2023年高考数学一轮复习考点一篇过专题38椭圆理

考点38椭圆〔1〕了解椭圆的实际背景，了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.〔2〕掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质.〔3〕了解椭圆的简单应用.〔4〕理解数形结合的思想.一、椭圆的定义平面上到两定点的距离的和为常数〔大于两定点之间的距离〕的点的轨迹是椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两个定点之间的距离叫做椭圆的焦距，记作.定义式：.要注意，该常数必须大于两定点之间的距离，才能构成椭圆.二、椭圆的标准方程焦点在轴上，；焦点在轴上，.说明：要注意根据焦点的位置选择椭圆方程的标准形式，知道之间的大小关系和等量关系：.三、椭圆的图形及其简单几何性质i)图形焦点在轴上焦点在轴上ii)标准方程几何性质范围顶点焦点对称性离心率椭圆，对称轴：轴，轴，对称中心：原点，，注意：求椭圆的标准方程的方法可以采用待定系数法，此时要注意根据焦点的位置选择椭圆的标准方程；也可以利用椭圆的定义及焦点位置或点的坐标确定椭圆的标准方程.求椭圆的离心率主要的方法有：根据条件分别求出与，然后利用计算求得离心率；或者根据条件建立关于的等量关系式或不等关系式，由此得到方程或不等式，通过解方程或不等式求解离心率的值或取值范围.四、必记结论1.设椭圆上任意一点，那么当时，有最小值b，P点在短轴端点处；当时，有最大值a，P点在长轴端点处．2.过焦点F1的弦AB，那么的周长为4a.考向一椭圆定义的应用1.椭圆定义的集合语言:往往是解决计算问题的关键，椭圆上的一点与两焦点所构成的三角形称为焦点三角形.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义和正弦定理、余弦定理.以椭圆上一点和焦点F1(－c，0)，F2(c，0)为顶点的中，假设，注意以下公式的灵活运用：〔1〕；〔2〕；〔3〕.2.解决椭圆的焦点位置求方程中的参数问题，应注意结合焦点位置与椭圆方程形式的对应关系求解.典例1F1，F2是椭圆的两个焦点，点P在椭圆上．〔1〕假设点P到焦点F1的距离等于1，那么点P到焦点F2的距离为________________；〔2〕过F1作直线与椭圆交于A，B两点，那么的周长为________________；〔3〕假设，那么点P到焦点F1的距离为________________．【答案】〔1〕3；〔2〕8；〔3〕．〔3〕在中，由余弦定理可得，即，由椭圆的定义可得，两式联立解得．1．P是椭圆eq\f(x2,5)＋eq\f(y2,4)＝1上的一点，F1和F2是椭圆的两个焦点，假设∠F1PF2＝30°，那么的面积为A．eq\f(16\r(3),3)B．4(2－eq\r(3))C．16(2＋eq\r(3)) D．16考向二求椭圆的标准方程求椭圆的方程有两种方法:〔1〕定义法.根据椭圆的定义，确定a2,b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程.〔2〕待定系数法.这种方法是求椭圆的方程的常用方法，其一般步骤是：第一步，做判断.根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是在y轴上，还是两个坐标轴都有可能〔这时需要分类讨论〕.第二步，设方程.根据上述判断设方程为或.第三步，找关系.根据条件，建立关于的方程组〔注意椭圆中固有的等式关系〕.第四步，得椭圆方程.解方程组，将解代入所设方程，即为所求.【注意】用待定系数法求椭圆的方程时，要“先定型，再定量〞，不能确定焦点的位置时，可进行分类讨论或把椭圆的方程设为.典例2椭圆以x轴和y轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的2倍,那么椭圆的方程为A.x24+y2=1B.y2C.x24+y2=1或y216+x24=1D.x24【答案】C2．离心率为，长轴长为的椭圆的标准方程是A．B．或C．D．或考向三椭圆的几何性质及应用1.与几何性质有关的问题要结合图形进行分析，即使不画出图形，思考时也要联想到图形.理解顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的根本量之间的关系，深挖出它们之间的联系，求解自然就不难了.2.椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率〔或离心率的取值范围〕有两种方法：〔1〕求出a,c，代入公式.〔2〕只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为a,c的齐次式，然后等式〔不典例3椭圆的方程为2x2＋3y2＝m，(m>0)，那么此椭圆的离心率为A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(3),3)C.eq\f(\r(2),2) D.eq\f(1,2)【答案】B【解析】由题意，得椭圆的标准方程为eq\f(x2,\f(m,2))＋eq\f(y2,\f(m,3))＝1，∴a2＝eq\f(m,2)，b2＝eq\f(m,3)，∴c2＝a2－b2＝eq\f(m,6)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(1,3)，即e＝eq\f(\r(3),3).应选B.3．椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，那么该椭圆的离心率的取值范围为A．B．C．D．1．方程x2+ky2=2A．(0C．(1，+∞) D．(0，1)2．椭圆2xA．2 B．2C．25 D．3．椭圆的一个焦点为抛物线y2=8x的准线与其对称轴的交点,且椭圆的离心率为12A．x212+y216=1 B．C．x248+y264=1 D．4．椭圆x2+my2=1的离心率e∈(12,1),那么实数mA．(0,34) B．(34,C．(0,34)∪(43,+∞) D．(34,1)∪5．椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,右顶点到直线x=aA．x22+y2=1 B．x2C．x24+y2=1 D．x26．对于常数m,n,“mn>0”是“方程mx2+ny2=1表示的曲线是椭圆〞的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．如图，椭圆x29+y24=1的左、右焦点分别为F1A．(-35C．(-2558．点M是椭圆x24+y2=1A．1 B．3C．2 D．49．F1,F2为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,过F2作椭圆的弦A．x24+C．x216+10．设P是椭圆x216+y212=1上一点,P到两焦点F1,FA．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 11．F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,点(1,22)在椭圆上,且点(-1,0)到直线PF2的距离为4A．x2+y24=1 B．x2C．x2+y22=1 D．x212．椭圆x24+y22=1的两个焦点是F1,F2,点P在该椭圆上,假设|PF1|-|PF2A．2 B．2C．22 D．313．椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右顶点、上顶点分别为A,B,坐标原点到直线AB的距离为433A．x28+y24=1 B．C．x216+y28=1 D．14．椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(A．(0,2-1) B．(22C．(0,22) D．(215．假设椭圆x2m+y216．F1,F2为椭圆的两个焦点,过F1且与椭圆的长轴垂直的直线交椭圆于A,B两点,假设为正三角形,那么椭圆的离心率为.17．F1,F2是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF18．如图,A,B分别为椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点,点19．设F1,F2分别是椭圆x225+y216=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),那么20．椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F121．设椭圆x24+y222．某宇宙飞船的运行轨道是以地球中心F为焦点的椭圆,测得近地点A距离地面mkm,远地点B距离地面nkm,地球半径为Rkm,关于这个椭圆有以下说法:①焦距长为n-m;②短轴长为(m+R)(n+R其中正确说法的序号为.23．求适合以下条件的椭圆的标准方程:(1)焦点分别为(0,-2),(0,2),经过点(4,32);(2)对称轴为坐标轴,经过点P(-6,0)和Q(0,8).24．P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,有一动点Q满足25．椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为22,椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为2.直线l:y=kx+m(1)求椭圆的方程;(2)假设线段AB中点的横坐标为m2,求k1．〔2023浙江〕椭圆的离心率是A． B．C． D．2．〔2023新课标III理〕椭圆C：的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线相切，那么C的离心率为A． B．C． D．3．〔2023新课标I〕设A，B是椭圆C：长轴的两个端点，假设C上存在点M满足∠AMB=120°，那么m的取值范围是A． B．C． D．4．〔2023新课标III理〕O为坐标原点，F是椭圆C：的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点.P为C上一点，且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.假设直线BM经过OE的中点，那么C的离心率为A．B．C．D．5．〔2023江苏〕如图，在平面直角坐标系中，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，两准线之间的距离为8．点在椭圆上，且位于第一象限，过点作直线的垂线，过点作直线的垂线．〔1〕求椭圆的标准方程；〔2〕假设直线，的交点在椭圆上，求点的坐标．〔注：椭圆的准线方程：〕变式拓展变式拓展1．【答案】B【解析】由题意知c＝1；|PF1|＋|PF2|＝2eq\r(5)，|F1F2|＝2，在中有：|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos30°＝|F1F2|2∴(|PF1|＋|PF2|)2－(2＋eq\r(3))|PF1|·|PF2|＝4，∴|PF1|·|PF2|＝16(2－eq\r(3))，的面积为S＝eq\f(1,2)|PF1|·|PF2|sin30°＝4(2－eq\r(3))．应选B.2．【答案】B【解析】由题意知，当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，．应选B．3．【答案】C．又因为，所以．应选C．考点冲关考点冲关1．【答案】D【解析】方程x2+y21k=22．【答案】A【解析】将椭圆的方程化为标准方程为x23+y22=1，那么a2=3,b3．【答案】B【解析】抛物线的准线方程为x=-2,故椭圆的左焦点坐标为(-2,0),显然椭圆的焦点在x轴上,且c=2.因为离心率为12,所以a=4,故b2=a2-c2=12,从而椭圆的方程为x216+4．【答案】C【名师点睛】椭圆的性质分两类:(1)与坐标系无关的,如轴长、焦距、离心率;(2)与坐标系有关的,如顶点坐标、焦点坐标.

5．【答案】A【解析】由题意知,ca=22a2c-a=2-2,解得a=2c=1,所以b6．【答案】B【解析】由mn>0,得m>0n>0

或m<0n<0.由方程mx2+ny27．【答案】A【解析】F1-5,0、那么PF1当∠F1P由点P在椭圆上，可得yP∴xP2-5+4-4点P的横坐标的取值范围是-应选A.8．【答案】A9．【答案】D【解析】由椭圆的定义知|AF1|+|BF1|+|AB|=4a=16,∴a=4.又ca=32,∴c=23,∴b2=42-(23)210．【答案】B【解析】由|PF1|+|PF2|=8,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1|=5,|PF2|=3.又|F1F2|=4,故满足|PF2|2+|F1F2|2=|PF1|2,故为直角三角形11．【答案】D【解析】设F2的坐标为(c,0)(c>0),那么kPF2=4c+1,故直线PF2的方程为y=4c+1(x-c),即4c+1x-y-4cc+1=0,点(-1,0)到直线PF解得c=1或c=-3(舍去),所以a2-b2=1.①又点(1,22)在椭圆E上,所以1a2+由①②可得a2=2,b2=1,12．【答案】A【解析】由椭圆的方程可知a=2,c=2,且|PF1|+|PF2|=2a=4,又|PF1|-|PF2|=2,所以|PF1|=3,|PF2|=1.又|F1F2|=2c=22,所以有|PF1|2=|PF2|2+|F1F2|2,即13．【答案】C14．【答案】D【解析】根据正弦定理得|P又asin∠PF1F2=所以|PF1|=e|PF2|.又|PF1|+|PF2|=e|PF2|+|PF2|=|PF2|·(e+1)=2a,所以|PF2|=2因为a-c<|PF2|<a+c,所以a-c<2ae+1所以1-ca<2e+1<1+ca,所以1-e<2e+1<1+e15．【答案】25或4【解析】由题意知c=1,当焦点在x轴上时,m-4=1,∴m=5，椭圆的方程为，那么椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为25;当焦点在y轴上时,4-m=1,那么m=3，椭圆的方程为，那么椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为4,∴椭圆上的一点到两个焦点的距离之和为25或4.【名师点睛】此题考查了椭圆的定义及标准方程,易错的原因是忽略了椭圆焦点位置对参数的影响.当椭圆焦点位置不确定时,一般要分类讨论.

16．【答案】3【解析】方法一：e=ca=2c2a=|F1F2||F1A|+|F2A|.因为为等边三角形,所以方法二：不妨设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),F1(c,0),F2(-c,0),由x=ca2=b2+c2x2a2+y2b2=1得|y|=b2a,即|AF1|=|BF1|=b2a,|AB|=2b217．【答案】3①式两端平方并把②③式代入,可得4c2+36=4a2,即a2-c2=9,即b2=9,故18．【答案】4【解析】是等腰直角三角形,而|OB|=a,过点P作PH⊥OB于点H,那么PH=OH=12OB=12所以其面积S=12|OB|×|PH|=12×a×12a=1故由题意可得14a2=4,解得a=4,故P由点P在椭圆上可得,2242+22b2=1,解得b2=19．【答案】15【解析】因为椭圆x225+y216=1中,a=5,b=4,所以c=3,得焦点为F1(-3,0),F2(3,0).根据椭圆的定义,得|PM|+|PF1|=|PM|+(2a-|PF2|)=10+(|PM|-|PF2|).因为|PM|-|PF2|≤|MF2|,当且仅当P在MF2的延长线上时等号成立,此时|PM|+|PF20．【答案】x【解析】由得c解得a∴x21．【答案】[-2,1]22．【答案】①③【解析】由题意,得n+R=a+c,m+R=a-c,可解得n-m=2c,a=m∴2b=2a2-c2=2(m+R)(n23．【解析】(1)因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为y2a2+x2b方法一:由椭圆的定义知,,所以a=6.又c=2,所以b=a2-c2=42,所以椭圆的标准方程为y方法二:因为所求椭圆过点(4,32),所以18a2+16b2=1.又a2-b2=c2=4,所以a2=36,b2=32,所以椭圆的标准方程为(2)由椭圆的几何性质可知,以坐标轴为对称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点,所以点P,Q分别是椭圆的短轴和长轴的一个端点,那么短半轴长b=6,长半轴长a=8,且短轴、长轴分别在x轴和y轴上,所以椭圆的标准方程为y264+设Q(x,y),那么OP=(-x2,-y2