河北省衡水市王均中学2023年高三数学理期末试题含解析

河北省衡水市王均中学2023年高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.等差数列{an}的前n项和为Sn，若S15为一确定常数，下列各式也为确定常数的是……（

）A．a2+a13

B．a2·a13

C．a1++a15

D．a1·a8·a15参考答案：答案：C

2.公差不为零的等差数列中，成等比数列，则其公比为（

）A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：C因为成等比数列，所以，从而，化简得，由已知，得，所以，，从而，故选择C。3.给出下列四个命题:①命题,则.②当时,不等式的解集为非空.

③当时,有.④设复数z满足（1-i）z=2i，则z=1-i其中真命题的个数是A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A略4.已知定义在复数集上的函数满足，则等于(

)

A．

B．

C.

D．参考答案：C略5.已知双曲线的左右焦点为F1,F2,过左焦点F1作垂直于x轴的直线交双曲线的两条渐近线于M，N两点，若是直角，则双曲线的离心率是（

）．A. B. C.3 D.4参考答案：B【分析】先求出,再化简即得双曲线的离心率.【详解】联立得，所以，因为是直角，所以，所以所以.故选：B【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线离心率的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6.一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，则这2个球中至少有1个是红球的概率是（）A． B． C． D．参考答案：D【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数n=，这2个球中至少有1个是红球的对立事件是这2个球都不是红球，由此能求出这2个球中至少有1个是红球的概率．【解答】解：一个袋子里装有红、黄、绿三种颜色的球各2个，这6个球除颜色外完全相同，从中摸出2个球，基本事件总数n=，这2个球中至少有1个是红球的对立事件是这2个球都不是红球，这2个球中至少有1个是红球的概率是p=1﹣=1﹣=．故选：D．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．7.在面积为S的三角形ABC内随机取一点M，则三角形MBC的面积的概率为A.

B.

C.

D.参考答案：D8.数列中，若，则该数列的通项（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略9.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时不等式成立，若，

，则的大小关系是A．

B．

C．

D．参考答案：C10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2+c2﹣b2）tanB=ac，则角B的值为(

)A． B． C．或 D．或参考答案：D【考点】余弦定理的应用．【专题】计算题．【分析】通过余弦定理及，求的sinB的值，又因在三角形内，进而求出B．【解答】解：由∴，即∴，又在△中所以B为或故选D【点评】本题主要考查余弦定理及三角中的切化弦．很多人会考虑对于角B的取舍问题，而此题两种都可以，因为我们的过程是恒等变形．条件中也没有其它的限制条件，所以有的同学就多虑了．虽然此题没有涉及到取舍问题，但在平时的练习过程中一定要注意此点二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知点A是抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与双曲线C2：的一条渐近线的交点，若点A到抛物线C1的准线的距离为p，则双曲线的离心率等于＿＿＿＿参考答案：12.如果一个平面与一个圆柱的轴成（）角，且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是一个椭圆.当时，椭圆的离心率是

.

参考答案：13.D已知实数满足，则目标函数的最大值是

．参考答案：14.（09年扬州中学2月月考）如果复数是实数，则实数_____▲

．参考答案：答案：

15.过椭圆的左焦点作直线与椭圆相交，使弦长均为整数的所有直线中，等可能地任取一条直线，所取弦长不超过4的概率为___________.

参考答案：略16.在1,2,3,4,5这5个自然数中,任取2个数,它们的积是偶数的概率是

参考答案：17.在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，DC∥AB，AD=DC=1，AB=2，E、F分别为AB、BC的中点．点P在以A为圆心，AD为半径的圆弧上变动（如图所示），若=λ+μ，其中λ，μ∈R．则2λ﹣μ的取值范围是

．参考答案：[﹣1，1]【考点】向量在几何中的应用．【专题】综合题；平面向量及应用．【分析】建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），λ，μ用参数进行表示，利用辅助角公式化简，即可得出结论．【解答】解：建立如图所示的坐标系，则A（0，0），E（1，0），D（0，1），F（1.5，0.5），P（cosα，sinα）（0°≤α≤90°），∵=λ+μ，∴（cosα，sinα）=λ（﹣1，1）+μ（1.5，0.5），∴cosα=﹣λ+1.5μ，sinα=λ+0.5μ，∴λ=（3sinα﹣cosα），μ=（cosα+sinα），∴2λ﹣μ=sinα﹣cosα=sin（α﹣45°）∵0°≤α≤90°，∴﹣45°≤α﹣45°≤45°，∴﹣≤sin（α﹣45°）≤，∴﹣1≤sin（α﹣45°）≤1∴2λ﹣μ的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．【点评】本题考查平面向量知识的运用，考查学生的计算能力，正确利用坐标系是关键．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程是.(Ⅰ)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(Ⅱ)若直线与曲线相交于、两点，且，求直线的倾斜角的值．参考答案：（Ⅰ）由得圆C的方程为……………4分（Ⅱ）将代入圆的方程得…………5分化简得……………6分设两点对应的参数分别为,则………7分所以……8分所以,,…………………10分19.(本小题满分14分)已知，数列满足，，

（I）求数列的通项公式；

(Ⅱ)求数列中最大项.参考答案：（1）由题意：经化简变形得：

………3分高

………5分高变形得：

所以是以1为首项，为公比的等比数列。

可求得：

………7分

（2）

由（1）可求得

………9分得，

得，

………12分即

，所以：n=7或n=8时最大，

………14分20.（本小题满分12分）设函数，其中为常数．（Ⅰ）证明：对任意，的图象恒过定点；（Ⅱ）当时，判断函数是否存在极值？若存在，求出极值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）若对任意时，恒为定义域上的增函数，求的最大值．

参考答案：解：（Ⅰ）令，得，且，所以的图象过定点；

-----------------（2分）

（Ⅱ）当时，，

令，经观察得有根，下证明无其它根．，当时，，即在上是单调递增函数．所以有唯一根；且当时，，在

上是减函数；当时，，在上是增函数；所以是的唯一极小值点．极小值是．

-----（8分）（Ⅲ），令由题设，对任意，有，，又

当时，，是减函数；当时，，

是增函数；所以当时，有极小值，也是最小值，又由得，得，即的最大值为．--（12分）略21.已知F（1，0），直线l：x=﹣1，P为平面上的动点，过点P作l的垂线，垂足为点Q，且?=?．（1）求动点P的轨迹G的方程；（2）点F关于原点的对称点为M，过F的直线与G交于A、B两点，且AB不垂直于x轴，直线AM交曲线G于C，直线BM交曲线C于D．①证明直线AB与曲线CD的倾斜角互补；②直线CD是否经过定点？若经过定点，求出这个定点，否则，说明理由．参考答案：【考点】J3：轨迹方程．【分析】（1）利用直接法，求动点P的轨迹G的方程；（2）①证明kCD+kAB=0，即可证明直线AB与曲线CD的倾斜角互补；②求出直线CD的方程，即可得出结论．【解答】（1）解：设P（x，y），则Q（﹣1，y），∵F（1，0），且?=?，∴（x+1，0）?（2，﹣y）=（x﹣1，y）?（﹣2，y），化简得y2=4x；（2）①证明：F关于原点的对称点为M（﹣1，0），设直线AB的方程为x=ny+1，代入抛物线方程，可得y2﹣4ny﹣4=0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=﹣4．过M的直线AM的方程为x=my﹣1，联立抛物线方程，可得y2﹣4my+4=0，设C（x3，y3），则y1y3=