2023年高考数学命题角度2.4应用正弦定理和余弦定理解实际问题大题狂练理

命题角度2.4：应用正弦定理和余弦定理解实际问题1.如图，某公司要在A,B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长为80米，设A,B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为〔1〕假设α=30∘,β=〔2〕设计中CD是铅垂方向〔CD垂直于AB〕，假设要求α≥2β，问CD的长至多为多少？【答案】〔1〕115(3-1)2（米）；〔2〕【解析】试题分析：〔1〕利用正弦定理求解即可；〔2〕利用三角函数的关系式建立不等式关系即可得到结论．2.某兴趣小组测量电视塔的高度〔单位：m〕，如下图，垂直放置的标杆的高度，仰角．〔1〕该小组已经测得一组的值，，请据此算出的值；〔2〕该小组分析假设干测得的数据后，发现适当调整标杆到电视塔的距离〔单位：〕，使与的差较大，可以提高测量精确度，假设电视塔高度为125m，问为多大时，最大？【答案】〔1〕米〔2〕当时，最大．【解析】试题分析：〔1〕在直角中，可得，在直角中可得，再根据，即可求解的值；〔2〕先用表示出和，再根据两角和的公式，求出，利用根本不是可知当时，有最大值，即可得到答案．试题解析：〔1〕由及，得，解得．因此，算出的电视塔的高度是124m．考点：解三角形的实际应用．3.某海轮以30公里/小时的速度航行，在点A测得海上面油井P在南偏东60∘，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东30∘，海轮改为北偏东60∘〔1〕求PC间的距离；〔2〕在点C测得油井的方位角是多少？【答案】〔1〕40；〔2〕40.【解析】试题分析：〔1〕在ΔABP中，根据正弦定理，求BP，再利用余弦定理算出PC的长，即可算出P,C两地间的距离；〔2〕根据内错角相等可证明CP//AB，从而可得出结论.4.如图，某生态园将一块三角形地的一角开辟为水果园，角为，的长度均大于200米，现在边界处建围墙，在处围竹篱笆.〔1〕假设围墙、总长度为200米，如何可使得三角形地块面积最大？〔2〕竹篱笆长为米，段围墙高1米，段围墙高2米，造价均为每平方米100元，假设，求围墙总造价的取值范围.【答案】〔1〕(米)，(米2)；〔2〕.【解析】试题分析：(1)设，利用题意列出面积的表达式，最后利用均值不等式求解最值即可，注意讨论等号成立的条件和实际问题的定义域；(2)利用题意结合正弦定理求得围墙造价的函数解析式，利用三角形的性质求得的范围即可求得造价的取值范围.试题解析：设(米)，那么,所以(米2)当且仅当时，取等号。即(米)，(米2)(2)由正弦定理，得故围墙总造价因为，所以，所以围墙总造价的取值范围为(元)5.如图，有一码头和三个岛屿，，，.〔1〕求两个岛屿间的距离；〔2〕某游船拟载游客从码头前往这三个岛屿游玩，然后返回码头.问该游船应按何路线航行，才能使得总航程最短？求出最短航程.【答案】〔1〕〔2〕〔2〕因为，所以，在中，，由余弦定理得，，根据“两点之间线段最短〞可知，最短航线是“〞或“〞，其航程为.所以应按航线“〞或“〞航行，其航程为.6.如图，是一块半径为，圆心角为的扇形空地.现决定在此空地上修建一个矩形的花坛，其中动点在扇形的弧上，记.(1)写出矩形的面积与角之间的函数关系式；(2)当角取何值时，矩形的面积最大？并求出这个最大面积.【答案】〔1〕〔2〕时，S取得最大值【解析】试题分析：(1)由，；(2)化简得.再由当时，矩形CDEF的面积S取得最大值.试题解析：(1)因为：，

所以，，所以，.(2)

=.

因为，

所以，

所以当，即时，矩形CDEF的面积S取得最大值.【点睛】此题的主要步骤有：利用三角函数的定义求得,再由矩形的面积公式求得函数；利用三角恒等变换化简函数的表达式；利用正弦函数图像求得最值.7.如下列图，为对某失事客轮进行有效援助，现分别在河岸选择两处、用强光柱进行辅助照明，其中、、、在同一平面内．现测得长为100米，，，，．〔1〕求△的面积；〔2〕求船的长．【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】〔2〕由题意，，，在△中，，即，∴，在△中，，在△中，．故船长为米．考点：正、余弦定理的应用．8.如图，某城市有一条公路从正西方通过市中心后转向东偏北角方向的．位于该市的某大学与市中心的距离，且．现要修筑一条铁路，在上设一站，在上设一站，铁路在局部为直线段，且经过大学．其中，，．〔Ⅰ〕求大学与站的距离；〔Ⅱ〕求铁路段的长．【答案】〔Ⅰ〕；〔Ⅱ〕．【解析】试题分析：〔Ⅰ〕在中，利用及余弦定理即可解得的值；〔Ⅱ〕由，且为锐角，可求，由正弦定理可得，结合，可求，，，结合，由正弦定理即可解得的值．〔II〕∵，且为锐角，∴，在中，由正弦定理得，，即，∴，∴，∴，∵，∴，，∴，又，∴，在中，，由正弦定理得，，即，∴，即铁路段的长为．考点：1、正弦定理，余弦定理；2、同角三角函数关系式，诱导公式的应用．9.如下图，是某海湾旅游区的一角，为营造更加优美的旅游环境，旅游区管委会决定建立面积为平分千米的三角形主题游戏乐园，并在区域建立水上餐厅.，.〔1〕设，，用表示，并求的最小值；〔2〕设〔为锐角〕，当最小时，用表示区域的面积，并求的最小值.【答案】(1);(2)S=,8－.试题解析：〔1〕由S△ACB＝AC·BC·sin∠ACB＝4得，BC＝，在△ACB中，由余弦定理可得，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB即y2＝x2＋＋16，所以y＝y＝≥＝4，当且仅当x2＝，即x＝4时取等号．所以当x＝4时，y有最小值4．〔2〕由〔1〕可知，AB＝4，AC＝BC＝4，所以∠BAC＝30°，在△ACD中，由正弦定理，CD＝＝＝，在△ACE中，由正弦定理，CE＝＝＝，所以，S＝CD·CE·sin∠DCE＝＝．因为θ为锐角，所以当θ＝时，S有最小值8－4．10.某学校的平面示意图为如下列图五边形区域，其中三角形区域为生活区，四边形区域为教学区，为学校的主要道路〔不考虑宽度〕..〔1〕求道路的长度；〔2〕求生活区面积的最大值．【答案】〔1〕;〔2〕.【解析】试题分析：(1)连接BD，由余弦定理可得BD，由可求