新教材高中数学三角恒等变换.2.3三角函数的叠加及其应用作业含解析北师大版必修

06/605/6/2.3三角函数的叠加及其应用(15分钟35分)1.已知角α的终边经过点(-3,4),则sinQUOTE的值为()A.QUOTEB.-B.-QUOTEC.QUOTED.-D.-QUOTE【解析】选C.因为角α的终边经过点(-3,4),则sinα=QUOTE,cosα=-QUOTE,所以sinQUOTE=sinαcosQUOTE+cosαsinQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.2.若α是锐角,且满足sinQUOTE=QUOTE,则cosα的值为()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选B.因为α是锐角,且sinQUOTE=QUOTE>0,所以α-QUOTE也为锐角,所以cosQUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE,cosα=cosQUOTE=cosQUOTE·cosQUOTE-sinQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=QUOTE.3.已知tanQUOTE=QUOTE,则tanα=________.?【解析】因为tanQUOTE=tanQUOTE=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,解得tanα=QUOTE.答案:QUOTE【补偿训练】已知tan(α+β)=3,tanQUOTE=2,那么tanβ=________.?【解析】tanQUOTE=QUOTE=2,则tanα=QUOTE,又tan(α+β)=QUOTE=3,所以tanβ=QUOTE.答案:QUOTE4.已知sinα+cosβ=1,cosα+sinβ=0,则sin(α+β)=________.?【解析】由sinα+cosβ=1与cosα+sinβ=0分别平方相加得sin2α+2sinαcosβ+cos2β+cos2α+2cosαsinβ+sin2β=1即2+2sinαcosβ+2cosαsinβ=1,所以sin(α+β)=-QUOTE.答案:-QUOTE5.已知cosαcosβ-sinαsinβ=0,那么sinαcosβ+cosαsinβ的值为________.?【解析】因为cosαcosβ-sinαsinβ=cos(α+β)=0,所以α+β=kπ+QUOTE,k∈Z,所以sinαcosβ+cosαsinβ=sin(α+β)=±1.答案:±16.已知tanQUOTE=2,tanβ=QUOTE,求QUOTE的值.【解析】由tanQUOTE=QUOTE=2,解得tanα=QUOTE.所以QUOTE=QUOTE=QUOTE=QUOTE=tan(β-α)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.(30分钟60分)一、选择题(每小题5分,共30分)1.已知α,β均为锐角,且cos(α+β)=sin(α-β),则tanα=()A.0 B.QUOTE C.QUOTE D.1【解析】选D.因为cos(α+β)=sin(α-β),所以cosαcosβ-sinαsinβ=sinαcosβ-cosαsinβ,所以cosα(sinβ+cosβ)=sinα(cosβ+sinβ).因为α,β均为锐角,所以sinβ+cosβ≠0,所以cosα=sinα,所以tanα=1.2.若f(x)=3sinx-4cosx的一条对称轴方程是x=a,则a的取值范围可以是()A.QUOTEB.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】选D.因为f(x)=3sinx-4cosx=5sin(x-φ)QUOTE,则sin(a-φ)=±1,所以a-φ=kπ+QUOTE,k∈Z,即a=kπ+QUOTE+φ,k∈Z,而tanφ=QUOTE且0<φ<QUOTE,所以QUOTE<φ<QUOTE,所以kπ+QUOTE<a<kπ+π,k∈Z,取k=0,此时a∈QUOTE.3.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,c=QUOTE,则下列结论正确的是()A.a<b<c B.b<a<cC.c<b<a D.aD.a<c<b【解析】选D.因为a=sin14°+cos14°=QUOTEsin(45°+14°)=QUOTEsin59°,b=sin16°+cos16°=QUOTEsin(45°+16°)=QUOTEsin61°,c=QUOTE=QUOTEsin60°,又因为函数y=QUOTEsinx在0°<x<90°上是增函数,所以QUOTEsin59°<QUOTEsin60°<QUOTEsin61°,所以a<c<b.4.已知cosα=-QUOTE且α∈QUOTE,则tanQUOTE等于()A.-QUOTE B.-7 C.QUOTE D.7【解析】选D.因为cosα=-QUOTE,且α∈QUOTE,所以sinα=QUOTE,所以tanα=QUOTE=-QUOTE,所以tanQUOTE=QUOTE=7.5.已知α∈QUOTE,tanα=2,则cosQUOTE等于()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.-QUOTE【解析】选C.由tanα=2得sinα=2cosα,又sin2α+cos2α=1,所以cos2α=QUOTE.因为α∈QUOTE,所以cosα=QUOTE,sinα=QUOTE.因为cosQUOTE=cosαcosQUOTE+sinαsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=QUOTE.6.在△ABC中,cosA=QUOTE,cosB=QUOTE,则△ABC是()A.锐角三角形 B.钝角三角形C.直角三角形 D.等边三角形【解析】选B.由题意得sinA=QUOTE,sinB=QUOTE,所以cosC=cos(π-A-B)=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=-QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=-QUOTE=-QUOTE=-QUOTE<0,所以C是钝角,故△ABC是钝角三角形.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知锐角α,β满足sinα=QUOTE,cosβ=QUOTE,则α+β=________.?【解析】因为α,β为锐角,sinα=QUOTE,cosβ=QUOTE,所以cosα=QUOTE,sinβ=QUOTE.cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ=QUOTE×QUOTE-QUOTE×QUOTE=-QUOTE.因为0<α+β<π,所以α+β=QUOTEπ.答案:QUOTE8.已知α,β均为锐角,且tanβ=QUOTE,则tan(α+β)=________,α+β=________.?【解析】因为tanβ=QUOTE=QUOTE.所以tanβ+tanαtanβ=1-tanα.所以tanα+tanβ+tanαtanβ=1.所以tanα+tanβ=1-tanαtanβ.又因为1-tanαtanβ≠0,所以QUOTE=1,所以tan(α+β)=1;由于α,β均为锐角,故0<α+β<π,故α+β=QUOTE.答案:1QUOTE【补偿训练】已知tanα=QUOTE,cosβ=QUOTE且0<α<QUOTE,QUOTE<β<2π,则α+β的值为________.?【解析】因为QUOTE<β<2π且cosβ=QUOTE,所以sinβ=-QUOTE,所以tanβ=QUOTE=-2,所以tan(α+β)=QUOTE=QUOTE=-1,又因为0<α<QUOTE,所以QUOTE<α+β<QUOTEπ,所以α+β=QUOTEπ.答案:QUOTEπ三、解答题(每小题10分,共20分)9.已知sinQUOTE=-QUOTE,sinQUOTE=QUOTE,其中QUOTE<α<QUOTE,QUOTE<β<QUOTE,求角α+β的值.【解析】因为QUOTE<α<QUOTE,所以-QUOTE<QUOTE-α<0.因为QUOTE<β<QUOTE,所以QUOTE<QUOTE+β<QUOTE.由已知可得cosQUOTE=QUOTE,cosQUOTE=-QUOTE,则cos(α+β)=cosQUOTE=cosQUOTEcosQUOTE+sinQUOTEsinQUOTE=QUOTE×QUOTE+QUOTE×QUOTE=-QUOTE.因为QUOTE<α+β<π,所以α+β=QUOTE.10.已知tan(α-β)=QUOTE,tanβ=-QUOTE,α,β∈(0,π),求2α-β的值.【解析】tanα=tan[(α-β)+β]=QUOTE=QUOTE=QUOTE.又因为α∈(0,π),而tanα>0,所以α∈QUOTE.tan(2α-β)=tan[α+(α-β)]=QUOTE=QUOTE=1.因为tanβ=-QUOTE,β∈(0,π),所以β∈QUOTE,所以α-β∈(-π,0).由tan(α-β)=QUOTE>0,得α-β∈QUOTE,所以2α-β∈(-π,0).又tan(2α-β)=1,