2023年高考数学专题26含参不等式的存在性与恒成立问题黄金解题模板

专题26含参不等式的存在性与恒成立问题【高考地位】含参不等式的恒成立问题越来越受到高考命题者的青睐，由于新课标高考对导数应用的加强，这些不等式的恒成立问题往往与导数问题交织在一起，这在近年的高考试题中不难看出这个根本的命题趋势.解决这类问题的关键是揭开量词隐含的神秘面纱还函数问题本来面目，在高考中各种题型多以选择题、填空题和解答题等出现，其试题难度属高档题.【方法点评】方法一判别式法使用情景：含参数的二次不等式解题模板：第一步首先将所求问题转化为二次不等式；第二步运用二次函数的判别式对其进行研究讨论；第三步得出结论.例1设，当时，恒成立，求实数的取值范围.解得。综上可得实数的取值范围为.【点评】一般地，对于二次函数,有1〕对恒成立；2〕对恒成立.例2假设为二次函数，-1和3是方程的两根，.〔1〕求的解析式；〔2〕假设在区间上，不等式有解，求实数的取值范围.【答案】〔1〕；〔2〕.〔2〕∵在区间上，不等式有解，∴在区间上有解，故只需小于函数在区间上的最大值，由二次函数可知当时，函数取最大值5,∴实数的取值范围为考点：1、求二次函数解析式；2、不等式能成立问题.【方法点睛】此题首先考查二次函数解析式，函数类型求解析式时，可以采用待定系数法，第二问考查一元二次不等式的解法，对于一元二次不等式在给定区间上有解问题，可以采用别离参数法，转化为来求参数的取值范围，另外，对于不等式恒成立、能成立问题，都要寻求等价的转化关系来解题.【变式演练1】函数的定义域为R，求实数的取值范围。【答案】.【解析】由题设可将问题转化为不等式对恒成立，即有解得,所以实数的取值范围为.【变式演练2】：和是方程的两个实根，不等式对任意实数恒成立；：不等式有解，假设为真，为假，求的取值范围．【答案】当时，显然有解，当时，有解，当时，∵有解，∴，∴，∴不等式有解时，∴假时的范围为，②由①②可得的取值范围为．考点：命题真假性的应用方法二别离参数法使用情景：对于变量和参数可别离的不等式解题模板：第一步首先对待含参的不等式问题在能够判断出参数的系数正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数别离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式；第二步先求出含变量一边的式子的最值；第三步由此推出参数的取值范围即可得出结论.例3函数，假设在函数定义域内恒成立，那么的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】D考点：函数的恒成立问题．【方法点晴】此题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性、利用导数研究函数的极值与最值、恒成立的别离参数构造新函数等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及转化与化归思想，试题有一定的思维深度，属于中档试题，解答中根据函数的恒成立，利用别离参数法构造新函数，利用新函数的性质是解答的关键．含参不等式别离参数后的形式因题、因分法而异，因此解决含参不等式恒成立问题需把握住下述结论：〔1〕恒成立；〔2〕恒成立；〔3〕恒成立。〔4〕恒成立.【变式演练3】函数在上有意义，那么的取值范围是.【答案】．【变式演练4】假设关于的不等式对任意实数恒成立，那么实数的取值范围为〔〕A．B．C.D．【答案】A【解析】试题分析：由题意得，因为，那么，当且仅当，即时等号成立，又关于的不等式对任意实数恒成立，那么，即，解得，应选A.考点：根本不等式的应用；不等式的恒成立问题.方法二函数性质法使用情景：对于不能别离参数或别离参数后求最值较困难的类型解题模板：第一步首先可以把含参不等式整理成适当形式如、等；第二步从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值；第三步得出结论.例4函数，其中.假设在区间上，恒成立，求的取值范围.【答案】.【点评】对于不能别离参数或别离参数后求最值或确界较困难的问题，我们可以把含参不等式整理成适当形式如、等，然后从研究函数的性质入手，转化为讨论函数的单调性和极值.在解题过程中常常要用到如下结论：〔1〕如果有最小值，那么恒成立，恒成立；〔2〕如果有最大值，那么恒成立，恒成立.【变式演练5】函数．〔1〕记的极小值为，求的最大值；〔2〕假设对任意实数恒有，求的取值范围．【答案】〔1〕；〔2〕．〔2〕当时，恒成立，当时，，即，即令，当时，，当时，，故的最小值为，所以，故实数的取值范围是，，由上面可知恒成立，故在上单调递增，所以，即的取值范围是考点：极值的概念及导数的有关知识的综合运用．【变式演练6】设函数，假设时，，求的取值范围。【答案】【点评】函数、不等式、导数既是研究的对象，又是解决问题的工具。此题抓住这一重要的解题信息，将问题转化为在时恒成立，通过研究函数在上是不减函数应满足的条件，进而求出的范围。隐含条件对解题思路的获得，起到了十分重要的导向作用.【变式演练7】函数．〔1〕当时，求函数在点处的切线方程；〔2〕求函数的单调区间；〔3〕假设在上恒成立，求的取值范围．【答案】〔1〕〔2〕详见解析〔3〕【解析】试题分析：〔1〕由导数几何意义得为切线斜率，再根据点斜式求切线方程〔2〕求函数单调性，先求函数导数：，再根据导函数零点及符号变化规律，进行分类讨论：〔Ⅱ〕函数的定义域为：当时，恒成立，所以，在和上单调递增当时，令，即：，，所以，单调递增区间为，单调减区间为．〔Ⅲ〕因为在上恒成立，有在上恒成立．所以，令，那么．即时，当时，单调递增，当时，单调递减，所以，在上的最小值为又因为，所以恒成立综上知，的取值范围是考点：导数几何意义，利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立问题【高考再现】1.【2023天津理，8】函数设，假设关于x的不等式在R上恒成立，那么a的取值范围是〔A〕 〔B〕 〔C〕 〔D〕【答案】当时，(*)式为，，又〔当时取等号〕，〔当时取等号〕，所以，综上．应选A．【考点】不等式、恒成立问题【名师点睛】首先满足转化为去解决，由于涉及分段函数问题要遵循分段处理原那么，分别对的两种不同情况进行讨论，针对每种情况根据的范围，利用极端原理，求出对应的的范围.2.【2023天津文，8】函数设，假设关于的不等式在上恒成立，那么的取值范围是〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】【解析】【考点】1.分段函数；2.函数图形的应用；3.不等式恒成立.【名师点睛】一般不等式恒成立求参数1.可以选择参变别离的方法，转化为求函数最值的问题；2.也可以画出两边的函数图象，根据临界值求参数取值范围；3.也可转化为的问题，转化讨论求函数的最值求参数的取值范围.此题中的函数和都是比拟熟悉的函数，考场中比拟快速的方法是就是代入端点，画出函数的图象，快速准确，满足题意时的图象恒不在函数下方，当时，函数图象如下图，排除C,D选项；当时，函数图象如下图，排除B选项，3.【2023高考新课标1，理12】设函数=,其中a1，假设存在唯一的整数，使得0，那么的取值范围是〔〕(A)[-，1〕(B)[-，〕(C)[，〕(D)[，1〕【答案】D【考点定位】此题主要通过利用导数研究函数的图像与性质解决不等式成立问题4.【2023高考四川，文15】函数f(x)＝2x，g(x)＝x2＋ax(其中a∈R).对于不相等的实数x1，x2，设m＝，n＝，现有如下命题：①对于任意不相等的实数x1，x2，都有m＞0；②对于任意的a及任意不相等的实数x1，x2，都有n＞0；③对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝n；④对于任意的a，存在不相等的实数x1，x2，使得m＝－n.其中真命题有___________________(写出所有真命题的序号).【答案】①④【解析】对于①，因为f'(x)＝2xln2＞0恒成立，故①正确【考点定位】此题主要考查函数的性质、函数的单调性、导数的运算等根底知识，考查函数与方程的思想和数形结合的思想，考查分析问题和解决能提的能力.【名师点睛】此题首先要正确认识m，n的几何意义，它们分别是两个函数图象的某条弦的斜率，因此，借助导数研究两个函数的切线变化规律是此题的常规方法，解析中要注意“任意不相等的实数x1，x2”与切线斜率的关系与差异，以及“都有〞与“5.【2023高考新课标1卷】函数有两个零点.(I)求a的取值范围；(II)设x1,x2是的两个零点,证明：.【答案】试题解析;〔Ⅰ〕．〔i〕设,那么,只有一个零点．〔ii〕设,那么当时,；当时,．所以在上单调递减,在上单调递增．又,,取满足且,那么,故存在两个零点．〔iii〕设,由得或．假设,那么,故当时,,因此在上单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．假设,那么,故当时,；当时,．因此在单调递减,在单调递增．又当时,,所以不存在两个零点．综上,的取值范围为．考点：导数及其应用6.【2023高考山东理数】.〔I〕讨论的单调性；〔II〕当时，证明对于任意的成立.【答案】〔Ⅰ〕见解析；〔Ⅱ〕见解析〔1〕，，当或时，，单调递增；当时，，单调递减；〔2〕时，，在内，，单调递增；〔3〕时，，当或时，，单调递增；当时，，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.即对于任意的恒成立。考点：1.应用导数研究函数的单调性、极值；2.分类讨论思想.【名师点睛】此题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.此题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答此题，准确求导数是根底，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出.此题能较好的考查考生的逻辑思维能力、根本计算能力、分类讨论思想等.7.【2023高考江苏卷】函数.设.〔1〕求方程的根;〔2〕假设对任意,不等式恒成立，求实数的最大值；〔3〕假设，函数有且只有1个零点，求的值。【答案】〔1〕①0②4〔2〕1【解析】试题解析：〔1〕因为，所以.①方程，即，亦即，所以，于是，解得.②由条件知.〔2〕因为函数只有1个零点，而，所以0是函数的唯一零点.因为，又由知，所以有唯一解.令，那么，从而对任意，，所以是上的单调增函数，于是当，；当时，.因而函数在上是单调减函数，在上是单调增函数.下证.假设，那么，于是，又，且函数在以和为端点的闭区间上的图象不间断，所以在和之间存在的零点，记为.因为，所以，又，所以与“0是函数的唯一零点〞矛盾.假设，同理可得，在和之间存在的非0的零点，矛盾.因此，.于是，故，所以.考点：指数函数、根本不等式、利用导数研究函数单调性及零点【名师点睛】对于函数零点个数问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．但需注意探求与论证之间区别，论证是充要关系，要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数.8.【2023高考浙江理数】，函数F〔x〕=min{2|x−1|，x2−2ax+4a−2}，其中min{p，q}=〔I〕求使得等式F〔x〕=x2−2ax+4a−2成立的x〔II〕〔i〕求F〔x〕的最小值m〔a〕；〔ii〕求F〔x〕在区间[0,6]上的最大值M〔a〕.【答案】〔I〕；〔II〕〔i〕；〔ii〕．〔II〕〔i〕设函数，，那么，，考点：1、函数的单调性与最值；2、分段函数；3、不等式．【思路点睛】〔I〕根据的取值范围化简，即可得使得等式成立的的取值范围；〔II〕〔i〕先求函数和的最小值，再根据的定义可得；〔ii〕根据的取值范围求出的最大值，进而可得．9.【2023年高考四川理数】设函数f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.〔Ⅰ〕讨论f(x)的单调性；〔Ⅱ〕确定a的所有可能取值，使得在区间〔1，+∞〕内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).【答案】〔Ⅰ〕当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增；〔Ⅱ〕.【解析】试题解析：〔I〕<0，在内单调递减.由=0，有.此时，当时，<0，单调递减；当时，>0，单调递增.〔II〕令=，=.那么=.而当时，>0，所以在区间内单调递增.又由=0，有>0，从而当时，>0.考点：导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题.【名师点睛】此题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性，最值、解决恒成立问题，考查学生的分析问题解决问题的能力和计算能力．求函数的单调性，根本方法是求，解方程，再通过的正负确定的单调性；要证明函数不等式，一般证明的最小值大于0，为此要研究函数的单调性．此题中注意由于函数有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围．比拟新颖，学生不易想到．有一定的难度．10.【2023高考福建，文22】函数．(Ⅰ)求函数的单调递增区间；〔Ⅱ〕证明：当时，；〔Ⅲ〕确定实数的所有可能取值，使得存在，当时，恒有．【答案】(Ⅰ)；〔Ⅱ〕详见解析；〔Ⅲ〕．〔III〕由〔II〕知，当时，不存在满足题意．当时，对于，有，那么，从而不存在满足题意．当时，令，，那么有．由得，．【考点定位】导数的综合应用．【名师点睛】利用导数判断或求函数的单调区间，通过不等式或求解，但是要兼顾定义域；利用导数研究函数的单调性，再用单调性来证明不等式是函数、导数、不等式综合中的一个难点，解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或最值，从而证得不等式，注意与不等价，只是的特例，但是也可以利用它来证明，在2023年全国Ⅰ卷理科高考21题中，就是使用该种方法证明不等式；导数的强大功能就是通过研究函数极值、最值、单调区间来判断函数大致图象，这是利用研究根本初等函数方法所不具备的，而是其延续．【反应练习】1．【河南省中原名校2023-2023学年高二上学期第二次联考数学〔文〕试题】关于的不等式的解集为，那么实数的取值范围是〔〕A.B.C.D.【答案】B【解析】时，符合题意，时，关于的不等式的解集为，只需，综上可知实数的取值范围是，选B.2．【广西柳州高级中学、南宁市第二中学2023届高三上学期第二次联考】函数，，其中为自然对数的底数，假设存在实数，使成立，那么实数的值为〔〕A.B.C.D.【答案】A3．【四川省南充高级中学2023届高三上学期第三次检测数学〔文〕试题】函数，，假设对任意的，，都有成立，那么实数的取值范围是〔〕A.B.C.D.【答案】A点睛：此题考察导数的任意恒成立问题，先求的最大值为1，得，别离参数法得，通过双次求导得到，所以得到。4．【辽宁省凌源市实验中学、凌源二中2023届高三12月联考数学〔理〕试卷】函数，，假设对任意，均存在，使得成立，那么实数的取值范围为〔〕A.B.C.D.【答案】A【解析】的值域为，，那么在单调递减，那么的值域为，由题意，，所以，得，应选A。点睛：此题中首要要正确理解任意存在型的问题，得到的值域包含于的值域，然后两个值域的求解要求学生对函数图象性质掌握，为对数函数的绝对值函数，直接求出值域，为三次方函数，通过求导得到值域，通过包含关系，解出参数范围。5．【黑龙江省佳木斯市第一中学2023届高三上学期第五次调研数学〔文〕试题】为定义在上的可导函数，且恒成立，那么不等式的解集为〔〕A.B.C.D.【答案】A6．【浙江省名校协作体2023-2023学年高二上学期考试数学试题】函数，假设对任意恒成立，那么实数的取值范围是___．【答案】【解析】当时，f(x)=2x+1,f[f(x)]=4x+3不满足大于等于0恒成立，不符。当时，，令所以一定有负值，不满足大于等于0恒成立不符。当时，，令所以对称轴为，所以f(t)在单调递增，即即可，解得，填7．【江苏省苏北三市〔连云港、徐州、宿迁〕2023届高三年级第三次模拟考试】对于任意的，都有，那么实数的取值范围是____．【答案】(或)8．【四川省成都市第七中学2023届高三上学期一诊模拟数学理试卷】设函数对任意不等式恒成立，那么正数的取值范围是__________．【答案】9．【广东省百校联盟2023届高三第二次联考数学文试题】函数.〔1〕假设曲线在处的切线与轴垂直，求的最大值；〔2〕假设对任意的，都有，求的取值.【答案】(1)(2)【解析】〔1〕由，得，令，那么，可知函数在上单调递