2023高考数学黄金100题系列第19题函数与方程问题的分析文

第19题函数与方程问题的分析I．题源探究·黄金母题【例1】，求证：〔1〕；〔2〕．【证明】〔1〕．〔2〕．精彩解读【试题来源】人教版A版必修1第82页复习参考题A组第7题．【母题评析】此题考查了指数幂运算的性质．【思路方法】逆用指数幂运算的性质解题．II．考场精彩·真题回放【例2】【2023高考江苏卷】设是定义在且周期为1的函数，在区间上，其中集合，那么方程的解的个数是．【答案】8【解析】由于，那么需考虑的情况在此范围内，且时，设，且互质．假设，那么由，可设，且互质，因此，那么，此时左边为整数，右边非整数，矛盾，因此，因此不可能与每个周期内对应的局部相等，只需考虑与每个周期的局部的交点，画出函数图象，图中交点除外其它交点横坐标均为无理数，属于每个周期的局部，且处，那么在附近仅有一个交点，一次方程解的个数为8．【例3】【2023高考辽宁卷】定义在上的函数满足：①；②对所有，且，有．假设对所有，，那么的最小值为〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】不妨令，那么．解法一：，即得，另一方面，当时，，符合题意，当时，，故．解法二：当时，，当时，，故．【命题意图】此题属于能力题，中等难度．在考查抽象函数问题、绝对值不等式、函数的最值等根底知识的同时，考查了考生的逻辑推理能力、运算能力、分类讨论思想及转化与化归思想．【考试方向】这类试题在考查题型上，通常根本以选择题或填空题的形式出现，难度较大．【难点中心】解答此题的关键，是利用分类讨论思想、转化与化归思想，逐步转化成不含绝对值的式子，得出结论．对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．III．理论根底·解题原理1．函数方程：含有未知函数的等式叫做函数方程，例如：都可称为函数方程．在高中阶段，涉及到函数方程有以下几个类型：〔1〕表示函数的某种性质：例如表达是偶函数；表达是周期为1的周期函数〔可详见“函数对称性与周期性〞一节〕．〔2〕可利用解方程组的思想解出涉及的函数的解析式：例如：，可用代替得，即．〔3〕函数方程也是关于变量的恒等式，所以通过对变量赋特殊值得到某些数的函数值．2．双变量函数方程的赋值方法：〔1〕对均赋特殊值，以得到某些点的函数值，其中有些函数值会对性质的推导起到关键作用，比方，在赋特殊值的过程中要注意所赋的值要符合函数定义域．〔2〕其中某一个变量不变，另一个赋特殊值，可得到单变量的恒等式，通常用于推断函数的性质．IV．题型攻略·深度挖掘【考试方向】这类试题在考查题型上，通常以选择题或填空题或解答题的形式出现，考查对根本初等函数及超越函数性质的理解，一般难度较大．【技能方法】常见函数所符合的函数方程：在填空选择题时可作为特殊的例子辅助处理，但是在解答题中不能用这些特殊的函数代表函数方程．抽象函数具体模型比例函数：正指数函数：当时，当时，幂函数：三角函数：【易错指导】由于抽象函数没有具体的函数解析式，构造时容易顾此失彼，忽略性质的背后可能还蕴涵着其他性质，结论背后可能还推论出其他结论．所以，在解题时一定要反复推敲，不断假设验证，或者索性先构造一个具体函数，然后隐去解析式来表达这个函数的性质，那么出现错题的可能性就小了许多．V．举一反三·触类旁通考向1求抽象函数的解析式〔值〕【例1】【2023东北三省三校第二次联合模拟考试】偶函数的定义域为，假设为奇函数，且，那么的值为〔〕A．-3B．-2C．2D．【答案】D【例2】函数满足：，对任意实数都有，那么〔〕A．B．C．D．【答案】B．【解析】由所求出发可考虑判断是否具备周期性，令，可得，即，∴，两式相加可得，那么可判定的周期为6，由可得：，即，由可得，那么，从而，∴，且．【例3】设角的终边在第一象限，函数的定义域为，且，当时，有，那么使等式成立的的集合为．【答案】．【例4】设函数的定义域为，，且对，都有，那么的解析式为________．【答案】．【解析】观察到右边的结构并非的轮换对称式，考虑其中一个变量不变，另一个变量赋值为1，那么时，①，时，②，那么求是关键，结合，可令，那么，代入到①②可得：，即，消去解得：．【跟踪练习】1．函数y=f(x)是偶函数，其图像与x轴有四个交点，那么方程f(x)=0的所有实根之和是()A．4B．2C．1D．【答案】D【解析】偶函数图像关于y轴对称，所以与x轴四个交点横坐标，两两关于y轴对称，即两两之和为零，所有实根之和为零，选D．2．【2023重庆第一次调研抽测】奇函数的定义域为．假设为偶函数，且，那么〔〕A．-2B．-1C．0D．1【答案】B3．是定义在上的函数，，且对任意的，都有，那么_________．【答案】．【解析】函数方程为“和→积〞的特点，抓住，可发现令，那么，∴可得：自变量间隔，，其函数值的和为0，∴将求和的式子两两一组，即：．4．【2023西省实验中学高三下学期模拟热身】定义在上的函数满足条件，且函数是偶函数，当时，〔〕，当时，的最小值为3，那么a的值等于〔〕A．B．eC．2D．1【答案】A【解析】因为函数是偶函数，所以，即．当时，．，有，函数在函数单减，在(单调递增．，解得，应选A．点睛：此题的难点是对于函数是偶函数的正确转化，应该得到．如果说是是偶函数，那么应得到．考向2抽象函数的性质〔奇偶性、单调性、周期性、对称性、最值等〕【例5】定义在的函数满足关系，当时，，假设，那么的大小关系为〔〕A．B．C．D．【答案】D．虑，，那么，因为，∴，从而，即，得到在单调递增，∴．【评注】此题在证明单调性时，因为考虑了中自变量的取值，所以只需考虑的单调性，缩小的范围使得判断的范围较容易．但也可将在中任取，但是在判断的范围会比拟复杂，可利用不等式的等价变形来证：假设，因为，且，由可得成立，从而．【例6】【2023山东聊城模拟】定义域为的函数，假设函数的图象如下图，给出以下命题：①；②函数在区间上单调递增；③当时，函数取得极小值；④方程与均有三个实数根．其中正确命题的个数是〔〕A．1B．2C．3D．【答案】C所以方程均有三个实数根．不正确；应选：C．【例7】【2023河北衡水模拟】定义在上的函数对任意都有，且函数的图象关于〔1，0〕成中心对称，假设满足不等式，那么当时，的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】D．【例8】【2023陕西西安长安区高三上学期质量检测】定义在区间上的函数满足，且当时，．〔1〕求的值；〔2〕证明：为单调增函数；〔3〕假设，求在上的最值．【答案】〔1〕f〔1〕=0．〔2〕见解析〔3〕最小值为﹣2，最大值为3．【解析】试题分析：〔1〕利用赋值法进行求的值；〔2〕根据函数的单调性的定义判断在上的单调性，并证明．〔3〕根据函数单调性的性质，并利用赋值法可得函数的最值．试题解析：〔1〕∵函数f〔x〕满足f〔x1•x2〕=f〔x1〕+f〔x2〕，令x1=x2=1，那么f〔1〕=f〔1〕+f〔1〕，解得f〔1〕=0．〔2〕证明：设x1，x2∈〔0，+∞〕，且x1＞x2，那么＞1，∴f〔〕＞0，∴f〔x1〕﹣f〔x2〕=f〔x2⋅〕﹣f〔x2〕=f〔x2〕+f〔〕﹣f〔x2〕=f〔〕＞0，即f〔x1〕＞f〔x2〕，∴f〔x〕在〔0，+∞〕上的是增函数．〔3〕∵f〔x〕在〔0，+∞〕上的是增函数．假设，那么f〔〕+f〔〕=f〔〕=﹣2，即f〔•5〕=f〔1〕=f〔〕+f〔5〕=0，即f〔5〕=1，那么f〔5〕+f〔5〕=f〔25〕=2，f〔5〕+f〔25〕=f〔125〕=3，即f〔x〕在上的最小值为﹣2，最大值为3．【点睛】此题主要考查函数单调性的定义和性质，以及抽象函数的求值，其中利用赋值法是解决抽象函数的根本方法，而利用函数的单调性的定义和单调性的应用是解决此题的关键．【跟踪练习】1．定义在上的函数满足：对于任意的，有，且时，有，设的最大值和最小值分别为，那么的值为〔〕A．B．C．D．【答案】D．【分析】由最值联想到函数的单调性，从而先考虑证明单调，令〔其中〕，那么可证明为增函数，从而，再利用函数方程求出的值即可2．函数是定义在上不恒为的函数，且对于任意的实数满足，，，考察以下结论：①；②为奇函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列．其中正确的个数为()A．B．C．D．【答案】D．【解析】考虑按照选项对函数方程中的进行赋值．①计算，令，可得；令，那么，∴，①正确；②使等式中出现，令，那么，需要计算出，结合方程可令，那么有，即，∴，为奇函数，②正确；③从等差数列定义出发，考虑递推公式，因为，所以可得：，从而判定为等差数列，③正确；④假设按照等比数列定义，考虑，那么不易于进行化简．可由③出发得到的表达式：，∴，即，∴，从而可判定是一个等比数列，④正确．3．【2023上海闵行二模】设函数的定义域是，对于以下四个命题：(1)假设是奇函数，那么也是奇函数；(2)假设是周期函数，那么也是周期函数；(3)假设是单调递减函数，那么也是单调递减函数；(4)假设函数存在反函数，且函数有零点，那么函数也有零点．其中正确的命题共有A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C4．函数对任意的均有，且当时，〔1〕求证：为奇函数；〔2〕求证：为上的增函数．【答案】〔1〕详见解析；〔2〕详见解析．【分析】试题分析：〔1〕要证明奇函数，那么需要出现在同一等式中，所以考虑令，那么有，再通过代入特殊值计算出即可；〔2〕思路：要证明单调递增，那么需任取，且，去证明与的大小，结合等式，那么需要让与分居等号的两侧，才能进行作差．所以考虑，进而．只需判断的符号即可．试题解析：〔1〕令，那么．令，那么解得，，为奇函数．〔2〕任取，且，令，代入方程可得：，，，，依题意可得：，即，为增函数．【评注】第〔2〕问将拆分为是此题证明的亮点，到达了让与分居等号的两侧的目的．5．设是定义在R上的偶函数，其图象关于直线对称，对任意，都有．〔1〕设，求；〔2〕证明是周期函数．【答案】〔1〕；〔2〕答案见解析．〔2〕证明：依题设关于直线对称，．又是偶函数，将上式中以代换，得．这说明是R上的周期函数，且2是它的一个周期．考向3解不等式【例9】【2023广西教育质量诊断性联合考试】定义在上的奇函数在上递减，假设对恒成立，那么的取值范围为〔〕A．B．C．D．【答案】C【点睛】此题关键步骤有：1．利用奇函数的性质可得在上是减函数；2．将原命题等价转化为在上恒成立；3．利用导数工具求得，从而求得正解．【例10】【2023四川南充高级中学4月检测】函数在定义域上的导函数为，假设方程无解，且，当在上与在上的单调性相同时，那么实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】A【解析】因为方程无解，所以函数为单调函数，因此由，得=m(m为常数)，即为单调增函数，因此在在上恒成立．，因此，选A．点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，即转化为方程或不等式解的问题〔有解，恒成立，无解等〕，而不等式有解或恒成立问题，又可通过适当的变量别离转化为对应函数最值问题．【例11】【2023陕西西安铁一中学高三上学期第五次模拟考试】偶函数在上为增函数，在不等式恒成立，那么实数的取值范围是〔〕A．B．C．D．【答案】C【解析】由偶函数可知，可知不等式恒成立，即恒成立，那么可得恒成立．即且恒成立．由根的判别式可得．故此题选C．点睛：此题主要考查函数的奇偶性与单调性．对于抽象函数不等式，一般根据函数的奇偶性将它转化为的形式，然后利用函数的单调性将抽象函数不等式转化成具体的不等式，但不能改变变量的定义域．对于奇函数，其图像关于原点中心对称，由图知其在关于原点对称的区间单调性相同；偶函数的图像关于轴对称，偶函数在关于原点对称的区间单调性相反．【例12】【2023江西南昌三模】定义域为的函数满足，当时，．假设存在，使得不等式成立，那么实数的取值范围是_______．【答案】【点睛】此题考查函数的解析式、抽象函数、函数与不等式，涉及函数与不等式思想、数形结合思想和转化化归思想，考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力，综合性较强，属于较难题型．先利用条件求，再利用数形结合思想观察图像求解不等式．【跟踪练习】1．【2023重庆一中5月考】函数，那么不等式的解集是〔〕A．B．C．D．【答案】B【解析】，所以函数是奇函数，，所以函数是单调递增函数，那么不等式等价于，应选B．【点睛】此题考查了利用函数性质，包括奇偶性，单调性，解抽象不等式，此题的出题意图比拟明显，重点是分析函数的性质，如果不用导数分析函数的单调性，也可以利用奇函数的性质，奇函数在对称区间的单调性一致，很明显，函数在为增函数，那在定义域内也是增函数，这样判断起来会更快，简便．2．函数的定