2023年高考数学二轮复习专题03函数的应用讲学案文

专题03函数的应用求方程的根、函数的零点的个数问题以及由零点存在性定理判断零点是否存在，利用函数模型解决实际问题是高考的热点；备考时应理解函数的零点，方程的根和函数的图象与x轴的交点的横坐标的等价性；掌握零点存在性定理．增强根据实际问题建立数学模型的意识，提高综合分析、解决问题的能力．1．函数的零点与方程的根(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)函数的零点与方程根的关系函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．(3)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0,这个c也就是方程f(x)＝0的根．注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．(4)二分法求函数零点的近似值，二分法求方程的近似解．2．应用函数模型解决实际问题的一般程序eq\f(读题,文字语言)⇒eq\f(建模,数学语言)⇒eq\f(求解,数学应用)⇒eq\f(反应,检验作答)与函数有关的应用题，经常涉及到物价、路程、产值、环保等实际问题，也可涉及角度、面积、体积、造价的最优化问题．解答这类问题的关键是确切的建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答．3．在求方程解的个数或者根据解的个数求方程中的字母参数的范围的问题时，数形结合是根本的解题方法，即把方程分拆为一个等式，使两端都转化为我们所熟悉的函数的解析式，然后构造两个函数f(x)，g(x)，即把方程写成f(x)＝g(x)的形式，这时方程根的个数就是两个函数图象交点的个数，可以根据图象的变化趋势找到方程中字母参数所满足的各种关系.考点一函数的零点判断例1、(1)函数f(x)＝ex＋eq\f(1,2)x－2的零点所在的区间是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))C．(1,2)D．(2,3)(2)偶函数y＝f(x)，x∈R满足：f(x)＝x2－3x(x≥0)，假设函数g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,－\f(1,x)，x<0，))那么y＝f(x)－g(x)的零点个数为()A．1B．3C．2D．4【答案】(1)B(2)B【方法技巧】函数零点的求法(1)判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理判断；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．(2)函数的零点个数求解参数范围，可以利用数形结合思想转化为函数图象交点个数；也可以利用函数方程思想，构造关于参数的方程或不等式进行求解．(3)对于给定的函数不能直接求解或画出图形，常会通过分解转化为两个函数图象，然后数形结合，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【变式探究】设f(x)＝lnx＋x－2，那么函数f(x)的零点所在的区间为()A．(0,1)B．(1,2)C．(2,3)D．(3,4)【解析】选B法一：∵f(1)＝ln1＋1－2＝－1<0，f(2)＝ln2>0，∴f(1)·f(2)<0，∵函数f(x)＝lnx＋x－2的图象是连续的，∴函数f(x)的零点所在的区间是(1,2)．法二：函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)＝lnx，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在的范围，如下图，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)．考点二、二次函数的零点例2、函数f(x)＝x2＋ax＋2，a∈R.(1)假设不等式f(x)≤0的解集为[1,2]，求不等式f(x)≥1－x2的解集；(2)假设函数g(x)＝f(x)＋x2＋1在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围．eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋5>0，,2a＋11>0，,－8<a<－4，,a<－2\r(6)或a>2\r(6)，))解得－5<a<－2eq\r(6).所以实数a的取值范围是(－5，－2eq\r(6))．【方法技巧】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组．【变式探究】f(x)＝x2＋(a2－1)x＋(a－2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围．解：设方程x2＋(a2－1)x＋(a－2)＝0的两根分别为x1，x2(x1<x2)，那么(x1－1)(x2－1)<0，即x1x2－(x1＋x2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a－2)＋(a2－1)＋1<0，即a2＋a－2<0，∴－2<a<1.故实数a的取值范围为(－2,1)．考点三、函数的实际应用例3、【2023高考四川文科】某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发奖金投入.假设该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，那么该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2023年(B)2023年(C)2023年(D)2023年【答案】B【方法技巧】解决函数实际应用题的两个关键点(1)认真读题，缜密审题，准确理解题意，明确问题的实际背景，然后进行科学地抽象概括，将实际问题归纳为相应的数学问题．(2)要合理选取参变量，设定变量之后，就要寻找它们之间的内在联系，选用恰当的代数式表示问题中的关系，建立相应的函数模型，最终求解数学模型使实际问题获解．【变式探究】某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌的汽车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)，假设该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，那么能获得的最大利润是()A．10.5万元B．11万元C．43万元D．43.025万元【解析】选C设公司在A地销售该品牌的汽车x辆，那么在B地销售该品牌的汽车(16－x)辆，所以可得利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(21,2)))2＋0.1×eq\f(212,4)＋32.因为x∈[0,16]且x∈N，所以当x＝10或11时，总利润取得最大值43万元．【举一反三】(2023·四川卷)某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发资金投入．假设该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，那么该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30)A．2023年B．2023年C．2023年D．2023年【答案】B1.【2023北京，文8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080．那么以下各数中与最接近的是〔参考数据：lg3≈0.48〕〔A〕1033〔B〕1053〔C〕1073〔D〕1093【答案】D【解析】设，两边取对数，，所以，即最接近，应选D.2.【2023江苏，14】设是定义在且周期为1的函数，在区间上,其中集合，那么方程的解的个数是▲.【答案】8【解析】由于，那么需考虑的情况，在此范围内，且时，设，且互质，假设，那么由，可设，且互质，因此，那么，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此，3.【2023江苏，11】函数,其中e是自然数对数的底数.假设,那么实数的取值范围是▲.【答案】【解析】因为，所以函数是奇函数，因为，所以数在上单调递增，又，即，所以，即，解得，故实数的取值范围为．1.【2023高考山东文数】假设函数的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，那么称具有T性质.以下函数中具有T性质的是〔〕〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】A【解析】当时，，，所以在函数图象存在两点使条件成立，故A正确；函数的导数值均非负，不符合题意，应选A.2.【2023高考山东文数】函数f(x)的定义域为R.当x＜0时，f(x)=x3-1；当-1≤x≤1时，f(-x)=—f(x)；当x＞时，f(x+)=f(x—).那么f(6)=〔〕〔A〕-2〔B〕-1〔C〕0〔D〕2【答案】D3.【2023高考四川文科】某公司为鼓励创新，方案逐年加大研发奖金投入.假设该公司2023年全年投入研发资金130万元，在此根底上，每年投入的研发资金比上一年增长12％，那么该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是()(参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30)(A)2023年(B)2023年(C)2023年(D)2023年【答案】B【解析】设从2023年开始第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由得，两边取常用对数得应选B.20.【2023高考北京文数】函数的最大值为_________.【答案】2【解析】，即最大值为2.21.【2023高考天津文数】函数在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，那么的取值范围是_________.【答案】【解析】由函数在R上单调递减得，又方程恰有两个不相等的实数解，所以，因此的取值范围是.22.【2023高考上海文科】R，函数=.〔1〕当 时，解不等式>1；〔2〕假设关于的方程+=0的解集中恰有一个元素，求的值；〔3〕设>0，假设对任意，函数在区间上的最大值与最小值的差不超过1，求的取值范围.【答案】〔1〕．〔2〕或．〔3〕．【解析】即，对任意成立．因为，所以函数在区间上单调递增，所以时，有最小值，由，得．故的取值范围为．1.【2023高考安徽，文14】在平面直角坐标系中，假设直线与函数的图像只有一个交点，那么的值为.【答案】【解析】在同一直角坐标系内，作出的大致图像，如以下图：由题意，可知2.【2023高考湖北，文13】函数的零点个数为_________.【答案】2.3.【2023高考湖南，文14】假设函数有两个零点，那么实数的取值范围是_____.【答案】4.【2023高考山东，文10】设函数，假设，那么()〔A〕〔B〕〔C〕(D)【答案】D【解析】由题意，由得，或，解得，应选D.5.【2023高考上海，文21】〔本小题14分〕此题共2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图，三地有直道相通，千米，千米，千米.现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为〔单位：千米〕.甲的路线是，速度为5千米/小时，乙的路线是，速度为8千米/小时.乙到达地后原地等待.设时乙到达地.〔1〕求与的值；〔2〕警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当时，求的表达式，并判断在上得最大值是否超过3？说明理由.【答案】〔1〕，千米；〔2〕超过了3千米.所以.所以当时,，故的最大值超过了3千米.6.【2023高考四川，文8】某食品的保鲜时间(单位：小时)与储藏温度(单位：℃)满足函数关系(为自然对数的底数，为常数).假设该食品在℃的保鲜时间是小时，在℃的保鲜时间是小时，那么该食品在℃的保鲜时间是()(A)16小时(B)20小时(C)24小时(D)21小时【答案】C【解析】由题意，得，于是当x＝33时，y＝e33k＋b＝(e11k)3·eb＝×192＝24(小时)1．〔2023·湖南卷〕函数f(x)＝x2＋ex－eq\f(1,2)(x<0)与g(x)＝x2＋ln(x＋a)的图像上存在关于y轴对称的点，那么a的取值范围是()A．(－∞，eq\f(1,\r(e)))B．(－∞，eq\r(e))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,\r(e))，\r(e)))D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\r(e)，\f(1,\r(e))))【答案】B2．〔2023·天津卷〕函数f(x)＝|x2＋3x|，x∈R.假设方程f(x)－a|x－1|＝0恰有4个互异的实数根，那么实数a的取值范围为________．【答案】(0，1)∪(9，＋∞)【解析】在同一坐标系内分别作出y＝f(x)与y＝a|x－1|的图像如下图．当y＝a|x－1|与y＝f(x)的图像相切时，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－ax＋a＝－x2－3x，,a>0，))整理得x2＋(3－a)x＋a＝0，那么Δ＝(3－a)2－4a＝a2－10a＋9＝0，解得a＝1或a＝9.故当y＝a|x－1|与y＝f(x)的图像有四个交点时，0<a<1或a>9.3．〔2023·浙江卷〕函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，且0<f(－1)＝f(－2)＝f(－3)≤3，那么()A．c≤3B．3<c≤6C．6<c≤9D．c>9【答案】C4．〔2023·全国卷〕假设函数f(x)＝cos2x＋asinx在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))是减函数，那么a的取值范围是________．【答案】(－∞，2]【解析】f(x)＝cos2x＋asinx＝－2sin2x＋asinx＋1，令sinx＝t，那么f(x)＝－2t2＋at＋1.因为x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))，所以t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以f(x)＝－2t2＋at＋1，t∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).因为f(x)＝cos2x＋asinx在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，\f(π,2)))是减函数，所以f(x)＝－2t2＋at＋1在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))上是减函数，又对称轴为x＝eq\f(a,4)，∴eq\f(a,4)≤eq\f(1,2)，所以a∈(－∞，2]．5．〔2023·福建卷〕假设函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1­1所示，那么以下函数图像正确的选项是()图1­1ABCD【答案】B6．〔2023·江西卷〕函数f(x)＝5|x|，g(x)＝ax2－x(a∈R)．假设f[g(1)]＝1，那么a＝()A．1B．2C．3D．－1【答案】A【解析】g(1)＝a－1，由f[g(1)]＝1，得5|a－1|＝1，所以|a－1|＝0，故a＝1.7．〔2023·辽宁卷〕a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，那么()A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a【答案】C【解析】因为0<a＝2－eq\f(1,3)<1，b＝log2eq\f(1,3)<0，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)>logeq\f(1,2)eq\f(1,2)＝1，所以c>a>b.8．〔2023·山东卷〕设集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{y|y＝2x，x∈[0，2]}，那么A∩B＝()A．[0，2]B．(1，3)C．[1，3)D．(1，4)【答案】C【解析】根据得，集合A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{y|1≤y≤4}，所以A∩B＝{x|1≤x＜3}．应选C.9．〔2023·山东卷〕实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，那么以下关系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y3【答案】D【解析】因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sinx＞siny，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)都不一定正确，应选D.10．〔2023·陕西卷〕以下函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)·f(y)〞的单调递增函数是()A．f(x)＝xeq\f(1,2)B．f(x)＝x3C．f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)D．f(x)＝3x【答案】B【解析】由于f(x＋y)＝f(x)f(y)，故排除选项A，C.又f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)为单调递减函数，所以排除选项D.11．〔2023·山东卷〕实数x，y满足ax＜ay(0＜a＜1)，那么以下关系式恒成立的是()A.eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)B.ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)C.sinx＞sinyD.x3＞y3【答案】D【解析】因为ax＜ay(0＜a＜1)，所以x＞y，所以sinx＞siny，ln(x2＋1)＞ln(y2＋1)，eq\f(1,x2＋1)＞eq\f(1,y2＋1)都不一定正确，应选D.12．〔2023·山东卷〕函数f(x)＝eq\f(1,\r(〔log2x〕2－1))的定义域为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))B．(2，＋∞)C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪(2，＋∞)D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))∪[2，＋∞)【答案】C【解析】根据题意得，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,〔log2〕2－1＞0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞0，,x＞2或x＜\f(1,2).))应选C.13．〔2023·福建卷〕假设函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图像如图1­1所示，那么以下函数图像正确的选项是()图1­1ABCD【答案】B【解析】由函数y＝logax的图像过点(3，1)，得a＝3.选项A中的函数为y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)，那么其函数图像不正确；选项B中的函数为y＝x3，那么其函数图像正确；选项C中的函数为y＝(－x)3，那么其函数图像不正确；选项D中的函数为y＝log3(－x)，那么其函数图像不正确．14．〔2023·广东卷〕假设等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，那么lna1＋lna2＋…＋lna【答案】5015．〔2023·辽宁卷〕a＝2－eq\f(1,3)，b＝log2eq\f(1,3)，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)，那么()A．a>b>cB．a>c>bC．c>a>bD．c>b>a【答案】C【解析】因为0<a＝2－eq\f(1,3)<1，b＝log2eq\f(1,3)<0，c＝logeq\f(1,2)eq\f(1,3)>logeq\f(1,2)eq\f(1,2)＝1，所以c>a>b.16．〔2023·天津卷〕函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的单调递增区间为()A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D．(－∞，－2)【答案】D【解析】要使f(x)单调递增，需有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4>0