新教材高中数学排列组合与二项式定理.1排列与组合.1.25

04/403/4/课时分层作业(六)组合数的性质及应用(建议用时：40分钟)一、选择题1．某施工小组有男工7名，女工3名，现要选1名女工和2名男工去支援另一施工小组，不同的选法有()A．Ceq\o\al(3,10)种 B．Aeq\o\al(3,10)种C．Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(2,7)种 D．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,7)种D[每个被选的人都无顺序差别，是组合问题．分两步完成：第一步，选女工，有Ceq\o\al(1,3)种选法；第二步，选男工，有Ceq\o\al(2,7)种选法．故共有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,7)种不同的选法．]2．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和乙型电视机各1台，则不同的取法共有()A．140种 B．84种C．70种 D．35种C[可分两类：第一类，甲型1台、乙型2台，有Ceq\o\al(1,4)·Ceq\o\al(2,5)＝4×10＝40(种)取法，第二类，甲型2台、乙型1台，有Ceq\o\al(2,4)·Ceq\o\al(1,5)＝6×5＝30(种)取法，共有70种不同的取法．]3．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为()A．14 B．24C．28 D．48A[用间接法得不同选法有Ceq\o\al(4,6)－1＝14种，故选A.]4．满足方程Cx2－x16＝Ceq\o\al(5x－5,16)的x值为()A．1,3,5，－7 B．1,3C．1,3,5 D．3,5B[依题意，有x2－x＝5x－5或x2－x＋5x－5＝16，解得x＝1或x＝5；x＝－7或x＝3，经检验知，只有x＝1或x＝3符合题意．]5．将标号为1,2，…，10的10个球放入标号为1,2，…，10的10个盒子里，每个盒内放一个球，恰好3个球的标号与其在盒子的标号不一致的放入方法种数为()A．120 B．240C．360 D．720B[先选出3个球有Ceq\o\al(3,10)＝120种方法，不妨设为1,2,3号球，则1,2,3号盒中能放的球为2,3,1或3,1,2两种．这3个号码放入标号不一致的盒子中有2种不同的方法，故共有120×2＝240种方法．]二、填空题6．若Ceq\o\al(13,n)＝Ceq\o\al(7,n)，则Ceq\o\al(18,n)＝________.190[由Ceq\o\al(13,n)＝Ceq\o\al(7,n)可知n＝20.∴Ceq\o\al(18,20)＝Ceq\o\al(2,20)＝eq\f(20×19,2)＝190.]7．某球队有2名队长和10名队员，现选派6人上场参加比赛，如果场上最少有1名队长，那么共有________种不同的选法．714[若只有1名队长入选，则选法种数为Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,10)；若两名队长均入选，则选法种数为Ceq\o\al(4,10)，故不同选法有Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(5,10)＋Ceq\o\al(4,10)＝714(种)．]8．现有6张风景区门票分配给6位游客，若其中A，B风景区门票各2张，C，D风景区门票各1张，则不同的分配方案共有________种．180[6位游客选2人去A风景区，有Ceq\o\al(2,6)种，余下4位游客选2人去B风景区，有Ceq\o\al(2,4)种，余下2人去C，D风景区，有Aeq\o\al(2,2)种，所以分配方案共有Ceq\o\al(2,6)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)＝180(种)．]三、解答题9．车间有11名工人，其中5名是钳工，4名是车工，另外两名老师傅既能当车工又能当钳工，现在要在这11名工人里选派4名钳工，4名车工修理一台机床，问有多少种选派方法．[解]法一：设A，B代表两名老师傅．A，B都不在内的选派方法有：Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(4,4)＝5(种)；A，B都在内且当钳工的选派方法有：Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(4,4)＝10(种)；A，B都在内且当车工的选派方法有：Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(2,4)＝30(种)；A，B都在内，一人当钳工，一人当车工的选派方法有：Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(3,4)＝80(种)；A，B有一人在内且当钳工的选派方法有：Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(4,4)＝20(种)；A，B有一人在内且当车工的选派方法有：Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(3,4)＝40(种)．所以共有Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(2,2)·Aeq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(4,4)＋Ceq\o\al(1,2)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(3,4)＝185(种)选派方法．法二：5名钳工有4名被选上的方法有：Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(4,6)＝75(种)；5名钳工有3名被选上的方法有：Ceq\o\al(3,5)·Ceq\o\al(4,5)·Ceq\o\al(1,2)＝100(种)；5名钳工有2名被选上的方法有：Ceq\o\al(2,5)·Ceq\o\al(2,2)·Ceq\o\al(4,4)＝10(种)．所以一共有75＋100＋10＝185(种)选派方法．10．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？(1)6个不同的小球放入4个不同的盒子；(2)6个不同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球；(3)6个相同的小球放入4个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．[解](1)每个小球都有4种方法，根据分步乘法计数原理，共有46＝4096种不同放法．(2)分两类：第1类，6个小球分3,1,1,1放入盒中；第2类，6个小球分2,2,1,1放入盒中，共有Ceq\o\al(3,6)·Ceq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(3,3)＋Ceq\o\al(2,6)·Ceq\o\al(2,4)·Aeq\o\al(2,4)＝1560(种)不同放法．(3)法一：按3,1,1,1放入有Ceq\o\al(1,4)种方法，按2,2,1,1，放入有Ceq\o\al(2,4)种方法，共有Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＝10(种)不同放法．法二：(挡板法)在6个球之间的5个空中插入三个挡板，将6个球分成四位，共有Ceq\o\al(3,5)＝10(种)不同放法．11．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两名同学至少有一人参加，且若甲、乙同时参加，则他们发言时不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为()A．360 B．520C．600 D．720C[分两类：第一类，甲、乙中只有一人参加，则有Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(3,5)Aeq\o\al(4,4)＝2×10×24＝480种选法．第二类，甲、乙都参加时，则有Ceq\o\al(2,5)(Aeq\o\al(4,4)－Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(3,3))＝10×(24－12)＝120种选法．所以共有480＋120＝600种选法．]12．(多选题)将四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，不允许有空盒子的放法，下列结论正确的有()A．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(1,2)Ceq\o\al(1,1)Ceq\o\al(1,3) B．Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)C．Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2) D．18BC[根据题意，四个不同的小球放入三个分别标有1、2、3号的盒子中，且没有空盒，则三个盒子中有1个中放2个球，剩下的2个盒子中各放1个，有2种解法：法一：分2步进行分析：①先将四个不同的小球分成3组，有Ceq\o\al(2,4)种分组方法；②将分好的3组全排列，对应放到3个盒子中，有Aeq\o\al(3,3)种放法；则没有空盒的放法有Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(3,3)种；故选B.法二：分2步进行分析：①在4个小球中任选2个，在3个盒子中任选1个，将选出的2个小球放入选出的小盒中，有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)种情况；②将剩下的2个小球全排列，放入剩下的2个小盒中，有Aeq\o\al(2,2)种放法；则没有空盒的放法有Ceq\o\al(1,3)Ceq\o\al(2,4)Aeq\o\al(2,2)种；故选C.综上，BC正确．]13．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有________种．112[每个宿舍至少2名学生，故甲宿舍安排的人数可以为2人，3人，4人，5人，甲宿舍安排好后，乙宿舍随之确定，所以有Ceq\o\al(2,7)＋Ceq\o\al(3,7)＋Ceq\o\al(4,7)＋Ceq\o\al(5,7)＝112种分配方案．]14．(一题两空)在同一个平面内有一组平行线共8条，另一组平行线共10条，这两组平行线相互不平行，它们共能构成________个平行四边形，共有________个交点．[第一组中每两条与另一组中的每两条直线均能构成一个平行四边形，故共有Ceq\o\al(2,8)Ceq\o\al(2,10)＝1260(个)．第一组中每条直线与另一组中每条直线均有一个交点，所以共有Ceq\o\al(1,8)Ceq\o\al(1,10)＝80(个)．]15．已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试，直至找出所有4件次品为止．(1)若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第10次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？(2)若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？[解](1)先排前4次测试，只能取正品，有Aeq\o\al(4,6)种不同测试方法，再从4件次品中选2件排在第5和第10的位置上