2021北京北师大实验中学高一（上）期中数学（教师版）

22/222021北京北师大实验中学高一（上）期中数学班级___________姓名___________学号___________成绩___________考生须知1.本试卷共6页，共五道大题，25道小题，答题卡共4页，满分150分，考试时间120分钟.2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号.3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答.命题人：高一数学备课组审题人：黎栋材第Ⅰ卷（共100分）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合，，则A.B.C.D.2.下列函数中在上单调递增的是A.B.C.D.3.命题“，使得”的否定是A.，都有B.，都有C.，使得D.，使得4.已知，，下列不等式恒成立的是A.B.C.D.5.设方程的两个不等实根分别为，则A.B.C.D.6.已知函数恰有一个零点，则该零点所在的区间是A.B.C.D.7.已知，则的值为A.B.C.D.8.“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9.如图为函数和的图像，则不等式的解集为A.B.C.D.10.如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则的取值范围是A.B.C.D.二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.函数的定义域为.12.已知均为正实数，则的最小值为.13.计算：.14.函数在上的最大值为，最小值为.15.已知定义在上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论：①在上单调递减；②存在，使得；③不等式的解集为；④关于的方程的解集中所有元素之和为.其中所有正确结论的序号是.（注：本题有多个选项符合要求，全部选对得5分，不选或有错选得0分，其它情况得3分）

三、解答题（本大题共3小题，共35分）16.（本小题满分12分）已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范围；（3）若，求的取值范围.17.（本小题满分10分）已知关于的方程有两个不相等的实根.（1）求的取值范围；（2）若，求的值；（3）求的取值范围.18.（本小题满分13分）函数为定义在上的奇函数，已知当时，.（1）当时，求的解析式；（2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）若，求的取值范围.第Ⅱ卷（共50分）四、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）19.比较大小：（填“”或“”）．20.设集合，，若，则；.21.设关于的不等式的解集为.（1）若中有且只有一个元素，则的值为；（2）若且，则的取值范围是.

22.某电热元件在通电状态下仅有两种模式，在A模式下元件温度保持不变；从A模式切换到B模式后，在B模式下，元件温度（单位℃）与通电累积时间（即从通电时刻开始累积计时，单位min）的乘积保持不变；从B模式再切换到A模式后，原件温度继续保持不变……现将该元件通电，初始温度为，已知在这四个时刻下的元件温度如表所示，而在时间内随变化的图像如图所示.请根据以上信息推断：；.通电累积时间(单位min)13612元件温度（单位℃）30201510五、解答题（本大题共3小题，共30分）23.（本小题满分10分）设函数.（1）求的最小值，及取得最小值时的值；（2）24.（本小题满分10分）已知函数，（其中）．（1）若对任意，都有恒成立，求的值；（2）设关于x的函数的最小值为.①若，解不等式，并直接写出的值；②试判断是否为的函数？若是，直接写出的函数表达式（用分段函数形式表示）；若不是，说明理由．

25.（本小题满分10分）对于一个所有元素均为整数的非空集合，和一个给定的整数，定义集合.（1）若，直接写出集合，和；（2）若，其中，，求的值，使得集合中元素的个数最少；（3）写出所有满足的整数和，使得当集合时，有，并说明理由．

参考答案一､选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据交集的定义，即得解【详解】由题意，根据交集的定义故选：A2.下列函数中在上单调递增的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由函数的单调性逐一判断即可求解【详解】对于A：在上单调递减，故A错误；对于B：在上单调递增，故B正确；对于C：在上单调递增，故C错误；对于D：在上单调递减，故D错误；故选：B3.命题“，使得”的否定是（）A.，都有 B.，都有C.，使得 D.，使得【答案】B【解析】【分析】由特称命题的否定直接求解即可【详解】命题“，使得”的否定是：，都有，故选：B4.已知，，下列不等式恒成立的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用不等式的性质逐一判断四个选项的正误即可得正确选项.【详解】对于A：因为，，所以，故选项A不正确；对于B：因为，所以，若，则，故选项B不正确；对于C：因为，所以，若，则，故选项C正确；对于D：因为，所以，，若，则，故选项D不正确；故选：C.5.设方程的两个不等实根分别为，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据韦达定理得到，化简，计算得到答案.【详解】，，故，.故选：D.6.已知函数恰有一个零点，则该零点所在的区间是（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据零点的存在性定理求出区间端点的函数值的符号即可得解.【详解】解：，，，，所以该零点所在的区间是.故选：C.7.已知，则的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据对数恒等式及幂的运算性质计算可得；【详解】解：因为，所以故选：D8.“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义即可得到结论．【详解】由可得，所以成立，由可得，所以当时，不成立，所以“”是“”的充分不必要条件故选：A9.如图为函数和的图像，则不等式的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】讨论和两种情况，根据图像得到范围，得到答案.【详解】当时，，此时需满足，，故；当时，，此时需满足，，故；综上所述：.故选：D.10.如果函数的定义域为，且值域为，则称为“函数”.已知函数是“函数”，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据函数的新定义得到且，结合函数和二次函数的性质，列出不等式，即可求解.【详解】由题意，函数的定义域为，且值域为，即函数的最小值，最大值为，又由函数，当时，可得，要是函数满足新定义，则满足，即，所以，所以实数的取值范围是.故选：B.二､填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11.函数的定义域为___________.【答案】【解析】【分析】函数的定义域满足，解得答案.【详解】函数的定义域满足：，解得.故答案为：.12.已知均为正实数，则的最小值为___________.【答案】6【解析】【分析】利用均值不等式即得解【详解】由题意，均为正实数，则当且仅当，即时等号成立故的最小值为6故答案为：613.计算：___________.【答案】2【解析】【分析】直接利用对数的运算性质求解即可【详解】，故答案为：214.函数在上的最大值为___________，最小值为___________.【答案】①.2②.【解析】【分析】先求出函数的单调区间，即可得解.【详解】解：，故函数在上单调递增，在上单调递减，又，，，故，故答案为：2；.15.已知定义在上的偶函数在上单调，且，，给出下列四个结论：①在上单调递减；②存在，使得；③不等式的解集为；④关于的方程的解集中所有元素之和为.其中所有正确结论序号是___________.【答案】①③④【解析】【分析】由函数的奇偶性与单调性可判断①②③，令，则有，从而可求出，进而求出，即可判断④【详解】因为定义在上的偶函数在上单调，且，，因为，所以在上单调递增，所以在上单调递减，故①正确；因为偶函数在上单调递增，所以时，，故②错误；偶函数在上单调递增，，，由可得，所以，解得或，故③正确；令，则，可化为，解得或，即或，所以或，解得或或或，关于的方程的解集中所有元素之和为，故④正确.故答案为：①③④三､解答题（本大题共3小题，共35分）16.已知集合，.（1）若，求；（2）若，求的取值范围；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）求出集合，再由并集与补集的定义求解即可；（2）根据数形结合的思想列出不等式，即可求解；（3）根据数形结合思想列出不等式，即可求解；【小问1详解】或，当时，，或，；【小问2详解】当时，满足条件，此时有，此时无解，故；当时，由得：，解得，所以的取值范围是；【小问3详解】由（2）可知，由可知：或，解得或，所以的取值范围是17.已知关于的方程有两个不相等的实根.（1）求的取值范围；（2）若，求的值；（3）求的取值范围.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用判别式，即得解；（2）利用韦达定理，转化，结合，计算即可（3）利用韦达定理，转化，结合以及二次函数的性质，即得解【小问1详解】由题意，关于的方程有两个不相等的实根故解得：故的取值范围是:小问2详解】由题意，当，即时有故，即解得：或，又故：【小问3详解】由题意，当，即时有故关于为开口向上的二次函数，对称轴为故在单调递增故即的取值范围为18.函数为定义在上的奇函数，已知当时，.（1）当时，求的解析式；（2）判断在上的单调性，并利用单调性的定义证明；（3）若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）在上的单调递增，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）由奇偶性的定义结合已知求解即可；（2）先判断，再用单调性的定义证明即可；（3）由函数的奇偶性与单调性求解即可【小问1详解】函数为定义在上的奇函数，时，.当时，，所以，所以时，求的解析式为；【小问2详解】在上的单调递增；证明：设，则，因为，所以，，即，所以在上的单调递增；【小问3详解】因为函数为定义在上的奇函数，且在上的单调递增，所以函数在上单调递增，由得，所以，解得，所以的取值范围是四､填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）19.比较大小：___________（填“”或“”）.【答案】【解析】【分析】由于，，所以通过比较的大小可得答案【详解】因为，，，所以，即，故答案：20.设集合，，若，则___________；___________.【答案】①.1②.1【解析】【分析】先求解集合A，B中的不等式，再结合，列出关于的等量关系，即得解【详解】由题意，集合由于，即或故，否则故集合或故解得故答案为：1，121.设关于的不等式的解集为.（1）若中有且只有一个元素，则的值为___________；（2）若且，则的取值范围是___________.【答案】①.1②.【解析】【分析】（1）由题意，不等式的解集只有一个元素，利用开口方向和判别式控制，列出不等关系，即得解；（2）由且，列出不等关系，求解即可【详解】（1）由题意，不等式的解集只有一个元素故，解得（2）由题意，且故，解得故答案为：1，22.某电热元件在通电状态下仅有两种模式，在A模式下元件温度保持不变；从A模式切换到B模式后，在B模式下，元件温度（单位）与通电累积时间（即从通电时刻开始累积计时，单位）的乘积保持不变；从B模式再切换到A模式后，原件温度继续保持不变……现将该元件通电，初始温度为，已知在这四个时刻下的元件温度如表所示，而在时间内随变化的图像如图所示.请根据以上信息推断：___________；___________.通电累积时间（单位）13612元件温度（单位℃）30201510【答案】①.②.【解析】【分析】根据图像得到分段函数解析式，得到，，，，解得答案.【详解】根据题意知：，，故，，即，，即，，即，故.故答案为：；.五､解答题（本大题共3小题，共30分）23.设函数.（1）求的最小值，及取得最小值时的值；（2）已知且，求证：“”是“”的充分必要条件.【答案】（1）当时，取得最小值2（2）证明见解析【解析】【分析】（1）化简后利用基本不等式求解即可，（2）利用充分条件和必要条件的定义证明即可【小问1详解】，当且仅当，即时取等号，所以当时，取得最小值2【小问2详解】证明：充分性：因为且，，所以，所以，必要性：当时，，所以因为，所以，所以，所以“”是“”的充分必要条件24.已知函数，（其中）.（1）若对任意，都有恒成立，求的值；（2）设关于x的函数的最小值为.①若，解不等式，并直接写出的值；②试判断是否为的函数？若是，直接写出的函数表达式（用分段函数形式表示）；若不是，说明理由.【答案