2023年高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第5节古典概型学案理北师大版

第五节古典概型[考纲](教师用书独具)1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会计算一些随机事件所包含的根本领件数及事件发生的概率．(对应学生用书第178页)[根底知识填充]1．根本领件的特点(1)任何两个根本领件是互斥的．(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成根本领件的和．2．古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的根本领件只有有限个．(2)每个根本领件出现的可能性相等．3．如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个根本领件的概率都是eq\f(1,n)；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).4．古典概型的概率公式P(A)＝eq\f(A包含的根本领件的个数,根本领件的总数).[知识拓展]划分根本领件的标准必须统一，保证根本领件的等可能性．[根本能力自测]1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽〞属于古典概型，其根本领件是“发芽与不发芽〞．()(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面〞“一正一反〞“两个反面〞，这三个结果是等可能事件．()(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．()(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．()[答案](1)×(2)×(3)√(4)×2．(2023·全国卷Ⅲ)小敏翻开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，那么小敏输入一次密码能够成功开机的概率是()A．eq\f(8,15)B．eq\f(1,8)C．eq\f(1,15)D．eq\f(1,30)C[法一：∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，∴事件总数有15种．∵正确的开机密码只有1种，∴P＝eq\f(1,15).法二：所求概率为P＝eq\f(1,C\o\al(1,3)C\o\al(1,5))＝eq\f(1,15).]3．(2023·天津高考)有5支彩笔(除颜色外无差异)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，那么取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为()A．eq\f(4,5)B．eq\f(3,5)C．eq\f(2,5)D．eq\f(1,5)C[从5支彩笔中任取2支不同颜色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫、黄蓝、黄绿、黄紫、蓝绿、蓝紫、绿紫，共10种，其中取出的2支彩笔中含有红色彩笔的取法有红黄、红蓝、红绿、红紫，共4种，所以所求概率P＝eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).应选C．]4．从3名男同学，2名女同学中任选2人参加知识竞赛，那么选到的2名同学中至少有1名男同学的概率是________．eq\f(9,10)[所求概率为P＝1－eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(9,10).]5．(教材改编)同时掷两个骰子，向上点数不相同的概率为________．eq\f(5,6)[掷两个骰子一次，向上的点数共有6×6＝36种可能的结果，其中点数相同的结果共有6个，所以点数不同的概率P＝1－eq\f(6,6×6)＝eq\f(5,6).](对应学生用书第178页)简单古典概型的概率(1)(2023·佛山质检)袋中共有15个除了颜色外完全相同的球，其中有10个白球，5个红球．从袋中任取2个球，所取的2个球中恰有1个白球，1个红球的概率为()A．eq\f(5,21)B．eq\f(10,21)C．eq\f(11,21) D．1(2)(2023·全国卷Ⅱ)从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，那么抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为()A．eq\f(1,10)B．eq\f(1,5)C．eq\f(3,10)D．eq\f(2,5)(1)B(2)D[(1)从袋中任取2个球共有Ceq\o\al(2,15)＝105种取法，其中恰有1个白球，1个红球共有Ceq\o\al(1,10)Ceq\o\al(1,5)＝50种取法，所以所取的球恰有1个白球1个红球的概率为eq\f(50,105)＝eq\f(10,21).(2)从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图：根本领件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所以所求概率P＝eq\f(10,25)＝eq\f(2,5).应选D．][规律方法]1.求古典概型概率的步骤1判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；2分别求出根本领件的总数n与所求事件A中所包含的根本领件个数m；3利用公式PA＝eq\f(m,n)，求出事件A的概率.2.确定根本领件个数的方法：1根本领件较少的古典概型，用列举法写出所有根本领件时，可借助“树状图〞列举，以便做到不重、不漏.2利用计数原理、排列与组合的有关知识计算根本领件.[跟踪训练](1)(2023·武汉调研)假设同时掷两枚骰子，那么向上的点数和是6的概率为()【导学号：79140357】A．eq\f(1,6)B．eq\f(1,12)C．eq\f(5,36)D．eq\f(5,18)(2)(2023·山东高考)从分别标有1,2，…，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．那么抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是()A．eq\f(5,18)B．eq\f(4,9)C．eq\f(5,9)D．eq\f(7,9)(1)C(2)C[(1)同时掷两枚骰子出现的可能有6×6＝36种，其中向上的点数和是6的有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，共5种，所以所求概率P＝eq\f(5,36)，应选C．(2)法一：∵9张卡片中有5张奇数卡片，4张偶数卡片，且为不放回地随机抽取，∴P(第一次抽到奇数，第二次抽到偶数)＝eq\f(5,9)×eq\f(4,8)＝eq\f(5,18)，P(第一次抽到偶数，第二次抽到奇数)＝eq\f(4,9)×eq\f(5,8)＝eq\f(5,18).∴P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝eq\f(5,18)＋eq\f(5,18)＝eq\f(5,9).应选C．法二：依题意，得P(抽到的2张卡片上的数奇偶性不同)＝eq\f(5×4,C\o\al(2,9))＝eq\f(5,9).应选C．]复杂古典概型的概率某市A，B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生、2名女生，B中学推荐了3名男生、4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训．由于集训后队员水平相当，从参加集训的男生中随机抽取3人、女生中随机抽取3人组成代表队．(1)求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；(2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，求参赛女生人数不少于2人的概率．[解](1)由题意，参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(3,4),C\o\al(3,6)C\o\al(3,6))＝eq\f(1,100).因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－eq\f(1,100)＝eq\f(99,100).(2)设参赛的4人中女生有ξ人，ξ＝1,2,3.那么P(ξ＝2)＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(2,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(3,5)，P(ξ＝3)＝eq\f(C\o\al(3,3)C\o\al(1,3),C\o\al(4,6))＝eq\f(1,5).由互斥事件的概率加法公式可知，P(ξ≥2)＝P(ξ＝2)＋P(ξ＝3)＝eq\f(3,5)＋eq\f(1,5)＝eq\f(4,5)，故所求事件的概率为eq\f(4,5).[规律方法]解决关于古典概型的概率问题的关键是正确求出根本领件总数和所求事件中包含的根本领件数.1根本领件总数较少时，可用列举法把所有根本领件一一列出，但要做到不重复、不遗漏.2注意区分排列与组合，以及正确使用计数原理.3当所求事件含有“至少〞“至多〞或分类情况较多时，通常考虑用对立事件的概率公式PA＝1－Peq\x\to(A)求解.[跟踪训练](2023·山东高考)某儿童乐园在“六一〞儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图10­5­1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规那么如下：图10­5­1①假设xy≤3，那么奖励玩具一个；②假设xy≥8，那么奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶．假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．(1)求小亮获得玩具的概率；(2)请比拟小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．[解]用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，那么根本领件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．因为S中元素的个数是4×4＝16，所以根本领件总数n＝16.(1)记“xy≤3”为事件A，那么事件A包含的根本领件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．所以P(A)＝eq\f(5,16)，即小亮获得玩具的概率为eq\f(5,16).(2)记“xy≥8”为事件B，“3<xy<8”为事件C．那么事件B包含的根本领件数共6个，即(2,4)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，所以P(B)＝eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).事件C包含的根本领件数共5个，即(1,4)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以P(C)＝eq\f(5,16).因为eq\f(3,8)>eq\f(5,16)，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．古典概型与统计的综合应用(2023·长沙模拟(二)节选)某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如下表：质量指标值mm<185185≤m<205m≥205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如图10­5­2的频率分布直方图：图10­5­2(1)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%〞的规定？(2)在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率．[解](1)根据抽样调查数据，一、二等品所占比例的估计值为0.200＋0.300＋0.260＋0.090＋0.025＝0.875，由于该估计值小于0.92，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一、二等品至少要占全部产品92%〞的规定．(2)由频率分布直方图知，一、二、三等品的频率分别为0.375,0.5,0.125，故在样本中用分层抽样方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件．再从这8件产品中随机抽取4件，一、二、三等品都有的情形有2种：①一等品2件，二等品1件，三等品1件；②一等品1件，二等品2件，三等品1件．故所求的概率P＝eq\f(C\o\al(2,3)C\o\al(1,4)C\o\al(1,1)＋C\o\al(1,3)C\o\al(2,4)C\o\al(1,1),C\o\al(4,8))＝eq\f(3,7).[规律方法]求解古典概型与统计交汇问题的思路1依据题目的直接描述或频率分布表、频率分布直方图、茎叶图等统计图表给出的信息，提炼出需要的信息.2进行统计与古典概型概率的正确计算.[跟踪训练]海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测．地区ABC数量50150100(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)假设在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率.【导学号：79140358】[解](1)因为样本容量与总体中的个体数的比是eq\f(6,50＋150＋100)＝eq\f(1,50)，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是50×