2023年高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第7节离散型随机变量及其分布列学案理北师大版

第七节离散型随机变量及其分布列[考纲](教师用书独具)1.理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性.2.理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用．(对应学生用书第183页)[根底知识填充]1．随机变量的有关概念(1)将随机现象中试验(或观测)的每一个可能的结果都对应于一个数，这种对应称为一个随机变量．(2)离散型随机变量：随机变量的取值能够一一列举出来，这样的随机变量称为离散型随机变量．2．离散型随机变量分布列的概念及性质(1)概念：假设离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，以表格的形式表示如下：Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn此表称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列．有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n表示X的分布列．(2)分布列的性质①pi≥0，i＝1,2,3，…，n；②eq\o(∑,\s\up13(n),\s\do10(i＝1))pi＝1.3．超几何分布一般地，设有N件产品，其中有M(M≤N)件次品．从中任取n(n∈N)件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,M)C\o\al(n－k,N－M),C\o\al(n,N))(其中k为非负整数)．如果一个随机变量的分布列由上式确定，那么称X服从参数为N，M，n的超几何分布.[根本能力自测]1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)离散型随机变量的分布列中，各个概率之和可以小于1.()(2)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．()(3)如果随机变量X的分布列由下表给出，那么它服从两点分布．()X25P0.30.7(4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．()[答案](1)×(2)√(3)×(4)√2．袋中有3个白球，5个黑球，从中任取2个，可以作为随机变量的是()A．至少取到1个白球 B．至多取到1个白球C．取到白球的个数 D．取到的球的个数C[选项A、B是随机事件，选项D是确定的值，为2，并不随机；选项C是随机变量，可能取值为0,1,2.]3．(教材改编)设随机变量X的分布列如下表所示，那么p4的值是()X1234Peq\f(1,2)eq\f(1,4)eq\f(1,8)p4A．1 B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,4) D．eq\f(1,8)D[由分布列的性质，得eq\f(1,2)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,8)＋p4＝1，所以p4＝eq\f(1,8).]4．设随机变量X等可能取值1,2,3，…，n，如果P(X＜4)＝0.3，那么n＝________.10[由于随机变量X等可能取1,2,3，…，n，∴取到每个数的概率均为eq\f(1,n)，∴P(X＜4)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝eq\f(3,n)＝0.3，∴n＝10.]5．在含有3件次品的10件产品中任取4件，那么取到次品数X的分布列为________．P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)·C\o\al(4－k,7),C\o\al(4,10))，k＝0,1,2,3[由题意知，X服从超几何分布，其中N＝10，M＝3，n＝4，所以分布列为P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,3)·C\o\al(4－k,7),C\o\al(4,10))，k＝0,1,2,3.](对应学生用书第184页)离散型随机变量分布列的性质设离散型随机变量X的分布列为X01234P0.20.10.10.3m求：(1)2X＋1的分布列；(2)|X－1|的分布列．[解]由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，所以m＝0.3.首先列表为X012342X＋113579|X－1|10123从而由上表得两个分布列为(1)2X＋1的分布列2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)|X－1|的分布列|X－1|0123P0.10.30.30.3[规律方法]离散型随机变量分布列性质的应用1利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.2随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率.3假设X是随机变量，那么η＝2X＋1、η＝|X－1|仍然是随机变量，求它的分布列可先求出相应随机变量的值，再根据互斥事件概率加法求对应的事件概率，进而写出分布列.[跟踪训练]随机变量X的分布列如下：X－101Pabc其中a，b，c成等差数列，那么P(|X|＝1)＝________.eq\f(2,3)[由题意知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2b＝a＋c，,a＋b＋c＝1，))所以2b＋b＝1，那么b＝eq\f(1,3)，因此a＋c＝eq\f(2,3).所以P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝a＋c＝eq\f(2,3).]离散型随机变量分布列的求法(2023·山东高考节选)在心理学研究中，常采用比照试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过比照这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．(1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率；(2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．[解](1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M，那么P(M)＝eq\f(C\o\al(4,8),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,18).(2)由题意知X可取的值为0,1,2,3,4，那么P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(5,6),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(4,6)C\o\al(1,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(3,6)C\o\al(2,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(10,21)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(2,6)C\o\al(3,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(5,21)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(1,6)C\o\al(4,4),C\o\al(5,10))＝eq\f(1,42).因此X的分布列为X01234Peq\f(1,42)eq\f(5,21)eq\f(10,21)eq\f(5,21)eq\f(1,42)[规律方法]求离散型随机变量X的分布列的步骤：1找出随机变量X的所有可能取值xii＝1，2，3，…，n；2求出各个取值的概率PX＝xi＝pi；3列成表格并用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确.易错警示：1.求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率，在求解时，要注意计数原理、古典概型等知识的应用.2.离散型随机变量ξ要找全找对，并理解ξ取每一个值的含义.3.在求离散型随机变量ξ对应概率时，先求简单易求的复杂的最后用间接法.[跟踪训练](2023·青岛质检节选)某科技博览会展出的智能机器人有A，B，C，D四种型号，每种型号至少有4台．要求每位购置者只能购置1台某种型号的机器人，且购置其中任意一种型号的机器人是等可能的．现在有4个人要购置机器人．(1)在会场展览台上，展出方已放好了A，B，C，D四种型号的机器人各一台，现把他们排成一排表演节目，求A型与B型相邻且C型与D型不相邻的概率；(2)设这4个人购置的机器人的型号种数为ξ，求ξ的分布列．[解](1)4台机器人排成一排的情况有Aeq\o\al(4,4)种，A型与B型相邻且C型与D型不相邻的情况有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(2,2)，故所求的概率为P＝eq\f(A\o\al(2,2)A\o\al(2,2),A\o\al(4,4))＝eq\f(1,6).(2)由题意知ξ的所有可能取值为1,2,3,4，P(ξ＝1)＝eq\f(C\o\al(1,4),44)＝eq\f(1,64)，P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3)＋\f(1,2)C\o\al(2,4)C\o\al(1,4)C\o\al(1,3),44)＝eq\f(21,64)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(2,4)C\o\al(1,4)A\o\al(2,3),44)＝eq\f(9,16)，P(ξ＝4)＝eq\f(A\o\al(4,4),44)＝eq\f(3,32)，所以ξ的分布列为ξ1234Peq\f(1,64)eq\f(21,64)eq\f(9,16)eq\f(3,32)超几何分布为推动乒乓球运动的开展，某乒乓球比赛允许不同协会的运发动组队参加．现有来自甲协会的运发动3名，其中种子选手2名；乙协会的运发动5名，其中种子选手3名．从这8名运发动中随机选择4人参加比赛.(1)设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会〞，求事件A发生的概率；(2)设X为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X的分布列.【导学号：79140367】[解](1)由，有P(A)＝eq\f(C\o\al(2,2)C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(6,35).所以，事件A发生的概率为eq\f(6,35).(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X＝k)＝eq\f(C\o\al(k,5)C\o\al(4－k,3),C\o\al(4,8))(k＝1,2,3,4)．那么P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1,5)C\o\al(3,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,14)，P(X＝2)＝eq\f(C\o\al(2,5)C\o\al(2,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(3,7)，P(X＝3)＝eq\f(C\o\al(3,5)C\o\al(1,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(3,7)，P(X＝4)＝eq\f(C\o\al(4,5)C\o\al(0,3),C\o\al(4,8))＝eq\f(1,14).所以随机变量X的分布列为X1234Peq\f(1,14)eq\f(3,7)eq\f(3,7)eq\f(1,14)[规律方法]1.超几何分布描述的是不放回抽样问题，超几何分布的特征：1考察对象分两类；2各类对象中个体的个数；3从中抽取假设干个个体，考察抽取到的某类个体个数X的概率分布.2.超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型.[跟踪训练](2023·天津十二区县联考节选(一))某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每件一等品都能通过检测，每件二等品通过检测的概率为eq\f(1,2).现有10件产品，其中6件是一等品，4件是二等品．(1)随机选取3件产品，设至少有一件通过检测为事件A，求事件A的概率；(2)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为X，求X的分布列.【导学号：79140368】[解](1)P(A)＝1－eq\f(C\o\al(3,4),C\o\al(3,10))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(3)＝eq\f(239,240)，所以随机选取3件产品，至少有一件通过检测的概率为eq\f(239,240).(2)由题可知X可能取值为0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\f(C\o\al(3,4)C\o\al(0,6),C\o