北京市房山区2021届高三下学期4月一模考试数学试题

b2021京房山高三一模b数

学本试卷共5页分试时长120分钟考务必将答案答在答题卡上试上作答无效试结束后，将答题卡交回，试卷自行保存。第一部分（择题共分一、选择题共10小，每小题分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。(1)若集合

M=

，则

M

等于(A)

(B)

(C)

(2)下列函数中，值域为

且为偶函数的是(A)

yx

(B)

yx+1

(C)

y

2D)yx3(3)已知a，b

，且

，则下列各式中一定成立的是(A)

1b

(B)

（C）

(D)

2(4)将函数

f()sin2x

的图象向左平移个位得到数g

的图象，则函数

的图象的一条对称轴方程为(A)

ππ(B)x(C)D)126(5)“十三五期间，我国大力实施就业优先政策，促进居民人均收入持续增下统计图反映了20162020年国居民人均可支配收入（单位：元）情.根据图中提供的信息，下列判断不正确的是(A)(B)

年，全国居民人均可支配收入每年都超过0000元年，全国居民人均可支配收入均逐年增加(C)根图数据估计，全国居民人均可支配收入可能高于0000元1

(D)根据图中数据预测，年国民人均可支配收入一定大于3(6)已知双曲线

C:

x2a2

的离心率为，点M(3,0)到曲线C的近线的距离为(A)

2

(B)

6

(C)

332

(D)

2(7)“

2

”是直

ay

与

平行的(A)充而不必要条件(C)充要条件

(B)要而不充分条件D)既充分也不必要条件(8)在矩形ABCD中与BD相交于点,E是段OD

的中点，若AE,则

的值为(A)

2

(B)

(C)

1

D)

12(9)已知等差数列

n

项和为

n

，且

7

8

，

89

，则下面结论错误的是(A)

a9

(B)

15

14(C)

d

D)与S均S的最小值8(10)祖是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积算的原理幂势既同，则积不容”意思是：如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等，即祖暅原利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，一个与该几何体的下底面平行且相距为h则截面面积为(A)

(B)

(C)

D)

二、

第二部分（选择题共分填空题共小，每小题5分共25分2

(11)若i

为虚数单位，则

．(12)二式(x

)

的展开式中常数项是（数字作答(13)抛线:AF

2

x．

的焦点为F，点F的坐标为，若抛物线上一A到轴距离为2，(14)设

，

，则使得命“若

)

则

)

”为假命题的一组

a,

的值是．(15)设数

f(x

的定义域为D

，若对于任意xD

，存在

，使

f(xf(y)

（为数）成立，则称函数

f(x

在

上的半差值为

．下列四个函数中，满足所在定义域半差值为

的函数是（填上所有满足条件的函数序号①

yx

②

y

3

③

y2

④

x三、解答题共小题，共分解答应写出文字说明演算步骤或证明过程。（）本小题分）如图在三棱柱

B1

中已AB

，AC

2

，

BB21

，E

为

CC1

上一点且

（Ⅰ）求证：平面ABE平BBCC11

；（Ⅱ）求直线AC与面所角的正弦.1（）本小题分）在△

中，

=

π,=

，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，求：（ⅠsinC

的值；3

（Ⅰ的面积条件①：AB边上的高为

；条件②：

cosA

5714

；条件③：a

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计.（）本小题分）单板滑雪U型比赛是冬奥会比赛中的一个项目，进入决赛阶段名运员按照预赛成绩由低到高的出场顺序轮流进行三次滑行，裁判员根据运动员的腾空高度、完成的动作难度和效果进行评分，最取单次最高分作为比赛成绩.现有运动员甲、乙二人在赛单板滑雪U型世界杯分站比赛成绩如下：分站

运动员甲的三次滑行成绩

运动员乙的三次滑行成绩第第第第第

第1

第2次

第

第

第2次

第假设甲、乙二人每次比赛成绩相互独.（Ⅰ上5

站中随机选取1站求该站运动员甲的成绩高于运动员乙的成绩的概率；（Ⅰ上5站任意选站用表示这中甲的成绩高于乙的成绩的站数，求的布列和数学期望；（Ⅲ）假如从甲、乙人推人加年京奥会单板滑雪U型池比赛，根据以上数据信息，你推荐谁参加，并说明理由.（注：方差

s2

12

n

，其中x

为

x，12

，，

xn

的平均数）（）本小题分）已知函数

f(x)=2x

3x2

．（Ⅰ）求曲线

f(x)

在点

处的切线方程；4

（Ⅱ）若

x

，求证：

f()≥2

；（Ⅰ

)x

2

，是否存在唯一的自然数m，使得(x)与f(x)

的图象在区间

(m

上有两个不同的公共点？若存在，试求出

的值，若不存在，请说明理.（）本小题分）已知椭圆C

x2y2a0

1，离心率为.2（Ⅰ椭C

的方程；（Ⅰ点M为圆

的上顶点，

A椭圆上两个不同的动点（不在y

轴上线

MMB

的斜率分别为

k,k，kk1

，求证：直线AB过定点

N(0,

.(21)(小题分对于数列n

a,n1

a)n

，其中max,1k

a,a12

k

这k

个数中最大的数，并称数列n

n

数”，如数列

1,2,3,2

的控数列是

1

（Ⅰ）若各项均为正整数的数列n

数为,3,4,4，写出所有的n（Ⅱ）设

aann

2

(N*)

（i）当a时，证:存在正整数使得

bmm,m,

是等差数列；（ii当a

b13234

的值（结果可含）2021京房山高三一模数学参考答案一、选择题共小题，每小题5分共40分在每小题列出的四个选项中，选出合题目要求的一项。题号

(2)(3)(4)(8)

（9）（）答案

(A)

（C）（）（C（）（B（B（A（C）

(D)5

二、填空题共5小，每小题5分，共分。（11（12）（13

（）满足

且

即可（）②③三、解答题共小题，共分解答应写出文字说明演算步骤或证明过程。Ⅰ)明：解（）解法因为三棱柱

AB1

为直三棱柱,所以

BB平ABC.1又因为平

所以

BB1

又因为

ABBCAC

，所以

2BC2

所以AB.因为

B1

BCB，,平BCC11所以AB平面

BCCB11

因为AB平ABE,所以平面平面BBCC11

.……………7分解法三棱柱

B11

为直三棱柱

所以

BB1

平面ABC因为

BB,BC1

平面

BCC11

所以

B,BBBC11

又因为

ABBCAC

，以AC

所以AB

.以点为

B

坐标原BA,BB所直线分别为

轴,

轴,z轴建立如图所示空间直角坐标系，B(0,0,0),(1,0,0),C(0,1,0),(1,0,2),B(0,1,2)111),

，所以

(0,1,),

BA6

设平面ABE法向量为n，所以1yz令z则则，x.

(0,由（Ⅰ）可知，平面B的向量为11因为所以平面平面BBCC11（Ⅱ）由（Ⅰ）知，平面

的法向量为n(0,

，设直线AC与面ABE所成角为，则1,n

所以直线

AC1

与平面

所成角的正弦值为

306

.

……14分（17选①解：方法：（Ⅰ）设

边上高为在中，AB30A

CDAC

cosA1sinAA

5147

CAcosBAB

2153)1414217

……10分（Ⅱ）在RtBDC

中，因为

=

π33所以=又因为

b=7

，

sinC=

217

，所以

ABC

121sinC22

……14分方法：（I在BDC

中,

(答案与选择条件①相同）

……10分（Ⅱ）设边上高为CD在ACD

中，

AD

AC

(7)

)2因为

CD=

32

，

tanCBD=

CDBD所以

=

tanCBD

=π在RtBDC中BD

12

52又因为

CD=

32所以

13AB222

……14分8

选②解：（Ⅰ）

0A5又14

2

CAcosBAB

2153)1414

……10（Ⅱ）

bsinAbsinB

7

21143

2S

ABC

3absinC2

……14分选③解：（Ⅰ）方法1：sinA

又

9

222A22AC

5714sinAcosAsin

13)217

……10方法：b

)即

2解得：

或cbsinCsinsin

B

（Ⅱ）

S

ABC

1C772

……………14分（18解：（Ⅰ）解：该站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成”为事件A；运动员甲第、第、第3站、第4站第5的成绩分别为：、92.80、、89.50、

……………1分运动员乙第、第、第3站、第4站第5的成绩分别为：、88、、、.70其中第和第4站甲的成绩高于乙的成绩

……………2分P

……4（Ⅱ）的可能取的值为0,1,2，

……5(0)

CC23C2

310

……6分10

甲乙(X甲乙

1C33

……7分(

C23C2

110

……8分所以的分布列为

2

310

35

110……9分()

331105105

……10（Ⅲ）答案一：推荐.………………12分理由是：从2021季前站的成绩可以看出：任意1站运动员甲的成绩高于该站运动员乙的成绩的概率为乙的成绩高于该站运动员甲的成绩的概率为.因为，以乙的成绩好于甲的成绩的可能性大…………………14分答案二：推荐乙…………………12分

，用

”表示任意1站动员甲的成绩高于乙的成绩，“

”表示任意站动员甲的成绩低于乙的成绩，则(

，

30.4，0.245用

”表示运动员乙的成绩高于甲的绩，“

”示运动员乙的成绩低于甲的成绩，则P

D因为答案三：推荐乙.

所乙的成好于甲的成绩……………14分………………12甲5站的平均成绩为：乙5站的平均成绩为：

(86.20+92.80+87.50+89.50+.00)88.40(88.40++88.20+87.70)88.4011

甲乙甲5站成绩方差为：甲乙s[(88.40甲

2

2

+(88.40-89.50)

+(88.40-86.00)

2

]

乙成绩方差为：s=88.40)乙

2

88.60)

2

+(88.40-89.10)2

+(88.40-88.20)

+(88.40-87.70)

2

]xx说甲乙人水平当，甲所以预测乙的成绩会更好.

乙

表明乙的发挥比甲的更稳定……14分答案四：推荐甲.甲5站的平均成绩为：乙5站的平均成绩为：

……12分(86.20+92.80+87.50+89.50+.00)88.40甲(88.40++88.20+87.70)88.40乙甲乙5站平均成绩虽相同，但是甲成绩的极大值为，乙成绩的极大值为89.10，……14甲成绩的极大值高于乙成绩的极大值，所以甲的成绩会比乙的更（19解：（Ⅰ）因为

f

x2

，所以

f

f因为所以切线方程为

，即

.…………4分（Ⅱ）设(xf

3

2

x

，即

g(x)x2

，g

2

x2(3x

2

xx

令

，x或x.g

()随x变化况如下表：

x

(0,1)

(1,所以

(x)(x(1)

极小值所以

2x

3

x，()x

.……………10分12

1（Ⅲ）由于1

h(x

2设f)(x)2

34

q(2x

3

x

2

37，q

x

2

xx

q

(x)

随

x

变化情况如下表：x

(

0

(0,

)

(

'

()

0

0

(x)

极大值

极小值由表可知

q

，

1()

，因为

q(3)

，

q(4)

，)，q()3

，所以

()

在

(3,)，,

分别有唯一零点所以

()在(3,4)内有两个零点，在(0,3)(4,无零点，(内唯一零所以存在唯一的自然数

，使得

()

与

f()

的图象在

(m,m

上有两个不同公共点.……15分（20解Ⅰ据题意得1a

2

2

解得b所以椭圆C的程为

x243

.………5分（Ⅰ法：为点M为圆上顶点，所以点的坐标为设直线:x31

,2由得y31

)

2

31

.设点yA

A

yB

B

,13

11解得A11

3

所以3AA

23

.

AN

533

3k23134k21.k3k114k21设直线MB:3同理可得

BN

123k

.又因为

k，所k12

k1

.所以

k

BN

k1k133k1

.所以

k

.所以直线过定点

N(0,

.………………14分证法：由题意可知，直线AB存斜率设直线的程为：ykx，联立

y3y

消去y

得

2

64

m

.即

2

2

0

,设y1

2

，则1

k

2

，

k所以

y3k1x1

kxm1x1

k2

y2x2

kx32x214

因为

kk12

，所以

kxm1x1

kxm2x2

x

所以

2

112

所以

2

2

2m3

m

所以

3

2

3

，即

所以

53

或m3（）所以直线的方程为：y

.所以直线过定点

N(0,

.……………14分（21解：详细分析(I)

；

……