多面体及球体的概念、性质、计算

多面体及球体的概念、性质、计算立体几何是高中数学的重要内容，立体几何试题是考查空间想象能力，逻辑思维能力和演绎推理能力的基本载体近几年高考立体几何试题以基础题和中档题为主，热点问题主要有证明点线面的关系。考查的重点是点线面的位置关系及空间距离和空间角，突出空间想象能力。。在《课程标准》中，立体几何的内容和考查要求有了较大的变化：增加了三视图，更强调几何直观，几何证明有所削弱，淡化了距离问题。因此，在复习中，以基本知识，基本方法为基础，以通性通法为重点，培养空间几何体的直观认知能力和逻辑推理能力。一般来说，平面向量在高考中所占份量较大，我们从以下五方面探讨立体几何问题的求解：多面体及球体的概念、性质、计算；由三视图判别立体图形和表面积、体积的计算：关于线线、线面及面面平行的问题；关于线线、线面及面面垂直的问题；关于空间距离和空间角的问题。一、多面体及球体的概念、性质、计算：典型例题：例1.已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2；则此棱锥的体积为【】

(A)RB)討申D各【答案】A。【考点】三棱锥的性质。【解析】•・•AABC的外接圆的半径r=^3•.点o到面ABC的距离d=<R2-r2二弓2[2又•・•SC为球O的直径，.•.点S到面ABC的距离为2d=_3—・••此棱锥的体积为V=3S X2d=1^43X236=£。故选ao3aabc 3 4 3 6例2.平面a截球0的球面所得圆的半径为1,球心0到平面a的距离为、则此球的体积为【】(A).'6n(B)4\：?n(C)4\/6n(D)6\5n【答案】B。【考点】点到平面的距离，勾股定理，球的体积公式。【解析】由勾股定理可得球的半径为廳，从而根据球的体积公式可求得该球的体积为:V=4x兀x匕)=43。故选B。例3.如下图，已知正四棱锥S-ABCD所有棱长都为1,点E是侧棱SC上一动点，过点E垂直于SC的截面将正四棱锥分成上、下两部分，记SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为【】G1-2A【答案】A。B C D

G1-2A【答案】A。B C D【考点】棱锥的体积公式，线面垂直，函数的思想。【解析】对于函数图象的识别问题，若函数y=f(x)的图象对应的解析式不好求时，作为选择题，可采用定性排它法：观察图形可知，当0<x<2时，随着x的增大，V(x)单调递减，且递减的速度越来越快，不是SE=x的线性函数，可排除C,D。当2<x<1时，随着x的增大,V(x)单调递减，且递减的速度越来越慢，可排除B。只有A图象符合。故选A。如求解具体的解析式，方法繁琐，而且计算复杂，很容易出现某一步的计算错误而造成前功尽弃,并且作为选择题也没有太多的时间去解答。我们也解答如下:连接AC，BD，二者交于点0,连接S0,过点E作底面的垂线EH。当E为SC中点时，・.・SB=SD=BC=CD,.・・SE丄BE,SE丄DE。.•.SE丄面BDE。BCD。程元数学工件绘制又•••SA=SC=1,AC=i./2,S0=此时EH=辽4当0<SE(x)<2BCD。程元数学工件绘制又•••SA=SC=1,AC=i./2,S0=此时EH=辽4当0<SE(x)<2时，截面与AD和AB相交，分别交于点F、D,设FG与AC相交于点I,则易得V(x)=1Sbcdfg・EH。棉元数学工作室绘制由EH〃SO,SE=x,CE=1—x,SO=~2:EH:EH二1：(1-x)(1-x)。由EI〃SA,SE二x,CS二1,AC=迈得x：AI二1：2，即AIr；2x。易知AAFG是等腰直角三角形，即FG=2AI=2込x。.S=--FG-AI=--2^2x・J2x=2x2。afg2 2.•・V(x)二1S -EH二3BCDFG1心-S )•EH二1 —2x2)2・(1-x.•・V(x)二1S -EH二3BCDFG3ABCD AAFG 3 2 6

与AC相交于点J,则易得V(x)=1S -EH。3ACMN我八//祥无勲学工卄主绘制当2<SE(x)与AC相交于点J,则易得V(x)=1S -EH。3ACMN我八//祥无勲学工卄主绘制由EH〃SO,SE=x,CE=1—x,SO=~2,CS=1得f:已日=1(1-x)，即EH=#(1-x)o由EJ〃SA,SE=x,CE=1—x,CS=1,AC=\2得(1一x)：CJ=1：2，即CJ=\2(1—x)。易知ACMN是等腰直角三角形，即MN=2CJ=2*2(1—x)。・：S =--MNCJ=--2迈(1—x)•迈(1—x)=2(1—xkACMN2 2.・・v(x)=32(1-x)2•乎(1-x)=¥(1-x八6—x综上所述，V(x)=<1)2丿、(1—<x12座G一2x2)6—x综上所述，V(x)=<1)2丿、(1—<x12结合微积分知识，可判定A正确。罟V。人们例4.我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即立圆径，“开立圆术”相当于给出了已知球的体积V,求其直径d的一个近似公式d罟V。人们还用过一些类似的近似公式。根据兀=3.14159-..判断，下列近似公式中最精确的一个是【】A.d沁16VA.d沁16VBd〜即Cd〜屠VDd〜I；v【答案】D。【考点】球的体积公式以及估算。【解析】由球的体积公式V=3兀R3【解析】由球的体积公式V=3兀R3得R=。对选项逐一验证:3V4^，由此得d=23V4兀对于A.对于A.d沁16V有16〜色，即“竺=3.375；9 9兀 16对于B.d沁32V有2沁—，即对于C.d沁300v有300157 157"需=3」4对于C.d沁300v有300157 157"需=3」4；对于D.d沁11V有11~—，即“11 11兀6x11F〜3.1429;晋V中的数值最接近.•.d沁6V兀。故选D。例5•设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,71和a，且长为a的棱与长为V5的棱异面，则a的取值范围是【】(A)(0,<2)(B)(0,^3)(C)(1a;2)(D)(1a'3)【答案】A。【考点】异面直线的判定，棱锥的结构特征，勾股定理和余弦定理的应用。C【分析】如图所示，设四面体ABCD的棱AC长为a，取BD中点P,连接AP,CP，所以AP丄BD,CP丄BD，C在RtAABP中，由勾股定理得AP—CP=—。2.•.在AACP中,AC2—a2—AP2+CP2-2AP-CPcosZAPC—1-cosZAPC。TZAPCg(0,兀),・•・cosZAPCg(―1,1)。.a2e(0,2)•ae(0,叮2)。故选A。例6.若一个圆锥的侧面展开图是面积为2兀的半圆面，则该圆锥的体积为▲.【答案】<3【答案】<3^【考点】空间几何体的体积公式和侧面展开图。【解析】【考点】空间几何体的体积公式和侧面展开图。【解析】根据该圆锥的底面圆的半径为r，母线长为l，根据条件得到2兀l2—2兀，解得母线长/—2,2兀r=nl—2兀,r—1所以该圆锥的体积为:PV圆锥ishV圆锥ish—X22—12兀—3例7.—个高为2的圆柱，底面周长为2兀,该圆柱的表面积为▲【答案】6“。【考点】圆柱的表面积。【解析】根据该圆柱的底面周长得底面圆的半径为r=1，所以该圆柱的表面积为:S=2兀l+2兀r2=4兀+2兀=6兀。例9.如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c，且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值__▲(7(7【答案】3 2-c2-1。【考点】四面体中线面的关系，椭圆的性质。【解析】作BE丄AD于E，连接CE，贝卩BC丄AD，BE[}BC=B，AAD丄平面BEC。又TCEu平面BEC，ACE丄AD。由题设，AB+BD=AC+CD=2a，AB与C都在以AD为焦距的椭球上，且BE、CE都垂直于焦距所在直线ADoABE=CE。取BC中点F，连接EF，•/BC=2,・•・EF丄BC，BF=1，EF=\BE2—1。AS=-BC-EF八BE2—1。ABEF2A四面体ABCD的体积V=*Sabec-AD=丰JbE2—1。显然，当E在AD中点，即B是短轴端点时，BE有最大值为b=Qa2-c2。・•・V=匕a2—c2—1omax3例10.如图，正方体ABCD—ABCD的棱长为1。E，F分别为线段AA，BC上的点，则三棱锥D—EDF的体1111111积为▲ 。【答案】16【考点】三棱锥的面积。【解析】•・•三棱锥D1-EDF与三棱锥F-D1DE表示的是同一棱锥，VDedf=Vfdde。1 1 D一EDF F-DDEi i又•・•F-D1DE的底△DDE的面积是正方形面积的一半，等于1；底厶DDE上的高等于正方形的棱长I,.1121V=V =丄x丄x1=。气_EDF F-DDE32 6例11.若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB=CD,AC=BD,AD=BC，则▲一.（写出所有正确结论编号）四面体ABCD每组对棱相互垂直四面体ABCD每个面的面积相等从四面体abcd每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90o而小于180。连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长【答案】②④⑤。【考点】四面体的性质。【解析】①四面体ABCD每组对棱不相互垂直，命题错误；四面体ABCD每个面是全等三角形，面积相等，命题正确；从四面体abcd每个顶点出发的三条棱两两夹角之和等于180。，命题错误；连接四面体ABCD每组对棱中点构成菱形，线段互垂直平分，命题正确；例12.已知点P,AB,C,D是球0表面上的点，PA丄平面ABCD,四边形ABCD是边长为2点正方形。若PA=2訴,则厶0AB的面积为▲ .【答案】3J3。【考点】组合体的的位置关系，转化思想的应用。【解析】•・•点P，A，B，C，D是球0表面上的点，PA丄平面ABCD,・•.点P，A，B，C,D为球0内接长方体的顶点，球心0为长方体对角线的中点。.•.△OAB的面积是该长方体对角面面积的1。4•・•AB=2込,PA=2拓，.・・PB=6。・S =1x2J3x6=3j3。△OAB4例13