x、y、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系(图略)，由条件知E(1,1，eq\r(2))，Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，2，\f(\r(2),2)))∴eq\o(EF,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，1，－\f(\r(2),2)))，∴E、F两点间的距离为|eq\o(EF,\s\up8(→))|＝eq\r(0＋1＋\f(1,2))＝eq\f(\r(6),2).]15．已知正四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上底面A1B1C1D1边长为1，下底面ABCD边长为2，侧棱与底面所成的角为60°，则异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为________．eq\f(1,4)[设上、下底面中心分别为O1、O，则OO1⊥平面ABCD，以O为原点，直线BD、AC、OO1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．∵AB＝2，A1B1＝1，∴AC＝BD＝2eq\r(2)，A1C1＝B1D1＝eq\r(2)，∵平面BDD1B1⊥平面ABCD，∴∠B1BO为侧棱与底面所成的角，∴∠B1BO＝60°，设棱台高为h，则tan60°＝eq\f(h,\r(2)－\f(\r(2),2))，∴h＝eq\f(\r(6),2)，∴A(0，－eq\r(2)，0)，D1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0，\f(\r(6),2)))，B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，0，\f(\r(6),2)))，C(0，eq\r(2)，0)，∴eq\o(AD1,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\r(2)，\f(\r(6),2)))，eq\o(B1C,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，\r(2)，－\f(\r(6),2)))，∴cos〈eq\o(AD1,\s\up8(→))·eq\o(B1C,\s\up8(→))〉＝eq\f(\o(AD1,\s\up8(→))·\o(B1C,\s\up8(→)),|AD1|·|B1C|)＝eq\f(1,4)，故异面直线AD1与B1C所成角的余弦值为eq\f(1,4).]16．已知向量a＝(1，－3,2)，b＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．则|2a＋b|＝________；在直线AB上，存在一点E，使得eq\o(OE,\s\up8(→))⊥b，则点E的坐标为________．(第一空2分，第二空3分)5eq\r(2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5)))[2a＋b＝(2，－6,4)＋(－2,1,1)＝(0，－5,5)，故|2a＋b|＝eq\r(02＋?－5?2＋52)＝5eq\r(2).又eq\o(OE,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋eq\o(AE,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋teq\o(AB,\s\up8(→))＝(－3，－1,4)＋t(1，－1，－2)＝(－3＋t，－1－t,4－2t)，由eq\o(OE,\s\up8(→))⊥b，则eq\o(OE,\s\up8(→))·b＝0，所以－2(－3＋t)＋(－1－t)＋(4－2t)＝0，解得t＝eq\f(9,5)，因此，此时点E的坐标为Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(14,5)，\f(2,5))).]四、解答题(本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：(1)a，b，c；(2)a＋c与b＋c夹角的余弦值．[解](1)因为a∥b，所以eq\f(x,－2)＝eq\f(4,y)＝eq\f(1,－1)，解得x＝2，y＝－4，则a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．又b⊥c，所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．(2)由(1)得a＋c＝(5,2,3)，b＋c＝(1，－6,1)，设a＋c与b＋c夹角为θ，因此cosθ＝eq\f(5－12＋3,\r(38)·\r(38))＝－eq\f(2,19).18．(本小题满分12分)如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是正方形，CC1＝3，CD＝2，且∠C1CB＝∠C1CD＝60°.(1)设eq\o(CD,\s\up8(→))＝a，eq\o(CB,\s\up8(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up8(→))＝c，试用a，b，c表示eq\o(A1C,\s\up8(→))；(2)已知O为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心，求CO的长．[解](1)由eq\o(CD,\s\up8(→))＝a，eq\o(CB,\s\up8(→))＝b，eq\o(CC1,\s\up8(→))＝c，得eq\o(CA1,\s\up8(→))＝a＋b＋c，所以eq\o(A1C,\s\up8(→))＝－a－b－c.(2)O为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心，即O为线段A1C的中点．由已知条件得|a|＝|b|＝2，|c|＝3，a·b＝0，〈a，c〉＝60°，〈b，c〉＝60°.由(1)得eq\o(CA1,\s\up8(→))＝a＋b＋c，则|eq\o(CA1,\s\up8(→))|2＝eq\o(CA1,\s\up8(→))2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c＝22＋22＋32＋0＋2×2×3×cos60°＋2×2×3×cos60°＝29.所以A1C的长为eq\r(29)，所以CO的长为eq\f(\r(29),2).19．(本小题满分12分)如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝2，AA1＝5，E、F分别为D1D、B1B上的点，且DE＝B1F＝1.(1)求证：BE⊥平面ACF；(2)求点E到平面ACF的距离．[解](1)证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5)、E(0,0,1)、F(2,2,4)．∴eq\o(AC,\s\up8(→))＝(－2,2,0)、eq\o(AF,\s\up8(→))＝(0,2,4)、eq\o(BE,\s\up8(→))＝(－2，－2,1)、eq\o(AE,\s\up8(→))＝(－2,0,1)．∵eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(AC,\s\up8(→))＝0，eq\o(BE,\s\up8(→))·eq\o(AF,\s\up8(→))＝0，∴BE⊥AC，BE⊥AF，且AC∩AF＝A.∴BE⊥平面ACF.(2)由(1)知，eq\o(BE,\s\up8(→))为平面ACF的一个法向量，∴点E到平面ACF的距离d＝eq\f(|\o(AE,\s\up8(→))·\o(BE,\s\up8(→))|,|\o(BE,\s\up8(→))|)＝eq\f(5,3).故点E到平面ACF的距离为eq\f(5,3).20.(本小题满分12分)如图所示，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC′所成角的大小；(2)求DP与平面AA′D′D所成角的大小．[解](1)如图所示，以D为原点，DA，DC，DD′分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，设DA＝1.则eq\o(DA,\s\up8(→))＝(1,0,0)，eq\o(CC′,\s\up8(→))＝(0,0,1)．连接BD，B′D′.在平面BB′D′D中，延长DP交B′D′于H.设eq\o(DH,\s\up8(→))＝(m，m,1)(m>0)，由已知〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))〉＝60°，由eq\o(DA,\s\up8(→))·eq\o(DH,\s\up8(→))＝|eq\o(DA,\s\up8(→))||eq\o(DH,\s\up8(→))|cos〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(DA,\s\up8(→))〉，可得2m＝eq\r(2m2＋1).解得m＝eq\f(\r(2),2)，所以eq\o(DH,\s\up8(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)，1)).因为cos〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))〉＝eq\f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×0＋1×1,\r(2)×1)＝eq\f(\r(2),2)，所以〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(CC′,\s\up8(→))〉＝45°，即DP与CC′所成的角为45°.(2)平面AA′D′D的一个法向量是eq\o(DC,\s\up8(→))＝(0,1,0)，因为cos〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))〉＝eq\f(\f(\r(2),2)×0＋\f(\r(2),2)×1＋1×0,1×\r(2))＝eq\f(1,2)，所以〈eq\o(DH,\s\up8(→))，eq\o(DC,\s\up8(→))〉＝60°，可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.21．(本小题满分12分)如图，边长为2的等边△PCD所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，BC＝2eq\r(2)，M为BC的中点．(1)证明：AM⊥PM；(2)求平面PAM与平面DAM的夹角的大小；(3)求点D到平面AMP的距离．[解](1)证明：以D为原点，分别以直线DA，DC为x轴、y轴，建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，eq\r(3))，C(0,2,0)，A(2eq\r(2)，0,0)，M(eq\r(2)，2,0)．eq\o(PM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))，eq\o(AM,\s\up8(→))＝(－eq\r(2)，2,0)，∴eq\o(PM,\s\up8(→))·eq\o(AM,\s\up8(→))＝(eq\r(2)，1，－eq\r(3))·(－eq\r(2)，2,0)＝0，即eq\o(PM,\s\up8(→))⊥eq\o(AM,\s\up8(→))，∴AM⊥PM.(2)设n＝(x，y，z)为平面PAM的法向量，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(n·\o(PM,\s\up8(→))＝0，,n·\o(AM,\s\up8(→))＝0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\r(2)x＋y－\r(3)z＝0，,－\r(2)x＋2y＝0，))取y＝1，得n＝(eq\r(2)，1，eq\r(3))．取p＝(0,0,1)，显然p为平面ABCD的一个法向量，∴cos〈n，p〉＝eq\f(n·p,|n||p|)＝eq\f(\r(3),\r(6))＝eq\f(\r(2),2).结合图形可知，平面PAM与平面DAM的夹角为45°.(3)设点D到平面AMP的距离为d，由(2)可知n＝(eq\r(2)，1，eq\r(3))与平面PAM垂直，则d＝eq\f(|\o(DA,\s\up8(→))·n|,|n|)＝eq\f(|?2\r(2)，0，0?·?\r(2)，1，\r(3)?|,\r(?\r(2)?2＋12＋?\r(3)?2))＝eq\f(2\r(6),3)，即点D到平面AMP的距离为eq\f(2\r(6),3).22．(本小题满分12分)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的eq\r(2)倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．[解](1)证明：连接BD，设AC交BD于O，由题意知SO⊥平面AB