2017中考数学菱形专题素材

菱形专题素材

1.如图，在4ABC中，ZACB=90°,ZBAC=30°,AABE和aACD都是等边三角

形，F是BE的中点，DF交AC于M,试说明线段AM与MC相等的理由.

2.Rt^ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分/CBA交AC于E,交CD于F,

CG_LBE交AB于G.

(1)求证：四边形CFGE是菱形；

(2)若AG=4,BG=6,求AE和DF的长.

3.如图所示，在口ABCD中，AE平分NBAD,交BC于点E,BF平分NABC,交

AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF、PD.

(1)求证：四边形ABEF是菱形；

(2)过点P作PM_1AD,若AB=4,AD=6,ZABC=60°,求电的值.

DM

BEC

4.△ABC中，ZA=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB、AC,BC±,且AD=AE,

DC为EF中垂线，求证：BF=2AD.

5.如图，在aABC中，ZACB=90°,BF平分NABC,CD^AB于点D,与BF交于

点G,GE〃AC.求证：CE与FG互相垂直平分.

6.如图，AD是NBAC的平分线，DE平行AB交AC于点E,DF平行AC交AB于

点F,延长FE交BC的延长线于点G,求证：

(1)AG=DG；

(2)ZGAC=ZB.

7.如图.在RrAABC中，ZACB=90°,CD±AB于D,ZBAC的平分线交CD于G,

交BC于E,NDCB的平分线交BD于F,连接EF,FG.

(1)求证：四边形CEFG为菱形;

(2)若NB=45。，请直接写出图中所有等腰直角三角形.

A

8.如图在口ABCD中对角线AC、BD相交于点0,AE1BC,AF1CD,垂足分别

是E、F,点E、F恰好为BC、CD的中点，连接0E.

(1)DABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.

(2)求NAE0的度数.

9.如图所示，已知在矩形ABCD和矩形AECF中，CD=CE,AD与CF相交于点H,

BC与AE相交于点G,连接AC、GH.

(1)求证：AC、GH互相垂直平分；

(2)如果AC=9,GH=4,那么四边形AHCG的面积是多少？

10.已知：如图，在RtZSABC中，ZACB=90°,ZA=30°,CD，AB交AB于点E,

且CD=AC,DF〃BC分别与AB、AC交于点G、F,连接CG.

(1)求证：四边形BCGD是菱形;

(2)若BC=1,求DF的长.

11.如图1,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点0,E是BD延长

线上的点，且4ACE是等边三角形.

(1)求证：四边形ABCD是菱形;

(2)如图2,若NAED=2NEAD,AC=8.求DE的长.

12.如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一点，BE交AC于F,

连接DF.

(1)证明：NBAC=NDAC,ZAFD=ZCFE.

(2)若AB〃CD,试证明四边形ABCD是菱形;

(3)在(2)的条件下，试确定E点的位置，使得NEFD=NBCD,并说明理由.

c

E

D

13.如图，在^ABC中，NABC=90。，BD为AC的中线，过点C作CE,BD于点E,

过A作BD的平行线，交CE的延长线与点F,在AF的延长线上截取FG=BD,连

接BG,DF.若AF=8,CF=6,

(1)求证：四边形BDFG是菱形，(2)求四边形BDFG的周长为多少？

14.如图，在aABC中，ZABC=90°,D为AC的中点，过点C作CE_LBD于点E,

作/GAB=NCAB,CE的延长线与AG交于点F,点G在AF的延长线上,且FG=BD,

连结BG、DF(23题的变式题)

(1)求证：①BD〃AG；②四边形BGFD为菱形；

(2)已知AG=15,CF=3j7，求菱形BGFD的边长.

20XX年03月17日菱形正方形专题素材

参考答案与试题解析

1.如图，在4ABC中，NACB=90。，ZBAC=30°,AABE^AACD都是等边三角

形，F是BE的中点，DF交AC于M,试说明线段AM与MC相等的理由.

【分析】连接AF、FC,由等边三角形的性质可得AF是NBAE的平分线，然后求

出NBAF=NBAC=30。，再利用"角角边"证明4ABF和4ABC全等，由全等三角形

对应边相等可得AF=AC,然后求出AAFC是等边三角形，再由等边三角形的性质

求出AF=FC=CD=AD=AC,然后求出四边形AFCD是菱形，由菱形的对角线互相平

分可得AM=MC.

【解答】证明：连AF,FC,如图所示：

AABE是等边三角形，F是BE的中点，

AAF是NBAE的平分线，

二ZBAF=ZBAE=1X60°=30°,

2

VZBAC=30",

/.ZBAF=ZBAC=30°,

在4ABF和4ABC中,

"ZBAF=ZBAC

-NAFB=NACB=90°,

AB=AB

.,.△ABF^AABC(AAS),

，AF=AC,

ZFAC=ZBAF+ZBAC=30°+30°=60°,

...△AFC是等边三角形，

又•.♦△ACD是等边三角形，

.•.AF=FC=CD=AD=AC,

...四边形AFCD是菱形，

，AM=MC.

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定

与性质；作辅助线构造出全等三角形和菱形是解题的关键，也是本题的难点.

2.Rt^ABC中，CD是斜边AB上的高，BE平分NCBA交AC于E,交CD于F,

CG_LBE交AB于G.

(1)求证：四边形CFGE是菱形；

(2)若AG=4,BG=6,求AE和DF的长.

【分析】(1)先证明ABIVIG且△BMC,得出MC=MG,再由线段垂直平分线性质

证出EC=EG,FG=FC,然后证明EC=FC,即可证出结论；

(2)先求出BC=BG=6,再求出AC=8,然后证明△AEGs^ABC,得出比例式也少

ABAC

求出AE=5,EC=CF=3,最后根据面积公式得到工AB・CD=LAC・BC,求出CD=典”

22AB

=4.8.即可得出DF=CD-CF.

【解答】解：(1)证明：设BE交CG于M.如图所示：

VBE是NCBA的平分线，

.•.N1=N2,

CG_LBE,

/.Z3=Z4=90°,

在△BMG和ABMC中，

'N1=N2

<BM=BM，

Z3=Z4

.,.△BMG^ABMC(ASA),

；.MC=MG,

；.EC=EG,FG=FC,

：CDLAB,

.•.ZDFB+Z1=9O°,

VZCEF+Z2=90°,ZCFE=ZDFB,

/.ZCEF=ZCFE,

/.EC=FC,

；.EC=EG=FG=FC,

...四边形CFGE是菱形；

(2)根据题意得：△BEG^^BEC,

BC=BG=6,ZBGE=ZBCA=90",

VAB=AG+BG=10,

*#,AC=V102-62=8,

VZA=ZA,ZABG=ZBCA=90°,

/.△AEG^AABC,

•AEAGpnAE4

ABAC108

，AE=5.

/.EC=AC-AE=3,

.*.CF=3,

•.』AB・CD」AC・BC,

22

...CD=AC>BC=E><6=4_8>

AB10

/.DF=CD-CF=4.8-3=1.8.

【点评】本题考查了菱形的判定、三角形全等的判定与性质以及勾股定理的运用

等知识；培养学生综合运用定理进行推理和计算的能力.

3.如图所示，在口ABCD中，AE平分NBAD,交BC于点E,BF平分NABC,交

AD于点F,AE与BF交于点P,连接EF、PD.

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）过点P作PMLAD,若AB=4,AD=6,NABC=60。，求四的值.

DM

【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得到AD〃BC,从而得到NAFB=N

FBE,再由NABF=NFBE,推出NABF=NAFB,于是得到AB=AF,同理得出AB=BE,

于是得出结论；

（2）由菱形的性质得出AELBF,得到NABF=30°,NBAP=NFAP=60°从而得出AP=2,

又有PMLAD,得到PM=«,AM=1,从而得到，DM=5,于是推出结论.

【解答】证明：（1）•••四边形ABCD是平行四边形，

，AD〃BC,

NAFB=NFBE,

VZABF=ZFBE,

，NABF=NAFB,

，AB=AF,

同理AB=BE,

...四边形ABEF是菱形；

(2):四边形ABEF是菱形,

AAE1BF,

VZABC=60°,

/.ZABF=30°,ZBAP=ZFAP=60°,

VAB=4,

；.AP=2,

VPM1AD,

/.PM=V3，AM=1,

VAD=6,

/.DM=5,

.PM二加

•而三.

【点评】本题主要考查了平行四边形的性质，平行线的性质和菱形的判定，特殊

三角形的性质，通过等量代换推出角相等推出等腰三角形是解决问题的关键.

4.△ABC中，ZA=90°,AB=AC,D、E、F分别在AB、AC,BC±,且AD=AE,

DC为EF中垂线，求证：BF=2AD.

【分析】连接DE,DF,设DC与EF相交于点0,设AD=x,表示DE,然后根据

平行线分线段成比例定理求出DE〃BC,再求出DE=FC,从而判断出四边形DECF

是平行四边形，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得FC=DF,判

断出四边形DECF是菱形，根据菱形的四条边都相等可得DE=EC=V2x，再求出BC,

然后根据BF=BC-FC表示出BF,从而得证.

【解答】证明：连接DE,DF,设DC与EF相交于点0,

设AD=x,则AE=x,

VAD=AE,ZA=90°,

，DE=MX,

VAB=AC,AD=AE,

•••AD_一A'E,

ABAC

，DE〃BC,

•.D•-E-_-E-O-,

FCFO

VDC为EF中垂线，

JEO=FO,

/.DE=FC,

XVDE^FC,

，四边形DECF是平行四边形,

VDC为EF中垂线，

/.FC=DF,

...四边形DECF是菱形，

.*.DE=EC=«x,

AC=x+J"^x,

VZA=90°,AB=AC,

/.ZB=45°,

BC=J^AC=(x+-\/2x)=A/2X+2X,

BF=BC-FC=&x+2x-«x=2x,

.\BF=2AD.止匕法麻烦！!

编者按：BF是DF的根2倍，DF=DE,DE是AD的根2倍，即可得出BF=2AD

【点评】本题考查了菱形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，线段垂

直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，熟记各性质并用AD表示出BF是

解题的关键.

5.如图，在aABC中，ZACB=90°,BF平分NABC,CD^AB于点D,与BF交于

点G,GE//AC.求证：CE与FG互相垂直平分.

【分析】延长EG交BC于点K.由角平分线的性质可得NGBK=NGBD,GK=GD,

由全等三角形的判定定理可知△GBK^^GBD,ACBD^AEBK,由平行四边形的

判定定理可知FCGE为平行四边形，根据CG=GE即平行四边形的邻边相等可知此

四边形是菱形，由菱形的对角线互相垂直平分即可求解.

【解答】证明：延长EG交BC于点K.编者：此题不必作辅助线！！！!

•.•GE〃AC,ZACB=90°,

/.ZBKE=ZACB=90o,即EKJ_BC.

XVCD1AB,BF平分NABC,

.*.GK=GD.

在RtAGKB与RtAGDB中，

[GK=GD,

lBG=BG，

ARtAGKB^RtAGDB(HL),

/.DB=BK.

在4CBD与AEBK中，

fZCBD=ZEBK

<BD=BK,

ZCDB=ZEKB

.,.△CBD^AEBK(ASA),

?.BC=BE,

；.BF垂直平分CE(三合一).

.,.CO=EO,

在△COF与△EOG中，

"ZFC0=ZGE0

<C0=E0,

ZC0F=ZE0G

.,.△COF之△EOG(ASA)

FC=GE,

又,..GE〃AC.

四边形FCGE为平行四边形,

VCG=GE,

四边形FCGE为菱形，

，CE与GF互相垂直平分.

【点评】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形

及菱形的判定与性质，涉及面较广，难度适中.

6.如图，AD是NBAC的平分线，DE平行AB交AC于点E,DF平行AC交AB于

点F,延长FE交BC的延长线于点G,求证：

(1)AG=DG；

(2)ZGAC=ZB.

【分析】（1）由DE〃AB,DF〃AC,可证得四边形AEDF是平行四边形，ZDAF=

ZADE,又由AD是NBAC的平分线，可证得AE=DE,即可证得四边形AEDF是菱

形，则可得EF是AD的垂直平分线，继而证得结论；

（2）由AG=DG,AE=DE,可得NGAD=/GDA,ZEAD=ZEDA,继而证得NGAC=

ZGDE,又由DE〃AB,可得NGDC=NB,继而证得结论.

【解答】证明：（1）；DE〃AB,DF〃AC,

二四边形AEDF是平行四边形，NDAF=NADE,

VAD是NBAC的平分线，

/.ZDAF=ZDAE,

/.ZDAE=ZADE,

；.AE=DE,

二四边形AEDF是菱形，

.••EF是AD的垂直平分线，

•••延长FE交BC的延长线于点G,

/.AG=DG；

(2)VAG=DG,AE=DE,

/.ZGAD=ZGDA,ZEAD=ZEDA,

,/ZGAC=ZGAD-ZEAD,ZGDE=ZGDA-ZEDA,

/.ZGAC=ZGDE,

；DE〃AB,

/.ZGDE=ZB,

/.ZGAC=ZB.

【点评】此题考查了菱形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形

的判定与性质.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.

7.如图.在RrAABC中，ZACB=90°,CD1AB于D,ZBAC的平分线交CD于G,

交BC于E,NDCB的平分线交BD于F,连接EF,FG.

（1）求证：四边形CEFG为菱形；证AE_LCF是关键！！！

（2）若/B=45。，请直接写出图中所有等腰直角三角形.

【分析】（1）根据四边相等的四边形是菱形，即可证明.

（2）等腰直角三角形有：△ABC,AACD,ACDB,AGDF,AEFB.

【解答】（1）证明：VZACB=90°,CD±AB,

/.ZCAD+ZACD=90°,ZACD+ZBCD=90",

，NCAD=NBCD,同理NACD=NB,

,/ZCAE=NEAB,ZBCF=ZFCD,

/.ZBCF=ZCAE,

VZBCF+ZACF=90°,

，NCAE+NACF=90",

/.AE±CF,

/.ZCAE+ZACF=90°,ZEAF+ZAFC=90°,

/.ZACF=ZAFC,

，AC=AF,

在4ACG和4AFG中，

'AG=AG

<NGAC=NGAF,

AC=AF

/.△AGC^AAGF,

ACG=GF,同理证明CE=EF,

VZCGE=ZACG+ZCAG,NCEG=NEAB+NB,

/.ZCGE=ZCEG,

:.CG=CE=FG=EF,

四边形CEFG是菱形.

(2)当NB=45。时，图中等腰直角三角形有：△ABC,AACD,ACDB,△GDF,

△EFB.

【点评】本题考查菱形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判

定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，本题的证明方法比

较多，属于中考常考题型.

8.如图在口ABCD中对角线AC、BD相交于点0,AE1BC,AF1CD,垂足分别

是E、F,点E、F恰好为BC、CD的中点，连接0E.

（1）QABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论.

（2）求NAE0的度数.

【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质证出AB=AD,即可得出结论；

（2）先证明aABC是等边三角形，得出NBAC=60°,NCAE=30°,再证明0E=0A,

即可得出结果.

【解答】（1）答：“\BCD是菱形；

证明：•.•AELBC,AF±CD,垂足分别是E、F,点E、F恰好为BC、CD的中点,

，AB=AC,AD=AC,

，AB=AD,

.”ABCD是菱形；

(2)解：,.FABCD是菱形，

，AB=BC,

VAB=AC,

，AB=AC=BC,

，NBAC=60°,

VAE±BC,OA=OC,

，NCAE=LNBAC=30。，OE=1AC=OA,

22

ZAEO=ZCAE=30°.

【点评】本题考查了菱形的判定与性质、线段垂直平分线的性质以及直角三角形

的中线性质；证明四边形是菱形以及等边三角形是解决问题的关键.

9.如图所示，已知在矩形ABCD和矩形AECF中，CD=CE,AD与CF相交于点H,

BC与AE相交于点G,连接AC、GH.

(1)求证：AC、GH互相垂直平分；

(2)如果AC=9,GH=4,那么四边形AHCG的面积是多少？

【分析】（1）先证得四边形AGCH是平行四边形，然后利用SAS证明△HD&4

GEC,得到CH=CG,进而根据菱形的判定方法得到平行四边形AGCH是菱形，再

根据菱形的对角线互相垂直平分的性质可得结论；

（2）根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半，可求得菱形的面积.

【解答】（1）证明：•••四边形ABCD与四边形AECF都是矩形，

...AH〃GC,AG〃CH,

二四边形AGCH是平行四边形.

•••四边形ABCD与四边形AECF都是矩形，

AZD=ZE=90°,ZBCD=ZECF=90",

/.ZECG=ZDCH,

在△HDC与△GEC中，

'ND=NE

<CD=CE,

ZDCH=ZECG

.,.△HDC^AGEC(SAS),

/.CH=CG,

平行四边形AGCH是菱形,

AAC.GH互相垂直平分;

（2）解：•.•四边形AGCH是菱形，AC=9,GH=4,

.1

••S菱形AGCH至AOGH=18・

【点评】本题考查了菱形的判定与性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质,

菱形面积的计算等知识，通过推理得出四边形AGCH是解题的关键.

10.（2012•枣阳市校级模拟）已知:如图，在RSABC中,NACB=90。，ZA=30°,

CD±AB交AB于点E,且CD=AC,DF〃BC分别与AB、AC交于点G、F,连接CG.

（1）求证：四边形BCGD是菱形；

（2）若BC=1,求DF的长.

【分析】（1）根据已知条件易证明Rt/XAECgRtZWFC,得CE=CF,则DE=AF,从

而进一步证明RtAAFG^RtADEG,就可得到GE=GF；

（2）根据直角三角形的性质可以得到CE=*AC,则CE=*CD,即AB是CE的垂

直平分线，则BC=BD=L再根据直角三角形的性质进一步求得AB、BE的长，则

AE=AB-BE,结合（1）中的全等三角形，知DF=AE.

【解答】（1）证明：：/人二?。。，CD1AB,

.-.CE=1AC,

2

VCD=AC,

.\CE=—AC,

2

，CE=DE,

•.•DF〃BC,

/.ZEDG=ZECB,

在AEDG和4ECB中，

'/EDG=NECB

<DE=CE，

ZDEG=ZCEB

/.△DEG^ACEB(ASA),

；.EG=BE,

四边形BCGD是平行四边形，

VCD1AB,

.•.□BCGD是菱形.

(2)解:VCD±AB,ZA=30°,

.-.CE=1AC=1CD,

22

ACE=ED.

BC=BD=1.

又•.•/ECB+NACE=90°,ZA+ZACE=90°,

/.ZECB=ZA=30o,ZCEB=90°,

，BEJBC」BD=L

222

在直角三角形ABC中，NA=30。,

则AB=2BC=2.

则AE=AB-BE=』，

2

,/RtAAEC^RtADFC,

【点评】此题综合运用了全等三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及线段

垂直平分线的性质；用到的知识点为：直角三角形中30。所对的直角边是斜边的

一半.

11.(2013•海安县校级模拟)如图1,己知平行四边形ABCD中，对角线AC,BD

交于点0,E是BD延长线上的点，且4ACE是等边三角形.

(1)求证：四边形ABCD是菱形;

(2)如图2,若NAED=2NEAD,AC=8.求DE的长.

EE

【分析】（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形.由四边形ABCD是平行

四边形，可得AO=CO.又由4ACE是等边三角形，可得AE=CE.根据三线合一,

对角线垂直，即可得四边形既为菱形；

（2）根据有一个角是90。的菱形是正方形.由题意易得NBAO=NEAO-ZEAB=60°

-15°=45°,即四边形ABCD是正方形，利用正方形的性和等边三角形的性质即可

求出DE的长.

【解答】证明：（1）四边形ABCD是平行四边形

/.OA=OC,

•••△ACE是等边三角形.

/.OE±AC,

/.BD±AC,

四边形ABCD是菱形；

(2)•:△ACE是等边三角形，OE±AC,

NAEO=L/AEC=30°,

2

VZAED=2ZEAD,

.,.ZEAD=15°

NADB=45°,

•.•四边形ABCD是菱形，

/.AD=DC,BD±AC,

AZCDB=ZADB=45°

/.ZADC=90°,

...△ADC是等腰直角三角形，

，OA=OC=OD=1AC=4,

2

「△ACE是等边三角形，

/.ZEAO=60o

在Rt^AOE中，OE=OAtan60°=4V3

/.DE=OE-00=473-4.

【点评】此题主要考查菱形和正方形的判定.本题考查知识点较多，综合性强,

能力要求全面，难度中等.注意灵活运用正方形和菱形的判定方法.

12.（2013・泰安）如图，在四边形ABCD中，AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,

BE交AC于F,连接DF.

（1）证明：NBAC=NDAC,ZAFD=ZCFE.

（2）若AB〃CD,试证明四边形ABCD是菱形；

（3）在（2）的条件下，试确定E点的位置，使得NEFD=NBCD,并说明理由.

c

E

D

【分析】(1)首先利用SSS定理证明aABC丝AADC可得NBAC=NDAC,再证明

△ABF^AADF,可得NAFD=NAFB,进而得到NAFD=NCFE；

(2)首先证明NCAD=NACD,再根据等角对等边可得AD=CD,再有条件AB=AD,

CB=CD可得AB=CB=CD=AD,可得四边形ABCD是菱形；

(3)首先证明△BCFgZ\DCF可得/CBF=NCDF,再根据BE1CD可得NBEC=N

DEF=90°,进而得到NEFD=NBCD.

【解答】(1)证明：在AABC和AADC中，

'AB二AD

•BC=DC,

AC=AC

.'.△ABC丝"DC(SSS),

，NBAC=/DAC,

在^ABF和4ADF中，

'AB=AD

<NBAF=NDAF,

AF=AF

/.△ABF^AADF(SAS),

，NAFD=NAFB,

VZAFB=ZCFE,

/.ZAFD=ZCFE；

(2)证明：VAB/7CD,

/.ZBAC=ZACD,

XVZBAC=ZDAC,

/.ZCAD=ZACD,

，AD=CD,

VAB=AD,CB=CD,

；.AB=CB=CD=AD,

四边形ABCD是菱形；

(3)当EB_LCD时，即E为过B且和CD垂直时垂线的垂足，NEFD=/BCD,

理由：•••四边形ABCD为菱形，

，BC=CD,ZBCF=ZDCF,

在4BCF