寒假第07讲几何综合模型类k-x c答案版

寒假07几何综合——模型类（K-X-C-1ABCD36，E、F、G为各边中点，HAD A

（1）HADHHA（如左上图，那么阴影部分的面积就是AEF与ADG的面积之和，

8

14ABCD113，为36313.5 （2）BHHC可得

12

12

12

36

12

)136182

，

1BEBF1(1AB)(1BC)1364.5

S18SEBF184.513.5 MN如图，将大长方形的长的长度设为1，则AB 1，CD

112 所以MN111，阴影部分面积为(122436481

24 5(cm2) 23、O是长方形ABCD内一点OBC的面积是5cm2，OAB的面积是2cm2OBD的面积是多少OP OP由于ABCD是长方形所以

AOD

12

CABCD

12

SABD 则 ，所以 4ABCDPEF、GH，若PBD8PHCFPGAE的面积大多少平方分米？

EPFEPFEPF PHCFPGAE的面积差，BCFEABHG的面积差．如右上图，连接CPAP

12

SBDP

12

，

12

165ABCD的面积是12，正三角形BPC的面积是5，求阴影BPDPDPCACBD于OPOPODC，所以DPO与CPOSBPOSCPOSBPOSPDOSBPD

14

3

5326ABCD内部有一点OAOB16，等腰DOC的面积占长方形面积的18，那么阴影AOC的面积是多少？O O 先算出长方形面积，再用其一半减去DOC的面积(长方形面积的18)，再减去AOD的面积，即可求出AOC的面积．

1

，所以

2

又AOD与BOC的面积相等，它们的面积和等于长方形面积的一半，所以AOD的面积等于长1，4

1

2512.593.5

2 7ABCDEFAB、CDGEFcm2

的面积为15cm2BCG的面积恰好是梯形ABCD面积的

，则梯形ABCD的面积是EFG EFGEFG EFG如果可以求出ABG与CDGABCD那么就可以知道ADG的面积占梯形ABCD面积的多少，从而可以求出梯形ABCD的面积如图，连接CEDE．则SAEGSDEGSBEGSCEG，于是SAB

CDGSCDE要求CDEABCDABCDF点旋转180，变成一个平行四边从中容易看出CDE的面积为梯形ABCD的面积的一半．(也可以根据

12

ABC

12

，

12

12

12

那么，根据题意可知ADGABCD面积的1173ABCD15

100cm2

GECDE的面积占梯形面积的一半，那么ADG与BCG合起来占一半8、如图，正方形ABCD的边长为6，AE＝1.5，CF＝2．长方形EFGH的面积 DCDCAEGB连接DE，DF，则长方形EFGH的面积是三角形DEF面积的二倍。DEF的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积9ABCD中，直线CFABEDAFSADE1，求△BEF的CBCBECBE AC．SACFSACESAEFSABFS△BEFSAEF，∴SACES△BEF，即S△BEFSADE110EFABCDBC和腰CDDFFC，并且甲、乙、丙3个三角形ABCD的面积是32平方厘米．求图中阴影部分的面积． 乙F DFFCA到CDE到CDAE与CDADCE阴影部分的面积ADCE12所以阴影部分的面积乙的面积2设甲、乙、丙的面积分别为12份，梯形的面积为5份，从而阴影部分的面积325212.8(平方厘米)．11ADEF的面积16ADB的面积是3ACF4

方法 连接对角线AE∵ADEF是长方 ∴

12∴DBSADB3，FCSACF ∴BEDEDB5，CEFECF

∴

15116

∴SABC

132

C是EF

S△BCES△BCF52

S△ABC16342.512ABCDBEECCF2FDAHAHFGECBBEECCF2FD

1

， 1 △AD2BEAG2GE

4四边形

6四边形

1

1

， 2

1

3△

12四边形

△ 3△

6四边形

1

， 1 △

8四边形

24四边形

1

，所以空白部分的面积1111

2

四边形

四边形

所以阴影部分的面积是1 3四边形1:212，所以阴影面积与空白面积的比是12313、如图所示，三角ABCDAB边的中点EAC边上的一点AE3ECODCBE的交点CEO的面积为a平方厘米，BDO的面积为b平方厘米．且ba是2.5平方厘米，那么三ABC的面积是平方厘米．ADDbOa12

b

，14

a

BCO12

14

ba2.5SABC2.541014ABCDADBE43，BEEC23，且BOE的面积比AOD10米．梯形ABCD的面积 ODO 根据题意可知AD:BE:EC8:6:9，则SABD8， 3

10平方厘米，所以14

10

40又SBCD9615，所以 154075平方厘米

15ABCD2EC2DEFDG的中点．阴影部分的面积是多少平方FDFE FCDBFBFGxFGCDFCy那么DEF3

yxxyyxE 2x2y1，

xyx yl

3xy 比①式左边多2x0.5，有2x0.5x0.25y0.25y2y50.255 16AE和CFDDFDC且AD2DE．则两块地ACF和CFB的面积比 DFDFD F DFDFD F 方法 连接BD设△CED1△BEDxDFDCS△BDCS△BDF，即△BDFx1SADCSADF;又有AD2DESADCSADF2S△CDE2SABD2S△BDE2x，而SABDx122x；得x3，所以SACFS△CFB2213412．BD

S△

S△

2

x

y则有x1y22xy解得x3

: (22):(431)1:y

△

FFGBCAE于GCDDFEDDG1:1AD2DE，AGGEAFFB12ACFCFB的面积比AFFB12EB3MM MM 连接CEDE由于DQ、CPME彼此平行，所以四边形CDQP是梯形，且ME与该梯形的两个底平行，那么三角形QMEDEMPME与CEMPQM的面积与三角形CDE的面积相等．而三角形CDE的面积根据已知条件很容易求出来．ABCDAD5，BC7，AE5，EB3CDE．所以三角形PQM的面积为18ABC400，D、E、F143，HBC)A甲 甲 M 丙DEFDEDFEFABC的中位线，ABNAMCABC所以SSAMHN

200200SAMHN

S

1431400434MNO19、如图，长方形ABCD的面积是36，E是AD的三等分点，AE2ED，则阴影部分的面积MNOO O

如图，连接OEONND

:

12

:

1:1

12

OEDOM:MA

:

12

:

14

15

OEA

11

矩形

3，

6

31612.7 20ABCD的面积是56MNPQ33 33

5 MNP、QABCD的各边的平行线．易知交成中间的阴影正方形的边长为3厘米，面积等于9平方厘米．设MQDNAMPBNQCPSMNPQxxS则xS56xSDHDHAPESGRQDHAPESGRQ (法1)设SAEDS1SBGCS2SABFS3SDHCS4BD

12

，

12

，

12

，

12

BCDSS1

1

2同理SS1

．于是SSSS 2

注意到这四个三角形重合的部分是四块阴影角形没算的部分是四边形PQRS因此四块阴影PQRS的面积．(法22ABCD2FBCAMEBMF3NFC的面积分别为1420、12NDE如图，设上底为2a，下底为3aABEABFh

2014612ah6ah62

13ah1369，所以

129 23、如图，已知ABCD是梯形，AD∥BC，AD:BC1:2， : 1:3， 24cm FOhE FOhEFOE FOE09EMCABCD是梯形这个条件似乎可以用到梯形蝴蝶定理，ADEF内似乎也可以用到蝴蝶定理，然而经过试验可以发现这几个模型在这里都用不上，因为EF这两个点的位置不明确．再看题目中的条件SAOFSDOE13SBEF24cm2，ADE与ADFBEF则是BCF与BCEEF以及有同一条底边的两个三角形，EF分别作梯形底边的平行线．EFhBAD于ADE与ADF的面积之差．而ADE与ADFADADh1ADh，故2

1ADh2再看BEFBCF与BCEBCBCh1BCh2

1BCh2ADBC12BC2AD 所以 4

1BCh1ADh2

AOF24、如图，ABCD是一个四边形，M、N分别是AB、CD的中点．如果ASM、MTB与DSN的面积分别是6、7和8，且图中所有三角形的面积均为整数，则四边形ABCD的面积为 ASMNTASMNTASMNTBCMNACBD．MAB的中点，所以AMN与BMN而MTB比ASM1，所以MSN比MTN1；N是CD的中点，所以DMN的面积与CMN的面积相等，那么CTN的面积比DSN1，所以CTN9．假设MTNa，则MSNa1可知ASD的面积为a

BTC63aa1，3由于ADM的面积为ABDBCN的面积为BCD面积的一半，所以ADM与BCNABCD面积的一半，所以ADM与BCNBMDN 4866397aa18，得48632a1a a a1、3、7a7所以MTN7，MSNASDBTC8、6、9．ABCD的面积为6789260．小 本题中“且图中所有三角形的面积均为整数”这个条件是多余的25、直角边长分别为18厘米,10厘米的直角△ABC和直角边长分别为14厘米,4厘米的直角△ADE如图摆放．M为AE的中点，则△ACM的面积为 S△ACE＝S△ABC＋S△ABE－S△CBE＝18×10÷2＋18×4÷2－10×4÷2＝106(平方厘所以，S△ACM＝S△ACE÷2＝106÷2＝53(平方厘米26、如图4，在三角形ABC中，已知三角形ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是89、28、26，那么三角形DBE的面积是 ECE 根据题意可知SADCSADESDCE8928117所以BDADSBDCSADC2611729，那么SDBESADEBDAD29

892(901)2202197 27DBC中点，E是CD的中点，FACABC由①～⑥66ABCA③①②A③①②④⑥EDCFACAD2FEADADEF为梯形．ADEFAD2FE2=4．6412，②=⑤48，ADEF的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和，为844218有CEF与ADC的面积比为CE平方与CD所以ADCADEF面积的44，即为184244-1 DBC所以ABD与ADC而ABC的面积为ABDADC的面积和，即为242448平方厘米．ABC4828、如下图，在梯形ABCD中，AB与CD平行，且CD2AB，点E、F分别是AD和BC的中点，已知阴影四边形EMFN的面积是54平方厘米，则梯形ABCD的面积是 E EF可以确定其中各个角形之间的比例关系，应用比例即可求出梯形ABCD面积ABCDaS．则下底为2aEF1a2a3a 所以ABEFa3a23EFDC3a2a34 ABFEEFCD :

ABEF:EFDCa3a:3a2a5:7梯形

梯形

2 S梯形

5S，

梯形

7S

根据梯形蝴蝶定理，梯形ABFE内各三角形的面积之比为222323324669，所以9 9

95S3S

25 同理可得

97S

3S

91212

梯形

49 所以

S3S9S，由于 54平方厘米所以S54

210

29ABCaAFFC21EBDEFBC，交CD于G，求阴影部DEDEFGCAFFC21EFBCEFBCAFAC23AEF:SABC所以EFAEF:SABC3

:9EBDEGDBCEG1BC，EGEF1:234 2所以GF:EF1:4，可得 : 1:8，所以 : 1:18，那么 a

302的正方形两边长分别延长1和3，割出图中的阴影部分，求阴影部分的面积是多MMO

FNF ；EM NF5EM5

1 2

2 19S1

925 2

3 4 4 E4 E 连接OB414所以S△OEB431,所以OE:EA13,所以CECA58,由三角形相似可得阴影部分面积为85)225 32ABCD的面积为70EADF、GBC边上的三等分点，求阴影 EADF、GBC边上的三等分点，由此可以说明如果把长方形的长分成6份的话，EDAD3BFFGGC2份，大家能在图形中找到沙漏△EOD和△BOG

BD分成3557的最小公倍数)其中OD占15BH占14HOEB，则可知△BED的面积为704352BDHO占6则面积为35

333ABCDEADAFBEBD分别交于GHOEADEAF于OAH5cmHF3cmAGGOHGOHFCABDFABDFAHHF53，EAD中点，那么有OE:FD12，ABOE53103AGGOABOE1032AO1AF1534cmAG41040cm 341，EFABBDGC1FC3FGFG FGFG FH垂BCHGIBCI．CICHCGCF13，又因为CHHB，所以CICB16BI:BC61:65:6，所以 1155

35SABC14DEFABBC,CAAD2BD5AFFCS四边形DBEFSABEEFEFEFEF △ABC的面积已知，若知道△ABE的面积占△ABC的几分之几就可以计算出△ABE的面积．连接CD．ACDE∴S△ABE∵AD2，BD

∴SACD:SCDB2:

∴S△

5S△ABC514 36ABCD中，E、F分别为CD、AB边上的点，DEEC，FB2AFPMMNNQMNMGN MNMGN EADPQ于GEDC的中点，所以GPQDEECFB2AFAFDE23BFCE43PMMGAMMEAFDE23GNNQENNBECBF34于是PM2PGMN3PG3GQ36PGNQ4GQ4PG 所以PMMNNQ23647181053537AEFBDFBCDAE:BD=1:3,AEF1.求阴影部分的面积。AEFIAEFIJ CSVAIFSVBCIAF2:BC219VAEF1，SVBDFSVBDC9所以VAEF与VACE17SVACEADBCSVABCSVBCD