2021年高考数学真题试题(新高考Ⅰ卷)(,与解析)

π,)B.,)(ππππππ，π,)B.,)(ππππππ，πππ2021高数真试（高卷一、选题：本题共8小题，每小5分，共分。设合A={x|-2<x<4}.B=则∩B=）A.{2}B.{2,3}C.{3,4,}{2,3,4}【答案】B【考点】交集及其运算【解析】【解答】解：根据交集的定义易知是集合与合B的公共元素，即2,3}，故答案为：【分析】根据交集的定义直接求解即.已z=2-i，则(

（）A.6-2iB.4-2iC.D.4+2i【答案】C【考点】复数的基本概念，复数代数形式的混合运算【解析】【解答】解：(𝑧)(2−𝑖𝑖故答案为：【分析】根据复数的运算，结合共轭复数的定义求解即.

𝑖已圆锥的底面半径为

，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（）A.2B.22

44

【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）【解析】【解答】解：根据底面周长等于侧面展开图弧长，设母线为l，面半径为，则π°°

π，解得2故答案为：【分析】根据底面周长等于侧面展开图弧长，结合圆的周长公式与扇形的弧长公式求解即下区间中，函数f(x)=7sin(

𝜋

单调递增的区间是（）A.(0,

𝜋𝜋3𝜋

)D.

3𝜋

,

π【答案】【考点】正弦函数的单调性【解析解答：≤ππ≤，∈，k=03时，

ππ3

是函数的一个增区间，显33

，故答案为：【分析】根据正弦函数的单调性求解即.

12221212𝐹2|1212θθθθ2222则(𝐴)，12221212𝐹2|1212θθθθ2222则(𝐴)，𝐶)，𝐷)𝑃(𝐵)已F,F是椭圆C：

𝑥

𝑦4

的两个焦点，点M在上则|·|MF|的大值为（）A.1312C.96【答案】C【考点】基本不等式在最值问题中的应用，椭圆的定义【解析】【解答】解：由椭圆的定义可知a2=9,b

=4,|MF|+|MF，则由基本不等式可得||MF||𝑀𝐹1||𝑀𝐹2|(当且仅当|MF|=|MF|=3时等号成.故答案为：【分析】根据椭圆的定义，结合基本不等式求解即.

2

2)

，若tanθ则

sin(1+sin2)sin+cos

=（）A.

65

B.

25

25

65【答案】C【考点】二倍角的正弦公式，同角三角函数间的基本关系，同角三角函数基本关系的运用【解析】【解答】解：原式

sin𝜃sin

2

𝜃+2sin𝜃cos𝜃+cossin𝜃+cos𝜃

𝜃)

sin𝜃sin𝜃+cos𝜃)sin𝜃+cos𝜃

sinsin𝜃+cos)

sin𝜃+sin𝜃cos𝜃sin𝜃+cos𝜃

tan𝜃+tan𝜃tan

25故答案为：【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角公式求解即.若点可作曲线

x

的两条切线，则（）A.e

b<aB.a

<bC.0<a<eb

0<b<ea【答案】【考点】极限及其运算，利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】解：由题意易知，当趋于时，切线为，当趋于时，切线为y=+，此切线的交点必位于第一象限，且在曲线x故答案为：【分析】利用极限，结合图象求解即.

的下方有相同的球，分别标有数字中有放回的随机取两每次取1个，甲表示事“第一次取出的球的数字是1，乙表示事第次取出的球的数字是2”丙表示事件两取出的球的数字之和是8，丁表示事“两取出的球的数字之和是7，则（）A.甲丙相互独立乙丙相互独立

B.甲丁相互独立丙丁相互独立【答案】B【考点】相互独立事件，相互独立事件的概率乘法公式，古典概型及其概率计算公式【解析】【解答】解：设甲乙丙丁事件发生的概率分别为P(A)，P(C)，P(D)，5566366

，

12n12nii1212212nkii12nkkk12n1112nn1ii12nn1n112n12nii1212212nkii12nkkk12n1112nn1ii12nn1n1n1n1123|=··=··对于B，

1136

；对于，

1136

；对于，P(CD)=0.若两事件X,Y相独立，则P(XY)=P(X)P(Y),故B正确.故答案为：【分析】根据古典概型，以及独立事件的概率求解即可二、选题：本题共4小题。每小5分，共分。在每小题出的选中，有多项合题目要。全部选对得分，部分对的得分，有选的得0分。有组样本数据x，x,…,x由这组数据得到新样本数据y，y,…,y,中y=x+c(i=1,2,…,n),c为零常数，则（）A.两样本数据的样本均数相同两样本数据的样本标准差相同

B.两样数据的样本中位数相同两组样本数据的样本极差相同【答案】C,D【考点】众数、中位数、平均数，极差、方差与标准差【解析解解对于，

𝑛

𝑛

𝑛

𝑛

1

𝑛

𝑛

，因为c，所以

，故错；对于B，x,x,…,x的中位数为x，因为=x，因为，以y,y,…,y的位数为y=x+c≠x，故B错误；对于，,y,…,y的准差为

√𝑦2𝑛

𝑦22

𝑦2𝑛1𝑛

√𝑥1

)𝑥2

𝑥2

)𝑥2

𝑛

)𝑥2

1𝑛

√21

𝑥22

𝑥2𝑛

，故C正；对于，设样本数据,x,…,x中的最大为x，最为,为=x+c，以y,y,…,y中最大为y，最小y极差为-y=(x+c)-(x+c)=x-x，故D正.故答案为：【分析】根据平均数，中位数，标准差的定义求解即.10.已知为坐标原点，点P(cosα),P(cosβ，β),P(cos(α+，A(1，则）A.|

12

B.

=

2

312

123【答案】A,C【考点平向量数量积的坐标表示、模、夹角，平面向量数量积的运算，两角和与差的余弦公，两角和与差的正弦公式

【解析】【解答】解：，(2【解析】【解答】解：，(222cos因为所以因为232211111|11因为)222cos12B错误；

，故A正；，故×)𝛼3

，·12·𝑂31故C正；

，11

，𝛽

·)𝛼2

，所以D错误故答案为：【分析】根据向量的数量积，及向量的求模直接求解即.11.已知点P在圆=16上，点A（）B（），则（）A.点P到线AB的距离小于10B.点到直线AB的离于当PBA最时|PB|=32

最时，|PB|=3

2【答案】A,C,D【考点】直线的截距式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系【解析】【解答】解：直线AB为：=142

，即，设点5+4cosθ，5+4sin则P到线AB的离

𝜃+2𝜃|2

11+4𝜃+

，则𝑚𝑎

𝑚𝑛

11−4√5

2所以A正确错误；又圆心O（），半径为4，)

2234，所以当直线PB与圆相切时，取最值，此时，|

2

2342所以CD正故答案为：【分析】根据直线的截距式，利用点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系求解即12.在正三棱柱ABC-

中=1点满

1

，其中λ，𝜇，则（）A.当λ=1时eq\o\ac(△,)的周长定值B.当μ时三棱锥P-A1的积为定值

111111111111111111111111111111111当

12

时，有且仅有一个点P，使得

当μ

=

12

时，有且仅有一个点P，得B平面AP【答案】【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面垂直的判定【解析】【解答】解：由点满

1

可知点P在方形BCCB内对于A当λ=1时，可知点P在CC（包括端点）上运动，如下图所示eq\o\ac(△,)P中

22

，

√112

，因此周长L=AB+AP+BP不为定值，故A错误对于B，μ=1时，可知点P在BC（包括端点）上运动，如下图所示，易知BC//平，即点到平面BC的距离处处相等ABC的积是定值，所以三棱锥P-ABC的积为定值，故B正；

11111111111111111111对于，时，分别取线段BB，CC的中点，可知点P在线段DD（括端点）上运动，如2下图所示，很显然若点与D,D重合，均满足题意，故错；对于，时，分别取线段BB，CC的中点D,D，知点在段（括端点动2如下图所示，

，则,，则,𝑝),5此时，有且只有点P与重合时，满足题意，故正.故答案为：【分析三形的周长，棱锥的体积的求法，利用特殊点进行判断AB即,据线线垂直及线面垂直的判定定理，利用特殊点进行判断即.三、选题：本题共4小题，每小5分，共分13.已知函数f(x)=

3

是函数，则【答案】1【考点】函数奇偶性的判断，函数奇偶性的性质【解析答：()·2

，则意可知函数g(x)奇函数，则g(0)=a·2

-2

-0=a-1=0，故a=1故答案为：【分析】根据函数的奇偶性的判定，结合奇函数的性质求解即.14.已知为标原点，抛物线

）的点为F,P为C上点，PF与x轴垂直Q为x轴上一点，且⊥OP,|FQ|=6，则C的线方程________【答案】

3【考点】直线的点斜式方程，抛物线的定义【解析】【解答】解：由题意可

𝑝1因此直线的方程为𝑝=

1𝑝令y=0，得

5

𝑝因此则p=3

因此抛物线C的线方程为

𝑝【分析】根据抛物线的定义及几何性质，结合直线的方程求解即.15.函数f(x)=|2x-l|-2lnx的小值为_______【答案】1

′)2121′)−2②当时（），则11234𝑛𝑘𝑛1213𝑛3𝑘𝑘𝑛1𝑛1𝑛2𝑛12𝑛𝑛2𝑛1′)2121′)−2②当时（），则11234𝑛𝑘𝑛1213𝑛3𝑘𝑘𝑛1𝑛1𝑛2𝑛12𝑛𝑛2𝑛1【解析】【解答】解：当时（）=2x-1-2lnx则2

，当x>1时f'(x)>0，2

1，f'(x)<0，以f（）=f1=1；1𝑥12

，此时函数f（）在

上减函数，则（）=𝑓1，2综上，（）=1故答案为：【分析】根据分段函数的定义，分别利用导数研究函数的单调性与最值，并比较即可求解16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格为20dm×12dm的长方形纸对1次共可以得到、20dm×6dm种规格的图形，它们的面积之和=240dm

，对2次可以得5dm×12dm，，三种规格的图形，它们的面积之和S=180dm2。此类推则折4次共可以得到不同规格图形的种数________；果对折n次那么𝑛𝑘=1

𝑘

=________dm.【答案】5；240⋅

𝑛3𝑛【考点】数列的求和，类比推理【解析】【解答】解：对折3次2.5×12，3×10，共4种，面积和为=4×30=120dm;对折次有1.25×12,2.5×6,3×5,1.5×10,20×0.75共5种面积和S=5×15=75dm2对折次n+1中型

240𝑛

𝑛1,𝑛因此𝑘=1

·

2312

𝑛1𝑛

，𝑘𝑘=1

·(

23𝑛12232𝑛1

，上式相减，得2

𝑛𝑘𝑘=1

·

122

123

1𝑛

𝑛1𝑛1

2𝑛1

𝑛则𝑘=1

(3

𝑛3𝑛

240·

𝑛32𝑛故答案为：，240·

𝑛3𝑛【分析】根据类比推理可求对折次及对折四、解题：本题共6小题，共70分。

𝑛次的图形种数，运用错位相减法可.𝑘=117.已知数列}满，

1为奇数2为偶数（）=，写出，，求数列{

的通项公式；（）

的前20项和【答案】（）2𝑛为数，则𝑎

2𝑛

，𝑎2𝑛2𝑛1

，

𝑛1𝑛𝑛1𝑛2𝑛2𝑛

，即

𝑛

，且𝑏11

，{是以2为项3为差的等差数列，𝑛2，，𝑏𝑛1．1𝑛（）𝑛为奇数时，𝑎{}的项为𝑛

，𝑛11

2

201

2

4

20(24

2

4

202(2

4

)10．20由（）知2

4

201

2

10

2

2

．{}的20项和为2155．𝑛【考点】等差数列，等差数列的通项公式，数列的求和【解析】【分析】1根据等差数列的定义及通项公式即可求解；（）用分组和法，结合项之间的关系即可求.18.某学校组一带一路知竞赛，有A，两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中择类并从中随机抽収一个问题冋答，若回答错误则该同学比赛结束；若回正确则从另一类问题中再随机取一个问題回答，无论回答正确与否，该同学比赛结.类题中的每个问题回答正确得分否得分：类题中的每个问题回正确得分，否则得0分己知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类題的概率为0.6.且正确回答问题的概率回答次序无关。（）小明先答类题，记X为明的累计得分，求X的布列：（）使累计分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。【答案】（）的取值可能为0，，100，−，(10.32，100)，的布列为X

0

20

100P

0.2

0.32

0.48（）设先答𝐵类题，得分为𝑌，则可能为0，，，−，0.12，

2𝑏2𝑏2，的布列为2𝑏2𝑏2YP

00.4

800.12

1000.48，由（）知+，，应答B类．【考点】相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与差【解析】【分析】1根据独立事件的概率，并列出X的布列即可；（）据独立件的概率，并列出Y的分布列，根据期望公式求得E(X),E(Y)并较即可判断19.eq\o\ac(△,)ABC的内角AB，的边分别为a.，，已=ac,点D在边AC上，BDsinABC=asinC.（）明=：（）AD=2DC求ABC.【答案】（）中sin

∠

sin

①

，∠𝑎sin

，

sin𝐶sin

②

，联立①②得，

，即⋅，．（）𝐴𝐷，𝐴𝐶中，

2

2

③，中③，

2

33

2

④，(

，整理得

，

=0，

若𝑎2时，222𝑐𝑐227222若𝑎2时，222𝑐𝑐227222

2

，2𝑎2，即𝑎或，22

，则cos∠

2⋅

229323

7923

22

（舍），若𝑎

2

，22

2

，则cos∠

2

2⋅

2

93422

2

74

22

712

.【考点】正弦定理的应用，余弦定理的应用【解析】【分析】1根据正弦定理求解即可；（）据余弦理，结合方程思想和分类讨论思想求解即.20.如图，在三棱锥A-BCD中平ABD丄面，AB=AD.O为的点（）明：⊥：（）eq\o\ac(△,)是边长为的边三角形点在棱AD上DE=2EA.二面角E-BC-D的大小为，求三棱锥A-BCD的.【答案】（），为𝐵中，，面，面𝐴面且面面，面𝐵，．（）𝑂为坐标原点，为轴𝑂为𝑧轴垂直且𝑂的直线为𝑥轴，

112423111133{22{1121211112423111133{22{1121211⋅⋅|3612t211211设𝐶(

,,22

，𝐷(0,1,0)，𝐵(0,−1,0)，，,,33

,，,3322

，设,,𝑧为𝐸法量，𝑦11⋅11

，1111

，令𝑦

，1

2

，𝑥√3

，，，面𝐵法向量为，〈|1

√4+

4𝑚

2

，解得1，，

×11，22

13𝑐

．【考点棱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的性质，与二面角有关的立体几何综合题，空间向量求平面间的夹角【解析】【分析】1根据面面垂直的性质定理，结合等腰三角形的性质求解即可；（）用向量，结合二面角的平面角求得，再根据棱锥的体积公式直接求解即可21.在平面直角坐标系xOy中己知点(-

7,0)，

7,0),点M满足MF|-|MF|=2.记的迹为（）C的方程（T在线上，过的条直线分别于，两和，两点且|TB|=|TP|·|TQ|,2求直线的斜率与直线PQ斜率之和【答案】（）|2，轨𝐶为曲线右半支，𝑐

2

17，22，

2

1，

2

16，

2

．16（）𝑇(

12

,

，设𝐴：

，2

12121412111122111222112221′(1)联立12121412111122111222112221′(1)2116

，(16−21

2

1

2

11

2

2

16，1112

1

2

，1412

1

2

1

，√11√11

12

，2，2|⋅|1

2

12

2

2