2023年高考数学专题27二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题热点题型和提分秘籍理

专题27二元一次不等式〔组〕与简单的线性规划问题1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。热点题型一二元一次不等式(组)表示平面区域例1、(1)在平面直角坐标系xOy中，不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1≤x＋y≤3，,－1≤x－y≤1))表示图形的面积等于()A．1B．2C．3D．4(2)不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≥0，,x＋y－1≥0，,3x－y－3≤0))表示的平面区域为D，假设直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两局部，那么实数k的值是________。解析：(1)不等式组对应的平面区域如图，对应的区域为正方形ABCD，其中A(0,1)，D(1,0)，边长AD＝eq\r(2)，那么正方形的面积S＝eq\r(2)×eq\r(2)＝2，应选B。(2)区域D如图中的阴影局部所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个局部，那么直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可。【提分秘籍】平面区域面积问题的解题思路(1)求平面区域的面积：①首先画出不等式组表示的平面区域，假设不能直接画出，应利用题目的条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；②对平面区域进行分析，假设为三角形应确定底与高，假设为规那么的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解。假设为不规那么四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可。(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解。【举一反三】约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y－4≤0，,kx－y≤0))表示面积为1的直角三角形区域，那么实数k的值为()A．1B．－1C．0D．－2解析：先作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥1，,x＋y≤4))对应的平面区域，如图：热点题型二求线性目标函数的最值例2、【2023课标II，理5】设，满足约束条件，那么的最小值是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A(−6,−3)，那么z=2x+y的最小值是：−15.应选：A.【变式探究】设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x－y－1≤0，,x－3y＋3≥0，))那么z＝x＋2y的最大值为()A．8B．7C．2D．1【提分秘籍】利用可行域求线性目标函数最值的方法首先利用约束条件作出可行域，根据目标函数找到最优解时的点，解得点的坐标代入求解即可。【举一反三】设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y≥a，,x－y≤－1，))且z＝x＋ay的最小值为7，那么a＝()A．－5B．3C．－5或3D．5或－3答案：B热点题型三线性目标函数的最优解问题例3．x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0。))假设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，那么实数a的值为()A.eq\f(1,2)或－1B．2或eq\f(1,2)C．2或1D．2或－1解析：由线性约束条件可得其图象如下图，由图象可知直线z＝y－ax经过AB或AC时取得最大值的最优解不唯一，此时a＝2或－1。【提分秘籍】利用可行域及最优解求参数及其范围的方法利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用可解参数的值或范围。【举一反三】假设x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－1≥0，,x≥2x－2，,y≤2，))且z＝kx＋y取得最小值时的点有无数个，那么k＝()A．－1B．2C．－1或2D．1或－2解析：作出不等式组对应的平面区域如图(阴影局部)。由z＝kx＋y，得y＝－kx＋z，假设k＝0，此时y＝z，此时z只在B处取得最小值，不满足条件。假设k>0，那么目标函数的斜率－k<0。平移直线y＝－kx＋z，由图象可知当直线y＝－kx＋z和直线x＋y－1＝0平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个。此时－k＝－1，即k＝1。热点题型四求非线性目标函数的最值例4、(1)x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,2x－y－3≥0，))当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2eq\r(5)时，a2＋b2的最小值为()A．5B．4C.eq\r(5)D．2(2)实数x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>0，,4x＋3y≤4，,y≥0，))那么w＝eq\f(y＋1,x)的最小值是()A．－2B．2C．－1D．1解析：(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影局部所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2,1)处取得最小值，故2a＋b＝2eq\r(5)。(2)作出不等式组对应的平面区域如图：ω＝eq\f(y＋1,x)的几何意义是区域内的点P(x，y)到定点A(0，－1)之间的斜率，由图象可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时eq\f(y＋1,x)的最小值为eq\f(－1－0,0－1)＝1，应选D。【提分秘籍】利用可行域求非线性目标函数最值的方法画出可行域，分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题，依据几何意义可求得最值。【举一反三】eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0))，那么x2＋y2的最大值为________，最小值为________。解析：不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(7x－5y－23≤0，,x＋7y－11≤0，,4x＋y＋10≥0，))表示的平面区域为如下图△ABC的内部(包括边界)，此时z＝x2＋y2＝(－1)2＋(－6)2＝37，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋7y－11＝0，,4x＋y＋10＝0，))得C点坐标(－3,2)，此时z＝x2＋y2＝(－3)2＋22＝13，而在原点处，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))此时z＝x2＋y2＝02＋02＝0，所以当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝－6))时x2＋y2取得最大值37，当eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))时x2＋y2取得最小值0。热点题型五线性规划的实际应用例5、某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1600元/辆和2400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，那么租金最少为()A．31200元B．36000元C．36800元D．38400元平移直线l：y＝－eq\f(2,3)x到l0过点A(5,12)时，zmin＝5×1600＋2400×12＝36800.应选C。【提分秘籍】求解线性规划应用题的注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号。(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等。(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式。【举一反三】某公司生产甲、乙两种桶装产品。生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克，B原料1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的方案中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产方案，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A．1800元B．2400元C．2800元D．3100元1.【2023课标II，理5】设，满足约束条件，那么的最小值是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由解得A(−6,−3)，那么z=2x+y的最小值是：−15.应选：A.2.【2023天津，理2】设变量满足约束条件那么目标函数的最大值为〔A〕〔B〕1〔C〕〔D〕3【答案】D3.【2023山东，理4】x,y满足，那么z=x+2y的最大值是〔A〕0〔B〕2〔C〕5〔D〕6【答案】C【解析】由画出可行域及直线如下图，平移发现，当其经过直线与的交点时，最大为，选C.1.【2023高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影．由区域中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，那么│AB│=〔〕A．2B．4C．3D．【答案】C2.【2023年高考北京理数】假设，满足，那么的最大值为〔〕A.0B.3C.4【答案】CSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<03.【2023年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足那么p是q的()〔A〕必要不充分条件〔B〕充分不必要条件〔C〕充要条件〔D〕既不充分也不必要条件【答案】A【解析】画出可行域〔如下图〕，可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，应选A.4.【2023高考新课标3理数】假设满足约束条件那么的最大值为_____________.【答案】5.【2023高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,那么在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么 ①目标函数.二元一次不等式组①等价于 ②作出二元一次不等式组②表示的平面区域〔如图〕,即可行域.6.【2023高考江苏卷】实数满足，那么的取值范围是▲.【答案】【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为1.【2023高考北京，理2】假设，满足那么的最大值为〔〕A．0 B．1 C． D．2【答案】D2．【2023高考广东，理6】假设变量，满足约束条件那么的最小值为〔〕A．B.6C.D.4【答案】C【解析】不等式组对应的平面区域如图：由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，那么由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，此时z最小，由，解得，即A〔1，〕，此时z=3×1+2×=，应选：B．3.【2023高考天津，理2】设变量满足约束条件，那么目标函数的最大值为()〔A〕3〔B〕4〔C〕18〔D〕40【答案】C4.【2023高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，那么该企业每天可获得最大利润为〔〕A．12万元B．16万元C．17万元D．18万元甲乙原料限额〔吨〕〔吨〕【答案】D当直线过点时，取得最大值，所以，应选D．5.【2023高考福建，理5】假设变量满足约束条件那么的最小值等于()A．B．C．D．2【答案】A6.【2023高考山东，理6】满足约束条件，假设的最大值为4，那么〔〕〔A〕3〔B〕2〔C〕-2〔D〕-3【答案】B【解析】不等式组在直角坐标系中所表示的平面区域如以下图中的阴影局部所示，假设的最大值为4，那么最优解可能为或，经检验，是最优解，此时；不是最优解.应选B.7.【2023高考新课标1，理15】假设满足约束条件，那么的最大值为.【答案】3【解析】作出可行域如图中阴影局部所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A〔1,3〕与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.8.【2023高考浙江，理14】假设实数满足，那么的最小值是．【答案】.9．【2023高考新课标2，理14】假设x，y满足约束条件，那么的最大值为____________．【答案】【考点定位】线性规划．10.【2023高考湖南，理4】假设变量，满足约束条件，那么的最小值为〔〕A.-7B.-1C.1D.2【答案】A.【解析】如以下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，的最小值是，应选A.11．〔2023·安徽卷〕x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≤0，,x－2y－2≤0，,2x－y＋2≥0.))假设z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，那么实数a的值为()A.eq\f(1,2)或－1B．2或eq\f(1,2)C．2或1D．2或－1【答案】D【解析】方法二：画出可行域，如图中阴影局部所示，z＝y－ax可变为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，那么由题意知l0∥AB或l0∥AC，故a＝－1或a＝2.12．〔2023·北京卷〕假设x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,kx－y＋2≥0，,y≥0，))且z＝y－x的最小值为－4，那么k的值为()A．2B．－2C.eq\f(1,2)D．－eq\f(1,2)13．〔2023·福建卷〕假设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋1≤0，,x＋2y－8≤0，,x≥0，))那么z＝3x＋y的最小值为________．【答案】1【解析】作出不等式组表示的平面区域(如下图)，把z＝3x＋y变形为y＝－3x＋z，那么当直线y＝3x＋z经过点(0，1)时，z最小，将点(0，1)代入z＝3x＋y，得zmin＝1，即z＝3x＋y的最小值为1.14．〔2023·广东卷〕假设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤1，,y≥－1，))且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，那么m－n＝()A．5B．6【答案】B【解析】此题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如下图．当目标函数线经过点A(－1，－1)时，z取得最小值；当目标函数线经过点B(2，－1)时，z取得最大值．故m＝3，n＝－3，所以m－n＝6.15．〔2023·湖南卷〕假设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y≤x，,x＋y≤4，,y≥k，))且z＝2x＋y的最小值为－6，那么k＝________.16．〔2023·全国卷〕设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y≥0，,x＋2y≤3，,x－2y≤1，))那么z＝x＋4y的最大值为________．【答案】5【解析】如下图，满足约束条件的可行域为△ABC的内部(包括边界),z＝x＋4y的最大值即为直线y＝－eq\f(1,4)x＋eq\f(1,4)z的纵截距最大时z的值．结合题意，当y＝－eq\f(1,4)x＋eq\f(1,4)z经过点A时，z取得最大值．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＝0，,x＋2y＝3，))可得点A的坐标为(1，1)，所以zmax＝1＋4＝5.17．〔2023·新课标全国卷Ⅰ]不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y≥1，,x－2y≤4))的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是()A．p2，p3B．p1，p2C．p1，p4D．p1，p3【答案】B18．〔2023·新课标全国卷Ⅱ]设x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－7≤0，,x－3y＋1≤0，,3x－y－5≥0，))那么z＝2x－y的最大值为()A．10B．8C．3D．2【答案】B【解析】不等式组表示的平面区域如图中的阴影局部所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.19．〔2023·山东卷〕x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－1≤0，,2x－y－3≥0，))当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2eq\r(5)时，a2＋b2的最小值为()A.5B.4C.eq\r(5)D.2【答案】B20．〔2023·陕西卷〕在直角坐标系xOy中，点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．(1)假设eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，求|eq\o(OP,\s\up6(→))|；(2)设eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．【解析】解：(1)方法一：∵eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，(2)∵eq\o(OP,\s\up6(→))＝meq\o(AB,\s\up6(→))＋neq\o(AC,\s\up6(→))，∴(x，y)＝(m＋2n，2m＋n∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝m＋2n，,y＝2m＋n，))两式相减得，m－n＝y－x，令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.21．〔2023·天津卷〕设变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2≥0，,x－y－2≤0，,y≥1，))那么目标函数z＝x＋2y的最小值为()A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】画出可行域，如下图．解方程组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，,y＝1，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即点A(1，1)．当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin＝1×1＋2×1＝3.22．〔2023·浙江卷〕当实数x，y满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋2y－4≤0，,x－y－1≤0，,x≥1))时，1≤ax＋y≤4恒成立，那么实数a的取值范围是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(3,2)))1．假设2m＋2n<4，那么点(m，nA．直线x＋y－2＝0的左下方B．直线x＋y－2＝0的右上方C．直线x＋2y－2＝0的右上方D．直线x＋2y－2＝0的左下方解析：因为2m＋2n≥2·eq\r(2m·2n)，所以4>2eq\r(2m·2n)，即2m＋n<4，所以m＋n<2，即m＋n－2<0，所以点(m，n)必在直线x＋y－2＝0的左下方。答案：A2．设变量x，y满足约束条件：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x,x＋2y≤2,x≥－2。))那么z＝x－3y的最小值为()A．－2B．－4C．－6D．－8解析：根据题意，画出可行域与目标函数线如下图，由图可知目标函数在点(－2,2)处取最小值－8。应选D。答案：D3．假设实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤2,y≤3,x＋y≥1，))，那么S＝2x＋y－1的最大值为()A．6B．4C．3D．2答案：A4．设z＝x＋y，其中实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y≥0,x－y≤0,0≤y≤k，))假设z的最大值为12，那么z的最小值为()A．－3B．－6C．3D．6解析：可行域如图：答案：B5．变量x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－1,x－y≥2,3x＋y≤14，))假设使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数个，那么实数a的取值集合是()A．{－3,0}B．{3，－1}C．{0,1}D．{－3,0,1}解析：作出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥－1,x－y≥2,3x＋y≤14))表示的区域如下图。由z＝ax＋y得：y＝－ax＋z。当－a＞0时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，a＝－1时，线段AC上的所有点都是最优解；当－a＜0时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出，当a＝3时，线段BC上的所有点都是最优解。应选B。答案：B6．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车。某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元。该公司合理方案当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝()A．4650元B．4700元C．4900元D．5000元解析：设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(10x＋6y≥72,x＋y≤12,2x＋y≤19,0≤x≤8，x∈N,0≤y≤7，x∈N))，目标函数z＝450x＋350y，画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4900元。答案：C7．设m>1，在约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥x,y≤mx,x＋y≤1))下，目标函数z＝x2＋y2的最大值为eq\f(2,3)，那么实数m的值为________。答案：2＋eq\r(3)8．实数x，y满足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1,x≤2x－1,x＋y≤4，))那么目标函数z＝eq\f(x＋4y＋5,x＋1)的最大值与最小值的和是________。解析：作出eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y≥1,y≤2x－1,x＋y≤4))表示的可行域，如图。把z＝eq\f(x＋4y＋5,x＋1)变形为z＝eq\f(x＋1＋4y＋4,x＋1)＝1＋eq\f(4y＋1,x＋1)，解得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，\f(7,3)))，C(3,1)，最大值为zmax＝1＋eq\f(4×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)＋1)),\f(5,3)＋1)＝6，最小值为zmin＝1＋eq\f(4×1＋1,3＋1)＝3，所以最大值与最小值的和为9。答案：99．x，y满足约束条件eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥0,x＋y≥1,y≥0，))那么x2＋4y2的最小值是________。答案：eq\f(4,5)10．画出不等式组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋5≥0,x＋y≥0,x≤3))表示的平面区域，并答复以下问题：(1)指出