2022届高考数学一轮复习第七章立体几何7.7立体几何中的向量方法学案理含解析北师大版2021070

121π0121π0第节

word立几中向方命题分析预测从近五年的考查情况来看用量法求空间角和空间距离是高考的重点，考查频率较高，线、面的平行和垂直问题一般不用向量法求解，但向量法的使用有时可以加快求解速度，主要以解答题的形式出现，难度中等．

学科核心素养本节通过对空间角的求解、空间向量的应用，考查考生转化与化归思想的应用，提升考生的直观想象、数学运算、逻辑推理核心素养．授课提示：对应学生用书第页知识点空间角的求法．设直线lm的方向向量分别为a，，面，的向量分别为u，ν，则（1线线平行：l∥ma∥bakb∈；线面平行：l∥a＝；面面平行：∥∥u＝ν∈Ｗ．（2线线垂直：l⊥ma⊥b＝0；线面垂直：l⊥a＝ku，k∈；面面垂直：⊥⊥νu＝Ｗ．．空间角的求法（1异面直线所成的角设ab别是两异面直线l，l的向向量则X围

的角（0）

l与l所的角θ求法

cos＝

ab

cosθ|cos＝

a·b|a|（2求直线与平面所成的角设直线l的向向量为，平面α的向量为，线l平面α所的角为，＝|cos〈an〉＝

a·n．an（3求二面角的大小→①如图，，CD二面角α-l-β的个面内与棱l直的直线，则二面角的大小＝AB，→CD-1/15

11212111111121211111→→111②如图bcn分是二面角α-l-的两个半平面的向量二角的大小足θ＝|cos〈n，n〉，面的平面角大小是向量n与的夹角（或其补角•温馨提醒利用空间向量法求二面角时易忽视判断二面角大小，从而致误．解题时注意结合图形判断二面角的平面角是锐角还是钝角，从而在下结论时作出正确判断．．已知两平面的法向量分别为（，，0＝（0，11两面所成的二面角的大小为_．2解析：〈mn〉＝＝，〈mn〉＝，所以两平所成二面角为45°m||n×2或180°－＝．答案：45°135°．在正方体ABCDACD中E是CD的点，则异面直线与AC夹的余弦值为．解析如图建立空间直角坐标系xyz设＝A（100（01，，，则C（－，，0＝，，，异面直线DEAC所的角为θ，cos＝|cos→→10〈，〉＝．答案：

正棱（底面是正三角形的直棱柱-AB的底面边长为2侧长为22AC-2/15

1

11111212→→1＋81111111212→→1＋8111||与侧面ABB所的角为_________．解析：C原点建立空间直角坐标系，如图所示，得下列坐标（，，0（0，32C在侧面ABBA内的射影为点，，2．2→→13所以AC＝（－2，0，＝－，，2，2ACπ设直线AC与平面ABBA所的角为，则cos＝＝＝．又∈，，→→23×1π所以＝．π答案：授课提示：对应学生用书第页题型一异面直线所成的角[例]如，在四棱锥-中，⊥面，底面是形AB＝2，BAD＝．-3/15

→→→→word→→→→（1求证：⊥平面PAC（2若PA，求与所角的余弦值．[解析（）证明：因为四边形是形所以⊥BD因为⊥平面ABCD所以⊥BD．又因为∩＝，以⊥平面．（2设∩＝O因为∠BAD，PA＝AB＝，所以BO1，AO＝3如图，以O为标原点，建空间直角坐标系Oxyz则（，－32（，－30B（10，0（，，0→→所以PB（1，3－2AC＝（，2，0设与AC所角为θ，6cos＝＝．|×23即与AC所角的余弦值为

．-4/15

→→1→→1→||向量法求异面直线所成角的两种法及一个注意点（1两种方法：①基向量法：利用线性运算．②坐标法：利用坐标运算．（2一个注意点：注意向量法求异面直线所成角与向量夹角的区别，尤其是取X围[对点训练]如图，正三角形所在平面外一点，，N分是AB和的点SA＝＝，且∠＝∠＝∠＝90°则异面直线与成角的余弦值为（）A－C．

B．D．

解析：不妨设＝SB＝＝1，以为坐标原点，SBSC所直线分别为轴y轴轴建立空间直角坐标系-（图略A（10（，，0（，0（0，M，，，，以M，，＝，－，以SM＝

，→BN＝

→→→→1→→SM10，SM＝－，所以cos〉＝＝，以异面直线与BN2→→-5/15

11111111111111111111111111111111111所成角的余弦值为答案：

．题型二直线与平面所成的角[例]如，在直三棱柱ABCAC中，＝2，AC，＝3∠ABC＝，为的中点．（1证明：AC∥平面；（2求直线DC与面CD所成角的正弦值．[解析（）证明：连接交BC于点，连接，因为四边形BBC是形，所以点E是的点，又点DAB中点，所以eq\o\ac(△,是)ABC的中位线，所以DE∥．因为平面BCD，AC平，所以AC∥平面B．（2由＝2，AC1∠＝30°，可得AC，分别以，，CC所在直线为x轴，轴z轴建立如图所示的空间直角坐标系-xyz，-6/15

1111111CB＝，→CD，11111111111CB＝，→CD，11111113则（，0，（，，D，，0，C，0，→3→所以C＝－，，3，CB＝（0，33→CD，，．设直线与平面BCD所角为，平面BCD的向量为m（x，y，则

→3yz＝01即x＋y＝，令＝1，得m（，－1→所以sin＝|cos〈mDC〉＝

33－＋＋323＋＋3＋

15＝＝．利用平面的法向量求线面角的两注意点（求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐（钝角时取其补角取其余角即为所求．（2若求线面角的余弦值，要注意利用平方关sinθ＋2＝求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值即为所求．[对点训练]（东北三校模拟在正三棱柱ABCA中，已知＝，D在上，且BD1，则AD平面所角的正弦值（）AC．

B．D．

解析：取AC的点，接BE，则BE⊥，为坐标原点，，所在直线分别为x3轴z轴建立如图所示的空间直角标系B-xyz，，，0，（0，（，，2-7/15

1111111word11111113，0，0，→1→3则D＝－，－，1，BE，，．22∵平面⊥平面C面ABC平面C＝ACBE⊥ACBE平面ABC∴⊥平面C，→3∴＝，，为面AACC的个法向量．11设与面C所成角为，→→→→AD6∵AD，〉＝＝－，→→4ADBE→→∴sinα＝|cos〈ADBE〉＝．答案：A题型三二面角[例（高考全国卷Ⅰ）如图圆锥的顶点O是圆锥底面的圆心为面直径，＝AD△ABC是面的内接正三角为DO上点PO＝

DO．（1证明：PA⊥平面；-8/15

EP＝0，＝0，－EP＝0，＝0，－－＝0.（2求二面角BPC-E的弦值．解析）证明：设＝，题设可得PO

aAO，＝AC＝＝，PA＝＝＝

a因此PA＋

＝2，从而⊥．又＋PC2，故PA⊥．所以⊥面．→→（2以O为标点OE方向为y轴正向OE为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系-．由题设可得E，，（0，－，－

1，，，0，，

．→3所以EC－，－，，2→2＝，－，．设＝（，，）是平面PCE的向量，则→z＝，即→32可取m－

，12．→由（）知AP＝，1，是面的一个法向量．→nm5记n＝AP，则〈m＝＝．|所以二面角B-PC的余弦值为．-9/15

1111111111111111111利用法向量求二面角时的两个注点（1对于某些平面的法向量要注意题中条件隐含着，不用单独求．（2注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行判断，以防结论失误．[对点训练]如图，在三棱柱ABCC中CC⊥平面ABC⊥BCACBC，CC＝，点DE分别在棱和上且＝1＝，M棱A的点．（1求证：⊥BD；（2求二面角BE-的弦值；（3求直线AB与面DB所角的正弦值．→→→解析依题意，以C为点，分别C，，的方向为轴轴z轴正方向建立间直角坐标系（如图-/15

11111111111→|11111111111→|·|n11可得（00，（2，0（02，（，，3A（，0，（，2，3（2，01（，，2M，，→→（1依题意，C＝，1，B＝（2－，－2→→从而B＝2－＋0＝，所以M⊥D；→（2依题意，＝，0，）平面E一个法向量，→→EB＝0，，1＝2，0，－1设n＝（x，y，）为平E的向量，→EB＝，＝，则即＝0，＝0，不妨设x＝1可得＝1，－1，→→〈CA〉＝＝＝，→266→∴〈CAn〉

－2

→30〈CAn〉．所以，二面角B-BE-的弦值为

；→（3依题意，＝（，2由（）知n＝（1，－1）平面DB的个法向量，于是-/15

→－4|·|nword→－4|·|n→〈，〉＝＝＝－．→226所以，直线AB与平面DB所成角的正弦值为

．向量法中的核心素养数学运算利用空间向量求距[例]如，与都是边长为的正三角形，平面⊥平面，AB⊥平面BCDAB＝3求点A平面的距离．[解析如图，取CD的点O，连接OB，OM，因eq\o\ac(△,为)BCDeq\o\ac(△,与)MCD均正三角形，所以OBCD⊥CD面MCD⊥平面面MCD∩平面＝CDOM平MCD，所以⊥平面BCD-/15

word以为标原点，直线OCBO，OM分为x轴，z轴，建立空间直角坐标系-xyz．因eq\o\ac(△,为)eq\o\ac(△,与)MCD都是边长为的三角形，所以OB＝OM＝3则（0，，0（，，0（003→B（0－3A（0－33以C（，3→BM＝（，，设平面MBC的向量为＝x，y，z→→BCBC0由得→→BM＝0，即

＝，3＝，取＝，可得平面MBC的一个法向量为n＝（3－，1→又A＝（，0，23→|15所以所求距离为＝＝．|5-/15

|111111111111|1111111111111111求解点到平面的距离可直接转化为求向量在平面的法向量上的射影的长．如图，设点在→PQ|面α外n为面α的向量，在平面内任取一点Q，则点P到面α的离d．[对点训练]如图所示，在长方体ABCD-AD中，AD＝AA＝1，AB＝2点E在上移动．（1证明：DE⊥AD；（2当E为AB的点时，求