（精品讲义）3-1空间向量及其运算-副本word版含答案2

50/5151/51/eq\a\vs4\al(空间向量及其运算)3．1.1空间向量及其加减运算预习课本P84～85，思考并完成以下问题1．空间向量、零向量、单位向量、相反向量及相等向量的定义分别是什么？2．空间向量的加法和减法是怎样定义的？满足交换律及结合律吗？1．空间向量的有关概念(1)定义：在空间，把具有大小和方向的量叫做空间向量．(2)长度：向量的大小叫做向量的长度或模．(3)表示法：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(①几何表示法：空间向量用有向线段表示.,②字母表示法：用字母表示，若向量a,的起点是A，终点是B，则向量a也,可以记作，其模记为|a|或||.))2．几类特殊向量特殊向量定义表示法零向量长度为0的向量0单位向量模为1的向量|a|＝1或||＝1相反向量与a长度相等而方向相反的向量称为a的相反向量－a相等向量方向相同且模相等的向量a＝b或＝3.空间向量的加法和减法运算空间向量的运算加法＝＋＝a＋b加法Z＝－＝a－b运算律(1)交换律：a＋b＝b＋a；(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同()(2)零向量没有方向()(3)空间两个向量的加减法运算与平面内两向量的加减法运算完全一致()答案：(1)√(2)×(3)√2．化简－＋所得的结果是()A． B．C．0 D．答案：C3．在四边形ABCD中，若＝＋，则四边形ABCD的形状一定是()A．平行四边形 B．菱形C．矩形 D．正方形答案：A4．在空间中，把所有单位向量的起点移到一点，则这些向量的终点组成的图形是________．答案：球面空间向量的概念辨析[典例]下列说法中正确的是()A．若|a|＝|b|，则a，b的长度相同，方向相同或相反B．若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|C．空间向量的减法满足结合律D．在四边形ABCD中，一定有＋＝[解析]|a|＝|b|，说明a与b模相等，但方向不确定；对于a的相反向量b＝－a，故|a|＝|b|，从而B正确；只定义加法具有结合律，减法不具有结合律；一般的四边形不具有＋＝，只有在平行四边形中才能成立．故选B.[答案]B(1)两个向量的模相等，则它们的长度相等，但方向不确定，即两个向量(非零向量)的模相等是两个向量相等的必要不充分条件．(2)熟练掌握空间向量的有关概念、向量的加减法的运算法则及向量加法的运算律是解决好这类问题的关键．[活学活用]给出下列命题：①零向量没有确定的方向；②在正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝；③两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；④空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的序号是________．解析：①正确；②正确，因为与的大小和方向均相同；③错误，当两向量起点相同，终点相同时两向量相等，但两向量相等不一定起点相同，终点相同；④错误，单位向量只是它们的模相等，方向不一定相同．综上可知，正确命题为①②.答案：①②空间向量的加法、减法运算[典例]在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，化简－＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．[解]在六棱柱ABCDEF-A1B1C1D1E1F1中，四边形AA1F1F是平行四边形，所以＝.同理＝，＝，＝，所以－＋＋＋＝＋＋＋＋＝，如图．[一题多变]1．[变设问]若本例条件不变，化简＋＋＋，并在图中标出化简结果的向量．解：根据六棱柱的性质知四边形BB1C1C，DD1E1E都是平行四边形，所以＝，＝，所以＋＋＋＝＋＋＋＝＋＋＋＝.2．[变条件、变设问]若本例中的六棱柱是底面为正六边形的棱柱，化简－＋，并在图中标出化简结果的向量．解：因为六边形ABCDEF是正六边形，所以BC∥EF，BC＝EF，又因为E1F1∥EF，E1F1＝EF，所以BC∥E1F1，BC＝E1F1，所以BCE1F1是平行四边形，所以－＋＝＋＝.在进行减法运算时，可将减去一个向量转化为加上这个向量的相反向量，而在进行加法运算时，首先考虑这两个向量在哪个平面内，然后与平面向量求和一样，运用向量运算的平行四边形法则、三角形法则及多边形法则来求即可．层级一学业水平达标1．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则－＋＝()A．2 B．3C．3 D．2解析：选B－＋＝＋＝＋2＝3.2．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且＋＝＋，则四边形ABCD是()A．平行四边形 B．空间四边形C．等腰梯形 D．矩形解析：选A∵＋＝＋，∴＝.∴∥且||＝||.∴四边形ABCD为平行四边形．3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，下列各式的运算结果为向量的共有()①(＋)＋；②(＋)＋；③(＋)＋；④(＋)＋.A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选D根据空间向量的加法法则及正方体的性质，逐一判断可知①②③④都是符合题意的．4．空间四边形ABCD中，若E，F，G，H分别为AB，BC，CD，DA边上的中点，则下列各式中成立的是()A．＋＋＋＝0B．＋＋＋＝0C．＋＋＋＝0D．－＋＋＝0解析：选B由于E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA边上的中点，所以四边形EFGH为平行四边形，其中＝，且＝，而E，B，F，G四点构成一个封闭图形，首尾相接的向量的和为零向量，即有＋＋＋＝0.5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有()①＋与＋是一对相反向量；②－与－是一对相反向量；③＋＋＋与＋＋＋是一对相反向量；④－与－是一对相反向量．A．1个 B．2个C．3个 D．4个解析：选C利用图形及向量的运算可知②是相等向量，①③④是相反向量．6.如图所示，在三棱柱ABC-A′B′C′中，与是________向量，与是________向量(用“相等”“相反”填空)．答案：相等相反7．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，则＝________.解析：如图，＝－＝－＝－－(－)＝－c－(a－b)＝－c－a＋b.答案：－c－a＋b8．给出下列四个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若a，b满足|a|>|b|且a，b同向，则a>b；③不相等的两个空间向量的模必不相等；④对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为________．解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，向量是不能比较大小的，故不正确；对于③，不相等的两个空间向量的模也可以相等，故③错；只有④正确．答案：④9．如图，在长、宽、高分别为AB＝4，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCD-A1B1C1D1中，以八个顶点中的两点分别为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有多少个？(2)写出模为eq\r(5)的所有向量；(3)试写出的相反向量．解：(1)因为长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量，，，，，，，共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)因为长方体的左、右两侧的对角线长均为eq\r(5)，故模为eq\r(5)的向量有，，，，，，，.(3)向量的相反向量为，，，，共4个．10.如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)；(2)；(3).解：(1)∵P是C1D1的中点，∴＝＋＋＝a＋＋eq\f(1,2)＝a＋c＋eq\f(1,2)＝a＋c＋eq\f(1,2)b.(2)∵N是BC的中点，∴＝＋＋＝－a＋b＋eq\f(1,2)＝－a＋b＋eq\f(1,2)＝－a＋b＋eq\f(1,2)c.(3)∵M是AA1的中点，∴＝＋＝eq\f(1,2)＋＝－eq\f(1,2)a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋c＋\f(1,2)b))＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b＋c.层级二应试能力达标1．下列命题中，正确的个数为()①若a＝b，b＝c，则a＝c；②|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；③＝的充要条件是A与C重合，B与D重合．A．0 B．1C．2 D．3解析：选C①正确，∵a＝b，∴a，b的模相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的模相等且方向相同，∴a＝c.②正确，a＝b?|a|＝|b|，|a|＝|b|?/a＝b.③不正确，由＝，知||＝||，且与同向．故选C.2．已知空间中任意四个点A，B，C，D，则＋－等于()A． B．C． D．解析：选D法一：＋－＝(＋)－＝－＝.法二：＋－＝＋(－)＝＋＝.3．如果向量，，满足||＝||＋||，则()A．＝＋B．＝－－C．与同向D．与同向解析：选D∵||＝||＋||，∴A，B，C共线且点C在AB之间，即与同向．4．已知空间四边形ABCD中，＝a，＝b，＝c，则等于()A．a＋b－c B．－a－b＋cC．－a＋b＋c D．－a＋b－c解析：选C＝＋＋＝－＋＝b－a＋c＝－a＋b＋c.5．在三棱柱ABC-A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，E是A1B的中点，则＝________.(用a，b，c表示)解析：＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(＋＋)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)．答案：eq\f(1,2)(a＋b＋c)6．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，则＝________.解析：＝＋＝＋eq\f(1,2)(＋)＝c＋eq\f(1,2)(－＋)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c.答案：eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋c7．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，化简下列向量表达式，并在图中标出化简结果的向量．(1)＋－；(2)－－.解：(1)＋－＝＋＋＝＋＝(如图)．(2)－－＝＋(＋)＝＋(＋)＝＋＝(如图)．8.如图所示，已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，E，F，G分别是BC，CD，DB的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果．(1)＋－；(2)－－.解：(1)＋－＝＋＋＝＋＝，如图中向量.(2)－－＝＋＋＝＋＋＝＋＝，如图中向量.3．1.2空间向量的数乘运算预习课本P86～89，思考并完成以下问题1．实数λ与空间向量a的乘积λa的方向如何确定？2．空间向量的数乘运算满足哪些运算律？3．共线向量(平行向量)、方向向量及共面向量的定义分别是什么？1．空间向量的数乘运算定义与平面向量一样，实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘几何意义λ>0λa与向量a的方向相同λ<0λa与向量a的方向相反λa的长度是a的长度的|λ|倍λ＝0λa＝0，其方向是任意的运算律分配律λ(a＋b)＝λa＋λb结合律λ(μa)＝(λμ)a[点睛]对空间向量数乘运算的理解(1)λa是一个向量．(2)λa＝0?λ＝0或a＝0.(3)因为a，b可以平移到同一平面内，所以λa，μb，a＋b，λa＋μb都在这个平面内，因而平面向量的数乘运算律适用于空间向量．2．共线、共面向量共线(平行)向量共面向量定义表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量平行于同一个平面的向量叫做共面向量充要条件对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.推论如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝＋ta，①其中a叫做直线l的方向向量，如图所示．若在l上取＝a，则①式可化为＝＋t如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使＝x＋y，或对空间任意一点O来说，有＝＋x＋y[点睛]对共线、共面向量的理解(1)共线向量、共面向量不具有传递性．(2)共线向量定理及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据．定理中的条件b≠0不可遗漏．(3)直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．(4)空间任意两个向量总是共面的，空间任意三个向量可能共面，也可能不共面．(5)向量p与a，b共面的充要条件是在a与b不共线的前提下才成立的，若a与b共线，则不成立．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若a与b共线，b与c共线，则a与c共线()(2)若向量a，b，c共面，即表示这三个向量的有向线段所在的直线共面()(3)若a∥b，则存在惟一的实数λ，使a＝λb()答案：(1)×(2)×(3)×2．化简：5(3a－2b)＋4(2b－3a)＝________.答案：3a－2b3．点C在线段AB上，且|AB|＝5，|BC|＝3，＝λ，则λ＝________.答案：－eq\f(5,3)空间向量的线性运算[典例]已知正四棱椎P-ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值．(1)＝＋y＋z；(2)＝x＋y＋.[解](1)如图，∵＝－＝－eq\f(1,2)(＋)＝－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)，∴y＝z＝－eq\f(1,2).(2)∵O为AC的中点，Q为CD的中点，∴＋＝2，＋＝2，∴＝2－，＝2－，∴＝2－2＋，∴x＝2，y＝－2.利用向量的加减运算是处理此类问题的基本方法，一般地可以找到的封闭图形不是惟一的，但无论哪一种途径，结果应是惟一的．应用向量的加减法法则和数乘运算表示向量是向量在几何中应用的前提，一定要熟练掌握．[活学活用]如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC的中点．(1)化简：－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)；(2)设E是棱DD1上的点，且＝eq\f(2,3)，若＝x＋y＋z，试求实数x，y，z的值．解：(1)－eq\f(1,2)(＋)＝－＝.(2)＝－＝eq\f(1,2)(＋)－－eq\f(2,3)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)－eq\f(2,3)，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－eq\f(2,3).空间向量共线问题[典例]如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线．[解]因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以＝＋＋＝eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2).又因为＝＋＋＋＝－eq\f(1,2)＋－－eq\f(1,2)，以上两式相加得＝2，所以∥，即与共线．判断向量共线就是充分利用已知条件找到实数λ，使a＝λb(b≠0)成立，同时要充分运用空间向量的运算法则，结合空间图形，化简得出a＝λb，从而得出a∥b.[活学活用]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且＝2，点F在对角线A1C上，且＝eq\f(2,3).求证：E，F，B三点共线．证明：设＝a，＝b，＝c.∵＝2，＝eq\f(2,3)，∴＝eq\f(2,3)，＝eq\f(2,5)，∴＝eq\f(2,3)＝eq\f(2,3)b，＝eq\f(2,5)(－)＝eq\f(2,5)(＋－)＝eq\f(2,5)a＋eq\f(2,5)b－eq\f(2,5)c.∴＝－＝eq\f(2,5)a－eq\f(4,15)b－eq\f(2,5)c＝eq\f(2,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a－\f(2,3)b－c)).又＝＋＋＝－eq\f(2,3)b－c＋a＝a－eq\f(2,3)b－c，∴＝eq\f(2,5).又∵EF∩EB＝E.∴E，F，B三点共线.空间向量共面问题[典例]已知A，B，C三点不共线，平面ABC外一点M满足＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3).(1)判断，，三个向量是否共面；(2)判断M是否在平面ABC内．[解](1)∵＋＋＝3，∴－＝(－)＋(－)，∴＝＋＝－－，∴向量，，共面．(2)由(1)知向量，，共面，而它们有共同的起点M，且A，B，C三点不共线，∴M，A，B，C共面，即M在平面ABC内．(1)证明向量共面，可以利用共面向量的充要条件，也可直接利用定义，通过线面平行或直线在平面内进行证明．(2)向量共面向量所在的直线不一定共面，只有这些向量都过同一点时向量所在的直线才共面(向量的起点、终点共面)．[活学活用]已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，求证：(1)E，F，G，H四点共面．(2)BD∥平面EFGH.证明：如图，连接EG，BG.(1)因为＝＋＝＋eq\f(1,2)(＋)＝＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知：E，F，G，H四点共面．(2)因为＝－＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，所以EH∥BD.又EH?平面EFGH，BD?平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.层级一学业水平达标1．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有＝x＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)，则x的值为()A．1 B．0C．3 D.eqD.eq\f(1,3)解析：选D∵＝x＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)，且M，A，B，C四点共面，∴x＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)＝1，x＝eq\f(1,3).2．已知空间向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是()A．A，B，D B．A，B，CC．B，C，D D．A，C，D解析：选A∵＝＋＝2a＋4b＝2，∴A，B，D三点共线．3．若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则()A．P∈AB B．P?ABC．点P可能在直线AB上 D．以上都不对解析：选A因为m＋n＝1，所以m＝1－n，所以＝(1－n)＋n，即－＝n(－)，即＝n，所以与共线．又，有公共起点A，所以P，A，B三点在同一直线上，即P∈AB.4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()A．＝3－2－B．＋＋＋＝0C．＋＋＝0D．＝eq\f(1,4)－＋eq\f(1,2)解析：选C∵＋＋＝0，∴＝－－，∴M与A，B，C必共面．5．已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，＝eq\f(1,4)，若＝x＋y(＋)，则()A．x＝1，y＝eq\f(1,2) B．x＝eq\f(1,2)，y＝1C．x＝1，y＝eq\f(1,3) D．x＝1，y＝eq\f(1,4)解析：选D因为＝＋＝＋eq\f(1,4)＝＋eq\f(1,4)(＋)，所以x＝1，y＝eq\f(1,4).6．化简：eq\f(1,2)(a＋2b－3c)＋5eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)a－\f(1,2)b＋\f(2,3)c))－3(a－2b＋c)＝________.解析：原式＝eq\f(1,2)a＋b－eq\f(3,2)c＋eq\f(10,3)a－eq\f(5,2)b＋eq\f(10,3)c－3a＋6b－3c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(10,3)－3))a＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(5,2)＋6))b＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)＋\f(10,3)－3))c＝eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c.答案：eq\f(5,6)a＋eq\f(9,2)b－eq\f(7,6)c7．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若＝2，＝eq\f(1,3)＋λ，则λ＝________.解析：＝－＝－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,3)(－)＝eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)，又＝eq\f(1,3)＋λ，所以λ＝eq\f(2,3).答案：eq\f(2,3)8．有下列命题：①若∥，则A，B，C，D四点共线；②若∥，则A，B，C三点共线；③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－eq\f(2,5)e2，b＝－e1＋eq\f(1,10)e2，则a∥b；④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.其中是真命题的序号是________(把所有真命题的序号都填上)．解析：根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错；因为∥且，有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－eq\f(2,5)e2＝－4－e1＋eq\f(1,10)e2＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．答案：②③④9.在空间四边形ABCD中，G为△BCD的重心，E，F分别为边CD和AD的中点，试化简＋eq\f(1,3)－eq\f(1,2)，并在图中标出化简结果的向量．解：∵G是△BCD的重心，BE是CD边上的中线，∴＝eq\f(1,3).又eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－＝，∴＋eq\f(1,3)－eq\f(1,2)＝＋－＝(如图所示)．10.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝eq\f(1,3)BB1，DF＝eq\f(2,3)DD1.(1)证明：A，E，C1，F四点共面；(2)若＝x＋y＋z，求x＋y＋z的值．解：(1)证明：∵ABCD-A1B1C1D1是平行六面体，∴＝＝＝，∴＝eq\f(1,3)，＝eq\f(2,3)，∴＝＋＋＝＋＋eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(1,3)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋\f(2,3)))＝＋＋＋＝＋，由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面．(2)∵＝－＝＋－(＋)＝＋eq\f(2,3)－－eq\f(1,3)＝－＋＋eq\f(1,3)，又＝x＋y＋z，∴x＝－1，y＝1，z＝eq\f(1,3)，∴x＋y＋z＝eq\f(1,3).层级二应试能力达标1．给出下列命题：①若A，B，C，D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0；②|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件；③若，共线，则AB∥CD；④对空间任意一点O与不共线的三点A，B，C，若＝x＋y＋z(其中x，y，z∈R)，则P，A，B，C四点共面．其中不正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选C显然①正确；若a，b共线，则|a|＋|b|＝|a＋b|或|a＋b|＝||a|－|b||，故②错误；若，共线，则直线AB，CD可能重合，故③错误；只有当x＋y＋z＝1时，P，A，B，C四点才共面，故④错误．故选C.2．若a，b是平面α内的两个向量，则()A．α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)B．若存在λ，μ∈R使λa＋μb＝0，则λ＝μ＝0C．若a，b不共线，则空间任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)D．若a，b不共线，则α内任一向量p＝λa＋μb(λ，μ∈R)解析：选D当a与b共线时，A项不正确；当a与b是相反向量，λ＝μ≠0时，λa＋μb＝0，故B项不正确；若a与b不共线，则平面α内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定，故C项不正确，D项正确．3．已知i与j不共线，则存在两个非零常数m，n，使k＝mi＋nj是i，j，k共面的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选A若i与j不共线，则k与i，j共面?存在唯一的一对实数x，y，使k＝xi＋yj，x，y不一定非零．故选A.4．若P，A，B，C为空间四点，且有＝α＋β，则α＋β＝1是A，B，C三点共线的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选C若α＋β＝1，则－＝β(－)，即＝β，显然A，B，C三点共线；若A，B，C三点共线，则存在实数λ，使＝λ，故－＝λ(－)，整理得＝(1＋λ)－λ，令α＝1＋λ，β＝－λ，则α＋β＝1，故选C.5.如图，已知空间四边形ABCD中，＝a－2c，＝5a＋6b－8c，对角线AC，BD的中点分别为E，F，则＝______(用向量a，b，c表示)．解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(a－2c)＋eq\f(1,2)(5a＋6b－8c)＝3a＋3b－5c.答案：3a＋3b－5c6.如图所示，在四面体O-ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________(用a，b，c表示)．解析：＝＋＝a＋eq\f(1,2)＝a＋eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c.答案：eq\f(1,2)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c7.如图，已知M，N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且GM∶GA＝1∶3.求证：B，G，N三点共线．证明：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝＋eq\f(3,4)＝－a＋eq\f(1,4)(a＋b＋c)＝－eq\f(3,4)a＋eq\f(1,4)b＋eq\f(1,4)c，＝＋＝＋eq\f(1,3)(＋)＝－a＋eq\f(1,3)b＋eq\f(1,3)c＝eq\f(4,3)，∴∥.又BN∩BG＝B，∴B，G，N三点共线．8.如图所示，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是ABCD所在平面外的一点，连接PA，PB，PC，PD.设点E，F，G，H分别为△PAB，△PBC，△PCD，△PDA的重心．(1)试用向量方法证明E，F，G，H四点共面；(2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并用向量方法证明你的判断．证明：(1)分别连接PE，PF，PG，PH并延长，交对边于点M，N，Q，R，连接MN，NQ，QR，RM，∵E，F，G，H分别是所在三角形的重心，∴M，N，Q，R是所在边的中点，且＝eq\f(2,3)，＝eq\f(2,3)，＝eq\f(2,3)，＝eq\f(2,3).由题意知四边形MNQR是平行四边形，∴＝＋＝(－)＋(－)＝eq\f(3,2)(－)＋eq\f(3,2)(－)＝eq\f(3,2)(＋)．又＝－＝eq\f(3,2)－eq\f(3,2)＝eq\f(3,2).∴＝＋，由共面向量定理知，E，F，G，H四点共面．(2)平行．证明如下：由(1)得＝eq\f(3,2)，∴∥，∴∥平面ABCD.又＝－＝eq\f(3,2)－eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)，∴∥.即EF∥平面ABCD.又∵EG∩EF＝E，∴平面EFGH与平面ABCD平行．3．1.3空间向量的数量积运算预习课本P90～91，思考并完成以下问题1．空间向量的数量积的定义是什么？2．空间向量的数量积满足哪些运算律？1．空间向量的夹角(1)如图，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．(2)向量a，b的夹角〈a，b〉的范围是[0，π]，若〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么称向量a，b互相垂直，记作a⊥b.2．空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)运算律：①(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.3．空间向量数量积的性质序号性质①a·e＝|a|cos〈a，e〉(其中e为单位向量)②若a，b为非零向量，则a⊥b?a·b＝0③a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)④若a，b为非零向量，则cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a，b共线时等号成立)[点睛](1)两个向量的数量积是数量，而不是向量，它可以是正数、负数或零；(2)向量数量积的运算不满足消去律和乘法的结合律，即a·b＝a·c?b＝c，(a·b)·c＝a·(b·c)都不成立．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)对于非零向量a，b，a，b与a，－b相等()(2)对于任意向量a，b，c，都有(a·b)c＝a(b·c)()(3)若a·b＝b·c，且b≠0，则a＝c()(4)(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．若向量a与b满足|a|＝1，|b|＝2且a与b的夹角为eq\f(π,3)，则a·b＝________.答案：13．已知|a|＝3，|b|＝2，a·b＝－3，则a，b＝________.答案：eq\f(2π,3)空间向量的数量积的运算[典例]如图所示，在棱长为1的正四面体ABCD中，E，F分别是AB，AD的中点，求值：(1)·；(2)·；(3)·；(4)·.[解](1)·＝eq\f(1,2)·＝eq\f(1,2)||||·cos〈，〉＝eq\f(1,2)cos60°＝eq\f(1,4).(2)·＝eq\f(1,2)·＝eq\f(1,2)||2＝eq\f(1,2).(3)·＝eq\f(1,2)·＝eq\f(1,2)||·||cos〈，〉＝eq\f(1,2)cos120°＝－eq\f(1,4).(4)·＝·(－)＝·－·＝||||cos〈，〉－||||cos〈，〉＝cos60°－cos60°＝0.求向量的数量积的关键是求两个向量的模和夹角，而该题目所给的四面体各棱长均为1，每个面都是正三角形，每个角都是60°，因此可结合这一特点进行分解，然后再具体求解数量积的值．[活学活用]1．已知a＝3p－2q，b＝p＋q，p和q是相互垂直的单位向量，则a·b＝()A．1 B．2C．3 D．4解析：选A∵p⊥q且|p|＝|q|＝1，∴a·b＝(3p－2q)·(p＋q)＝3p2＋p·q－2q2＝3＋0－2＝1.2．在四面体OABC中，棱OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，则·(＋＋)＝________.解析：由已知·＝·＝·＝0，且＝eq\f(＋＋,3)，故·(＋＋)＝eq\f(1,3)(＋＋)2＝eq\f(1,3)(||2＋||2＋||2)＝eq\f(1,3)(1＋4＋9)＝eq\f(14,3).答案：eq\f(14,3)利用空间向量的数量积求夹角[典例]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，求与夹角的大小．[解]不妨设正方体的棱长为1，则·＝(＋)·(＋)＝(＋)·(＋)＝·＋2＋＋·＝0＋2＋0＋0＝2＝1，又∵||＝eq\r(2)，||＝eq\r(2)，∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(1,\r(2)×\r(2))＝eq\f(1,2).∵〈，〉∈[0，π]，∴〈，〉＝eq\f(π,3).即与夹角的大小为eq\f(π,3).(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一个向量起点平移到与另一个向量的起点重合转化为求平面中的角的大小．(2)由两个向量的数量积定义得cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)，求〈a，b〉的大小，转化为求两个向量的数量积及两个向量的模，求出〈a，b〉的余弦值，进而求〈a，b〉的大小．在求a·b时注意结合空间图形，把a，b用基向量表示出来，进而化简得出a·b的值．[活学活用]如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AA1＝eq\r(2)，求异面直线BA1与AC所成角的余弦值．解：∵＝＋＝＋，＝－，且·＝·＝·＝0，∴·A＝－＝－1.又||＝eq\r(2)，||＝eq\r(1＋2)＝eq\r(3)，∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(－1,\r(6))＝－eq\f(\r(6),6)，则异面直线BA1与AC所成角的余弦值为eq\f(\r(6),6).利用空间向量的数量积证明垂直[典例]已知空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.[证明]∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴·＝0，·＝0.∴·＝(＋)·(－)＝·＋·－－·＝·－－·＝·(－－)＝·＝0.∴⊥，从而AD⊥BC.当直接证明线线垂直但条件不易利用时，常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零．利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定．[活学活用]如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点，求证：A1O⊥平面GBD.证明：设＝a，＝b，＝c，则a·b＝0，b·c＝0，a·c＝0，|a|＝|b|＝|c|.∵＝＋＝＋eq\f(1,2)(＋)＝c＋eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b，＝－＝b－a，＝＋＝eq\f(1,2)(＋)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(1,2)c.∴·＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(c＋\f(1,2)a＋\f(1,2)b))·(b－a)＝c·b－c·a＋eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)a2＋eq\f(1,2)b2－eq\f(1,2)b·a＝eq\f(1,2)(b2－a2)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.于是⊥，即A1O⊥BD.同理可证⊥，即A1O⊥OG.于是有A1O⊥平面GBD.利用空间向量数量积求距离(即线段长度)[典例]在正四面体ABCD中，棱长为a，M，N分别是棱AB，CD上的点，且|MB|＝2|AM|，|CN|＝eq\f(1,2)|ND|，求|MN|.[解]∵＝＋＋＝eq\f(2,3)＋(－)＋eq\f(1,3)(－)＝－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(2,3).∴·＝－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)·－eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)＝eq\f(1,9)2－eq\f(2,9)·－eq\f(4,9)·＋eq\f(4,9)·＋eq\f(1,9)2＋eq\f(4,9)2＝eq\f(1,9)a2－eq\f(1,9)a2－eq\f(2,9)a2＋eq\f(2,9)a2＋eq\f(1,9)a2＋eq\f(4,9)a2＝eq\f(5,9)a2.故||＝eq\r(·)＝eq\f(\r(5),3)a.即|MN|＝eq\f(\r(5),3)a.求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|＝eq\r(a2)，通过计算求出|a|，即得所求距离．[活学活用]如图所示，在?ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，PA＝6，求线段PC的长．解：∴＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝62＋42＋32＋2||||cos120°＝61－12＝49.∴||＝7，即PC＝7.层级一学业水平达标1．已知向量a，b是平面α内两个不相等的非零向量，非零向量c在直线l上，则c·a＝0，且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B若l⊥平面α，则c⊥a，c·a＝0，c⊥b，c·b＝0；反之，若a∥b，则c⊥a，c⊥b，并不能保证l⊥平面α.2．已知e1，e2是夹角为60°的两个单位向量，则a＝e1＋e2与b＝e1－2e2的夹角是()A．60° B．120°C．30° D．90°解析：选Ba·b＝(e1＋e2)·(e1－2e2)＝eeq\o\al(2,1)－e1·e2－2eeq\o\al(2,2)＝1－1×1×eq\f(1,2)－2＝－eq\f(3,2)，|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(?e1＋e2?2)＝eq\r(e\o\al(2,1)＋2e1·e2＋e\o\al(2,2))＝eq\r(1＋1＋1)＝eq\r(3)，|b|＝eq\r(b2)＝eq\r(?e1－2e2?2)＝eq\r(e\o\al(2,1)－4e1·e2＋4e\o\al(2,2))＝eq\r(1－2＋4)＝eq\r(3).∴cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(－\f(3,2),3)＝－eq\f(1,2).∴〈a，b〉＝120°.3.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A．2·B．2·C．2·D．2·解析：选C2·＝－a2，故A错；2·＝－a2，故B错；2·＝－eq\f(1,2)a2，故D错，只有C正确．4．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A．与 B．与C．与 D．与解析：选A用排除法，因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，故·＝0，排除D；因为AD⊥AB，PA⊥AD，又PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB，所以AD⊥PB，故·＝0，排除B，同理·＝0，排除C.5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，有下列命题：①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③与的夹角为60°；④正方体的体积为|··|.其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B如图所示，(＋＋)2＝(＋＋)2＝2＝32；·(－)＝·＝0；与的夹角是与夹角的补角，而与的夹角为60°，故与的夹角为120°；正方体的体积为||||||.综上可知，①②正确．6．已知|a|＝13，|b|＝19，|a＋b|＝24，则|a－b|＝________.解析：|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝132＋2a·b＋192＝242，∴2a·b＝46，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝530－46＝484，故|a－b|＝22.答案：227．已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，如图，则PC等于________．解析：∵＝＋＋，∴||2＝(＋＋)2＝2＋2＋2＋2·＋2·＋2·＝36＋36＋36＋0＋0＋2||||cos60°＝108＋2×6×6×eq\f(1,2)＝144.∴PC＝12.答案：128．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，则a，b所成的角是________．解析：＝＋＋，∴·＝·(＋＋)＝||2＝1，∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝eq\f(1,2)，∴异面直线a，b所成角是60°.答案：60°9．已知空间四边形OABC各边及对角线长都相等，E，F分别为AB，OC的中点，求异面直线OE与BF所成角的余弦值．解：如图所示，设＝a，＝b，＝c，|a|＝|b|＝|c|＝1，易知∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝eq\f(π,3)，则a·b＝b·c＝c·a＝eq\f(1,2).∵＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(a＋b)，＝－＝eq\f(1,2)－＝eq\f(1,2)c－b，又||＝||＝eq\f(\r(3),2)，∴·＝eq\f(1,2)(a＋b)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)c－b))＝eq\f(1,4)a·c＋eq\f(1,4)b·c－eq\f(1,2)a·b－eq\f(1,2)b2＝－eq\f(1,2)，∴cos〈，〉＝eq\f(·,||||)＝－eq\f(2,3).∴异面直线OE与BF所成角的余弦值是eq\f(2,3).10.如图，正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面边长为eq\r(2).(1)设侧棱长为1，求证：AB1⊥BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为eq\f(π,3)，求侧棱的长．解：(1)证明：＝＋，＝＋.∵BB1⊥平面ABC，∴·＝0，·＝0.又△ABC为正三角形，∴〈，〉＝π－〈，〉＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).∵·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋2＋·＝||·||·cos〈，〉＋2＝－1＋1＝0，∴AB1⊥BC1.(2)由(1)知·＝||·||·cos〈，〉＋2＝2－1.又||＝eq\r(2＋2)＝eq\r(2＋2)＝||，∴cos〈，〉＝eq\f(2－1,2＋2)＝eq\f(1,2)，∴||＝2，即侧棱长为2.层级二应试能力达标1．已知在正四面体A-BCD中，所有棱长都为1，△ABC的重心为G，则DG的长为()A.eq\f(\r(3),3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(\r(5),3) D.eq\f(\r(6),3)解析：选D如图，连接AG并延长交BC于点M，连接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝eq\f(2,3)AM，∴＝eq\f(2,3)，＝＋＝＋eq\f(2,3)＝＋eq\f(2,3)(－)＝＋eq\f(2,3)eq\f(1,2)(＋)－＝eq\f(1,3)(＋＋)，而(＋＋)2＝＋＋＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1＋2(cos60°＋cos60°＋cos60°)＝6，∴||＝eq\f(\r(6),3).2．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：选C根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得·＝·＝0，∴·＝(＋＋)·＝·＋||2＋·＝||2＝1，∴cos，＝eq\f(·,||||)＝eq\f(1,2)，∴AB与CD所成的角为60°.3．设a，b，c是任意的非零空间向量，且它们互不共线，给出下列命题：①(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b一定不与c垂直；④(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.其中正确的是()A．①② B．②③C．③④ D．②④解析：选D根据向量数量积的定义及性质，可知a·b和c·a是实数，而c与b不共线，故(a·b)c与(c·a)b不一定相等，故①错误；③因为[(b·a)c－(c·a)b]·c＝(b·a)c2－(c·a)(b·c)，所以当a⊥b，且a⊥c或b⊥c时，[(b·a)c－(c·a)b]·c＝0，即(b·a)c－(c·a)b与c垂直，故③错误；易知②④正确．故选D.4．设A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD()A．是钝角三角形 B．是锐角三角形C．是直角三角形 D．形状不确定解析：选B∵＝－，＝－，∴·＝(－)(－)＝·－·－·＋||2＝||2>0，∴cos∠CBD＝cos，＝eq\f(·,||·||)>0，∴∠CBD为锐角．同理，∠BCD与∠BDC均为锐角，∴△BCD为锐角三角形．5．已知a，b是空间两个向量，若|a|＝2，|b|＝2，|a－b|＝eq\r(7)，则cosa，b＝________.解析：将|a－b|＝eq\r(7)两边平方，得(a－b)2＝7.因为|a|＝2，|b|＝2，所以a·b＝eq\f(1,2).又a·b＝|a||b|cosa，b，故cosa，b＝eq\f(1,8).答案：eq\f(1,8)6.如图所示，在一个直二面角α-AB-β的棱上有两点A，B，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________．解析：∵＝＋＋＝－＋，∴＝(－＋)2＝＋＋－2·＋2·－2·＝16＋36＋64＝116，∴||＝2eq\r(29).答案：2eq\r(29)7.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，E为CC1上的点，且CE＝1，求异面直线AB1，BE所成角的余弦值．解：·＝(＋)·(＋)＝·＋·＋·＋·＝0＋0＋0＋3＝3.依题意，易知||＝eq\r(10)，||＝eq\r(5)，∴cos，＝eq\f(·,||||)＝eq\f(3,5\r(2))＝eq\f(3\r(2),10).8．如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60°角，求B，D间的距离．解：∵∠ACD＝90°，∴·＝0.同理·＝0.∵AB与CD成60°角，∴〈，〉＝60°或120°.又∵＝＋＋，∴||2＝·＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝3＋2×1×1×cos〈，〉．当〈，〉＝60°时，＝4；当〈，〉＝120°时，2＝2.∴||＝2或eq\r(2)，即B，D间的距离为2或eq\r(2).3．1.4空间向量的正交分解及其坐标表示预习课本P92～94，思考并完成以下问题1．空间向量基本定理的内容是什么？2．在空间向量中，基底的定义是什么？应满足什么条件？1．空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．2．空间向量的正交分解及其坐标表示(1)单位正交基底：三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．(2)空间直角坐标系：以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系O-xyz.(3)空间向量的坐标表示：对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量＝p，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)，即点P的坐标为(x，y，z)．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底()(2)向量的坐标与点P的坐标一致()(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使0＝λ1a1＋λ2a2＋λ3a3()答案：(1)×(2)×(3)×2．已知A(2,3－μ，－1＋ν)关于x轴的对称点是A′(λ，7，－6)，则λ，μ，ν的值为()A．λ＝－2，μ＝－4，ν＝－5 B．λ＝2，μ＝－4，ν＝－5C．λ＝－2，μ＝10，ν＝8 D．λ＝2，μ＝10，ν＝7答案：D3．已知向量a，b，c是空间的一个基底，下列向量中可以与p＝2a－b，q＝a＋b构成空间的另一个基底的是______(填序号)．①2a；②－b；③c；④a＋c答案：③④空间向量基本定理的理解[典例]已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底？[解]假设，，共面，由向量共面的充要条件知存在实数x，y，使＝x＋y成立．∴e1＋2e2－e3＝x(－3e1＋e2＋2e3)＋y(e1＋e2－e3)＝(－3x＋y)e1＋(x＋y)e2＋(2x－y)e3.∵{e1，e2，e3}是空间的一个基底，∴e1，e2，e3不共面，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3x＋y＝1，,x＋y＝2，,2x－y＝－1))此方程组无解，即不存在实数x，y，使＝x＋y成立．∴，，不共面．故{，，}能作为空间的一个基底．判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断．[活学活用]设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．解析：如图所设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．答案：3空间向量基本定理的应用[典例]如图，四棱锥P-OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC和PB的中点，试用a，b，c表示：，，，.[解]连接BO，则＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(c－b－a)＝－eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.＝＋＝－a＋eq\f(1,2)＝－a＋eq\f(1,2)(＋)＝－a－eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.＝＋＝＋＋eq\f(1,2)(＋)＝－a＋c＋eq\f(1,2)(－c＋b)＝－a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)a.用基底表示向量时：(1)若基底确定，要充分利用向量加法、减法的三角形法则和平行四边形法则，以及数乘向量的运算律进行．(2)若没给定基底时，首先选择基底，选择时，要尽量使所选的基向量能方便地表示其他向量，再就是看基向量的模及其夹角已知或易求．[活学活用]如图，在正方体ABCD-A′B′C′D′中，点E是上底面A′B′C′D′的中心，求下列各式中x，y，z的值．(1)＝x＋y＋z；(2)＝x＋y＋z.解：(1)∵＝＋＝＋＋＝－＋＋，又＝x＋y＋z，∴x＝1，y＝－1，z＝1.(2)∵＝＋＝＋eq\f(1,2)＝＋eq\f(1,2)(＋)＝＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＋，又＝x＋y＋z，∴x＝eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)，z＝1.空间向量的坐标表示[典例]如图所示，PA垂直于正方形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点，并且PA＝AB＝1.试建立适当的空间直角坐标系，求向量的坐标．[解]∵PA＝AB＝AD＝1，PA⊥平面ABCD，AB⊥AD，∴，，是两两垂直的单位向量．设＝e1，＝e2，＝e3，以{e1，e2，e3}为基底建立空间直角坐标系A-xyz.法一：如图所示，∵＝＋＋＝－eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)(＋)＝－eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)(＋＋)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)e2＋eq\f(1,2)e3，∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).法二：如图所示，连接AC，BD交于点O.则O为AC，BD的中点，连接MO，ON，∴＝eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，＝eq\f(1,2)，∴＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)e2＋eq\f(1,2)e3.∴＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，\f(1,2))).用坐标表示空间向量的方法步骤[活学活用]在直三棱柱ABO-A1B1O1中，∠AOB＝eq\f(π,2)，AO＝4，BO＝2，AA1＝4，D为A1B1的中点．在如图所示的空间直角坐标系中，求，的坐标．解：(1)∵＝－＝－(＋)＝－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(＋\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(＋))))＝－－eq\f(1,2)－eq\f(1,2)＝－4e3－eq\f(1,2)×4e1－eq\f(1,2)×2e2＝－2e1－e2－4e3，∴＝(－2，－1，－4)．(2)∵＝－＝－(＋)＝－＋－＝－4e1＋2e2－4e3，∴＝(－4,2，－4)．层级一学业水平达标1．已知A(3,2，－3)，则点A关于y轴的对称点的坐标是()A．(－3，－2,3) B．(－3,2，－3)C．(－3,2,3) D．(－3，－2，－3)解析：选C由对称定义知．2．设p：a，b，c是三个非零向量；q：{a，b，c}为空间的一个基底，则p是q的()A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件解析：选B当非零向量a，b，c不共面时，{a，b，c}可以当基底，否则不能当基底．当{a，b，c}为基底时，一定有a，b，c为非零向量．因此p?/q，q?p.3．在空间直角坐标系O-xyz中，下列说法正确的是()A．向量的坐标与点B的坐标相同B．向量的坐标与点A的坐标相同C．向量与向量的坐标相同D．向量与向量－的坐标相同解析：选D因为A点不一定为坐标原点，所以A不正确；同理B，C都不正确；由于＝－，所以D正确．4．已知空间四边形OABC，其对角线为AC，OB，M，N分别是OA，BC的中点，点G是MN的中点，则等于()A.eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)B.eq\f(1,4)(＋＋)C.eq\f(1,3)(＋＋)D.eq\f(1,6)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)解析：选B如图，＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＋eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)(＋＋)．5．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则为()A.eq\f(1,2)a－eq\f(2,3)b＋eq\f(1,2)c B．－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)cC.eq\f(1,2)a＋eq\f(1,2)b－eq\f(2,3)c D.eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)b－eq\f(1,2)c解析：选B＝＋＋＝eq\f(1,3)＋－＋eq\f(1,2)(－)＝－eq\f(2,3)＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(2,3)a＋eq\f(1,2)b＋eq\f(1,2)c.6．设{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，a＝4e1－8e2＋3e3，b＝－2e1－3e2＋7e3，则a，b的坐标分别为________．解析：由于{e1，e2，e3}是空间向量的一个单位正交基底，所以a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)．答案：a＝(4，－8,3)，b＝(－2，－3,7)7．已知空间的一个基底{a，b，c}，m＝a－b＋c，n＝xa＋yb＋2c，若m与n共线，则x＝________，y＝________.解析：因为m与n共线，所以存在实数λ，使m＝λn，即a－b＋c＝λxa＋λyb＋2λc，于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λx，,－1＝λy，,1＝2λ，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－2.))答案：2－28．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E，F分别是底面A1C1和侧面CD1的中心，若＋λ＝0(λ∈R)，则λ＝________.解析：如图，连接A1C1，C1D，则E在A1C1上，F在C1D上，易知EF綊eq\f(1,2)A1D，∴＝eq\f(1,2)，即－eq\f(1,2)＝0，∴λ＝－eq\f(1,2).答案：－eq\f(1,2)9．在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是AD1，BD的中点．(1)用向量a，b，c表示，；(2)若＝xa＋yb＋zc，求实数x，y，z的值．解：(1)如图，＝＋＝－＋－＝a－b－c，＝＋＝eq\f(1,2)＋eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)(＋)＋eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(a－c)．(2)＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(－＋)＝eq\f(1,2)(－c＋a－b－c)＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,2)b－c，∴x＝eq\f(1,2)，y＝－eq\f(1,2)，z＝－1.10．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点，求证：EF⊥AB1.证明：设＝a，＝b，＝c，则＝＋＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(＋)＝eq\f(1,2)(＋－)＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)，＝＋＝＋＝a＋b.∴·＝eq\f(1,2)(－a＋b＋c)·(a＋b)＝eq\f(1,2)(|b|2－|a|2)＝0.∴⊥，即EF⊥AB1.层级二应试能力达标1．已知M，A，B，C四点互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间的一个基底的关系是()A．＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)＋eq\f(1,3)B．＝＋C．＝＋＋D．＝2－解析：选C对于选项A，由＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)?M，A，B，C四点共面，知，，共面；对于选项B，D，易知，，共面，故选C.2．给出下列命题：①若{a，b，c}可以作为空间的一个基底，d与c共线，d≠0，则{a，b，d}也可以作为空间的一个基底；②已知向量a∥b，则a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底；③A，B，M，N是空间四点，若，，不能构成空间的一个基底，则A，B，M，N四点共面；④已知{a，b，c}是空间的一个基底，若m＝a＋c，则{a，b，m}也是空间的一个基底．其中正确命题的个数是()A．1 B．2C．3 D．4解析：选D根据基底的概念，知空间中任何三个不共面的向量都可作为空间的一个基底．显然②正确．③中由，，不能构成空间的一个基底，知，，共面．又，，过相同点B，知A，B，M，N四点共面．下面证明①④正确：假设d与a，b共面，则存在实数λ，μ，使得d＝λa＋μb，∵d与c共线，c≠0，∴存在实数k，使得d＝kc.∵d≠0，∴k≠0，从而c＝eq\f(λ,k)a＋eq\f(μ,k)b，∴c与a，b共面，与条件矛盾，∴d与a，b不共面．同理可证④也是正确的．于是①②③④四个命题都正确，故选D.3．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，若＝3i，＝2j，＝5k，则向量在基底{i，j，k}下的坐标是()A．(1,1,1) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(1,2)，\f(1,5)))C．(3,2,5) D．(3,2，－5)解析：选C＝＋＋＝＋＋＝3i＋2j＋5k，∴向量在基底{i，j，k}下的坐标是(3,2,5)，故选C.4．已知向量和在基底{a，b，c}下的坐标分别为(3,4,5)和(0,2,1)，若＝eq\f(2,5)，则向量在基底{a，b，c}下的坐标是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，\f(8,5))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(4,5)，\f(8,5)))解析：选A∵＝－＝(2b＋c)－(3a＋4b＋5c)＝－3a－2b－4c，∴＝eq\f(2,5)＝－eq\f(6,5)a－eq\f(4,5)b－eq\f(8,5)c，∴向量在基底{a，b，c}下的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(6,5)，－\f(4,5)，－\f(8,5)))，故选A.5．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．解析：若x≠0，则a＝－eq\f(y,x)b－eq\f(z,x)c，即a与b，c共面．由{a，b，c}是空间的一个基底知a，b，c不共面，故x＝0，同理y＝z＝0.答案：x＝y＝z＝06．若a＝e1＋e2，b＝e2＋e3，c＝e1＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，若e1，e2，e3不共面，当d＝αa＋βb＋γc时，α＋β＋γ＝________.解析：由已知d＝(α＋γ)e1＋(α＋β)e2＋(γ＋β)e3.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α＋γ＝1，,α＋β＝2，,γ＋β＝3，))故有α＋β＋γ＝3.答案：37．设A，B，C及A1，B1，C1分别是异面直线l1，l2上的三点，且M，N，P，Q分别是线段AA1，BA1，BB1，CC1的中点．求证：M，N，P，Q四点共面．证明：依题意，有＝2，＝2.＝＋＋＝eq\f(1,2)＋＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋＋)＋＋eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋)．(*)∵A，B，C及A1，B1，C1分别共线，∴存在λ，ω∈R，使得＝λ＝2λ，＝ω＝2ω.代入(*)式，得＝eq\f(1,2)(2λ＋2ω)＝λ＋ω，∴，，共面．∴M，N，P，Q四点共面．8．已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.证明：如图，取向量，，为空间基底，则＝eq\f(1,2)(＋)，＝eq\f(1,2)(＋)．∴＝－＝eq\f(1,2)(＋)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋－)，＝－＝eq\f(1,2)(＋)－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)(＋－)．又∵＝－，∴＝eq\f(1,2)(＋)，＝eq\f(1,2)(－)，∴·＝eq\f(1,2)(＋)·eq\f(1,2)(－)＝eq\f(1,4)(||2－||2)，又∵||＝||，∴·＝0，即PM⊥QN.3．1.5空间向量运算的坐标表示预习课本P95～97，思考并完成以下问题1．类比平面向量，在空间向量中，a∥b，a⊥b的充要条件分别是什么？2．空间直角坐标系中，点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则||如何表示？1．空间向量的加减和数乘运算的坐标表示设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．(1)a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；(2)a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；(3)λa＝(λa1，λa2，λa3)(λ∈R)；(4)若b≠0，则a∥b?a＝λb(λ∈R)?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3.2．空间向量数量积的坐标表示及夹角公式若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则(1)a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；(2)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))；(3)cos〈a，b