19 导数的同构思想 练习题（解析版）

专题19导数的同构思想

一、单选题

1.(2022•全国•高三专题练习)已知关于x的不等式e，-皿-Inx—In(根+1)20在(0,+co)恒成立，贝1卜”的

取值范围是()

A.(—1,1]B.(―l,f—1]C.(£*—1,1]D.(I,e]

【答案】B

【分析】

将条件变形为e*+x2ln[(m+l)x]+(〃?+l)x=+ln[(m+l)x],然后由/(x)=e*+x的单调性可得

x>ln[(w+l)x],然后可得〃?+iwf,然后利用导数求出/?("=£的最小值即可.

【详解】

由ex一〃a一Inx—In(机+1)>0得ex-/nx>ln[(/n+l)x]

即e，+x2In■加+1)x]+(n?+1)x=+In[加+1)x],

构造/(x)=e*+x,即f(x)”0n[W+l)x])

因为〃x)在(0,+8)上单调递增，所以xNln[(%+l)x],所以e'W(w+l)x

所以加+14巳，令人(x)=J,则//(%)='"

XXX

所以h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+«0上单调递增

所以"(x)min=〃(l)=e,所以〃z+IWe,即〃z〈e-l

又加+1>0,BPm>-\

所以机的取值范围是(-l,e-1]

故选：B

]nx

2.(2021•安徽•合肥一中高三月考(理))设实数加>0,若对任意的xe(l,R,不等式2e2M——20恒

tn

成立，则实数功的取值范围是()

A.(什00)B.；，+8)C.[l,+oo)D.[e,+co)

【答案】A

【分析】

把不等式2e2”,-吐20成立，转化为2*2"，xlnx=*Fnx恒成立，设函数g(x)=xe",进而转化为

m

Inx

g(2/nr)2g(lnx)恒成立，得出2/m:Nlnx恒成立，构造函数"(x)=?，利用导数求得函数的单调性与最值，

即可求解.

【详解】

2m

因为〃?>0,不等式2e2""-g20成立，即2e2'"'2g成立，^2tne>\nx,

mm

进而转化为2mxe之心>xlnx="inx恒成立，

构造函数g(x)=xe*,可得g'(尤)=e*+xe*=(x+l)e2,

当x>0,g，(x)>0,g(x)单调递增,

Inx

则不等式2/小——20恒成立等价于g(2〃比)>g(lnx)恒成立，即2mx>Inx恒成立，

m

X

进而转化为2〃亚一In恒成立，

X

设〃(》)=('可得〃(x)=l［尸,

当0<x<e时，"(x)>0,M6单调递增;

当x>e时,h'(x)<0,〃(x)单调递减，

所以当x=e,函数可力取得最大值，最大值为/?(e)=L

e

所以2相2,，即实数m的取值范围是

e1_2e)

故选：A.

【点睛】

函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函数的

最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数

的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各

个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

3.(2021・宁夏•石嘴山市第一中学高二月考(理))若对任意xe(O,y),不等式a*-Inx>0恒成立,

则实数”的取值范围为()

A-［-7JB-C.E,e)D.(e,位)

【答案】B

【分析】

令x=l,则ae">0,得。>0;当xe(O,l)时，Inx<0,are">xlnx恒成立；当xe(l,+<x)时，令

g(x)=xlnx(x±l),求导分析单调性得*>x在［1,y)恒成立，通过分离参数即可求解参数范围.

【详解】

解：令x=1,贝!|aea>0,.'.a>0.

不等式aeax—Inx>0恒成立<=>axe">xlnx,

①当xw(0,l)时，lnx<0,are">xlnx恒成立；

②当xe(l,+<»)时，令g(x)=xlnx(x*l),

g(x)=l+lnx>0,g(x)在单调递增，

即e"Ine">xlnx等价于g(e")>g(x),

<=>eax>x在［1,RD)恒成立.

即ar>Inx,a>史二在［1,+<为>恒成立.

令〃。)=叱(》21),贝==可得X=e,

Xx~

.,"(x)在(l,e)递增，在(e,+00)递减,

—=Me)=L,a>，，

ee

••.〃的取值范围为G，+8).

故选：B.

【点睛】

方法点睛：已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法：

(1)函数法：讨论参数范围，借助函数单调性求解；

(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域或最值问题加以解决；

(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,

利用数形结合的方法求解.

4.(2021•全国•高三专题练习)已知。<0,函数/■(x)=xa*Le'+alnx,若x«L+oo)时，〃x)20恒成立,

则实数〃的最小值为()

A.—1B.\—e

C.-1D.-e

【答案】D

【分析】

设g(x)=/,/⑴对可等价为“力之/何式)，再利用〃x)的单调性转化为求最值即可求解.

【详解】

a+l

由"x)20可得x-e*>-a\nx,

11

11a

所以*alnxx吟］1,

x"x"x"

设g(x)=胫'，则上式等价于g(x)2g1nJ)对于xe(l,+«))恒成立,

因为/(x)=(x+l)e'>。，所以g(x)=沅，在(1,京)单调递增，

所以xNIn?■对于xw(l,+oo)恒成立，即41nxW-x,因为lnx>0,

所以丘噎对于、«1'网恒成立'

令〃(x)=-,,则”2%(6皿，

\nx--x..

%)=______J=1Z1吧，

⑴(Iru)2(Inx)2

由"(x)>0可得0<x<e,由"(x)<0可得x>e,

所以〃(x)=-5在(o,e)单调递增，在3”0)单调递减,

所以〃⑺由二人,卜-亡二〜，

可得aN-e,

所以实数”的最小值为-e.

故选：D.

【点睛】

思路点睛：不等式恒成立(或能成立)求参数

由不等式恒成立(或能成立)求参数，一般可对不等式变形，分离参数，根据分离参数后的结果，构造函

数，由导数的方法求出函数的最值，进而可求出结果；有时也可根据不等式，直接构成函数，根据导数的

方法，利用分类讨论求函数的最值，即可得出结果.

5.(2020•安徽•高三月考(文))已知函数/(x)=e""-Llnx,当x>0时，/。)>0恒成立，则m的取

m

值范围为()

A.(1,+℃)B.(e,+oo)C.g,e)D.(3收)

【答案】D

【分析】

机40不等式不恒成立，确定机>0此时，xe(0,l]恒成立，着重考虑x>l的情形，

InY

不等式变形为*'>—，再变形为,nre"">xlnx=lnx*、，因此引入函数g(x)=xe',利用导数证明它在(0,+co)

m

inxInY

上是增函数，不等式又变形为m>Inx,m>——，又引入函数〃(x)=——，由导数求得其最大值即得用的

XX

范围.

【详解】

由题意，若相<0显然/(X)不是恒大于零，故相>0.(由4个选项也是显然可得)

m>0,则f(x)=e""—'mx>0在(0,1]上恒成立；

tn

当x>1时,f(x)=enLX一~Mnx>0等价于d">，lnxo如，">x\nx=\nx-e]nx,

mm

令g«)=te{(t>0),g's=(1+t)el>0,g(t)在(0,+oo)上单调递增.

]nx

因为/nr>0,lnx>0(x>1),所以/区・，心>111r**<=>〃1¥>111工，即加〉---(x>l),

x

再设人(x)---=/?(x)=--(x>1),令〃(x)=0oX=e,

XX

0<x<e时，//(x)>0,时，hf(x)<0,削工)在(0,e)上单调递增，在(e,+刃)上单调递减,

从而"。),皿="(e)=L所以m>L

ee

故选：D.

【点睛】

本题考查用导数研究不等式恒成立问题，解题关键是问题的化简与转化，首先确定〃?>0,其次确定xe(0，l]

恒成立，在x>l时，把不等式变形，通过新函数的单调性逐步转化，最终分离参数转化为求函数的最值.

6.(2022•全国•高三专题练习)设实数相>0,若对任意的xe(0，”)，不等式e"”——20成立，则实

m

数5的取值范围是()

A.[l,+oo)B.C.[e,+oo)D.:,+00]

【答案】D

【分析】

把不等式*一处2。成立，转化为如e小2xlnx=*Fnx恒成立，设函数g(x)=xe'，进而转化为

m

Iny

g(w)2g(lnx)恒成立，得出M21nx恒成立，构造函数/?(》)=手，利用导数求得函数的单调性与最值,

即可求解.

【详解】

InxInr

因为%>0,不等式e侬-也20成立，即*2吗成立，即小，Inx,

mm

进而转化为mxe""Nxlnx=e"*Jnx恒成立，

构造函数g(x)=x",可得g，(x)=》+、*=(x+l)/,

当x>0,g'(x)>0,g(x)单调递增，

|nY

则不等式泮——20恒成立等价于g(如)之gdn©恒成立，即〃a21nx恒成立，

m

Inx

进而转化为m2—恒成立，

x

设〃(x)="，可得〃(%)=[尸,

当0<x<e时，厅(x)>0,〃(x)单调递增；

当x>e时，hr(x)<0,/J(x)单调递减，

所以当x=e,函数〃(x)取得最大值，最大值为〃,)=!,

e

所以〃口，即实数m的取值范围是+]

eLe)

故选：D.

【点睛】

函数由零点求参数的取值范围的常用方法与策略：

1

、构造函数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为构造的新函数的

最值，根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；

2、分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法为结合函数

的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否符合题意，将满足题意的参数的各

个小范围并在一起，即可为所求参数的范围.

7.(2020•河北•正定中学高三月考)已知不等式x叫e'+alnxNO对任意的实数x>l都成立，则

实数”的最小值为()

e1

A.-e2B.-eC.——D.——

2e

【答案】B

【分析】

把不等式变形为xd>In4“•，设“X)=xe\x>1),则不等式xa+'-ex+a\nx>0对任意的实数x>1恒成

立，转化为对任意x>l恒成立，根据函数的单调性，得出xNlnL对任意犬>1恒成立，利

用导数求得函数的单调性与最小值，即可求解.

【详解】

由题意，不等式变形为xe'2x-"(-alnx),即阴一历。"泌尸，

设/(x)=xe'(x>l),则不等式x"-e，+alnx20对任意的实数工>1恒成立，

等价于/(X)>/(InE“)对任意x>1恒成立，

又由r(x)=(x+l)e'>0,则/(x)在(LKO)上单调递增，所以xWlnx、

即对任意x>l恒成立，

xx

所以一〃4(L)恒成立，gp-«<(—)*,

Inx\nx

令g(x)=舟则g'(x)=需，(*D，

当l<x<e时,g'(x)<O,g(x)在(l,e)上单调递减；

当x>e时,8'(力>0名(力在(1,0)上单调递增，

所以当x=e时，g(x)取得最小值g(e)=e,所以-“Me,即心-e,

所以”的最小值是一e.

【点睛】

本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及恒成立问题的求解，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理

能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求

出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

8.(2020•辽宁•模拟预测(理))若不等式mxe"Wlnx恒成立，则实数"?的取值范围为()

A。［5+8)C.口.住”)

【答案】B

【分析】

当0<xWl时，lnx<0,iwce'm>0i显然成立；当xNl时，不等式wxe11'”2Inx,mx2emK'>xlnx>

两边取对数得到In(如打+尔22lnx+In(Inx),进而转化为

IMy］nY

"Np恒成立，构造新函数/?("=不，利用导数求得函数〃(X)的单调性与最值，即可求解.

【详解】

由题意，当尤=e时，可得机>0,

①当0<x41时，lnx<0,则皿em『>0,不等式显然成立；

②当xWl时，不等式可化为Nxlnx,

两边取对数，可得ln(/nr2)+/nr2>lnx+ln(lnx),

令g(x)=x+lnx,xNl,可得g(,nr2)»g(lnx),

又由函数g(x)单调递增，所以只需/n^Nlnx,即，心卓在［1,+8)恒成立，

令/?(》)=当，有/«x)=之三皿=上答，(%>1),

由"(x)>0,即1一21nx>0,解得l<x<&,

由"(x)<0,即1—21nx<0,解得x>&,

所以函数〃(另的增区间为(L”),减区间为(&,+«)),

所以当x=〃时，函数网”取得最大值人⑺皿=M五)=乎=(，

综上可得，实数m的取值范围为=，+00}

故选：B.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究不等式的恒成立问题，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，

对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等

式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

9.(2021•内蒙古•海拉尔第二中学高三月考(理))设实数2>0,若对任意xe(O,”)，不等式

：-ln(〃)20恒成立，则2的取值范围是()

A.0<2<-B.0<2<e-lC.0<A<eD.0<2<e2

e

【答案】C

【分析】

令f(x)=g-ln(〃)，根据二阶导数的符号判断/‘(X)的单调性，由零点存在性定理易知玉。e(0,+8)使

/(x°)=0,此时2=x°e'。，进而讨论/(x)的单调性可知/(X)2〃％),要使题设不等式恒成立，即

)=4-InX-Inx°20成立，构造g(/)=；-2In%-%利用导数研究其单调性确定g(x0)20的区间，

进而求4的范围.

【详解】

令〃X)=£-In(〃)，只需要Xe(0,长O)上/(X)20恒成立，

A

x

•••r(x)e=已1且兀>0,

AX

■.f\x)=:+二>0,即f(X)在X€(0,XO)上单调递增，

zx~

••limf\x)=-<olimf'{x}=+oo

*XT(r9X-W-X'

3xoe(O,+<»),使f'(/)=0,即；1=%)小,

r.xe(0,x。)时，f\x)<0,/(x)单调递减；xe(x0,+8)时，f'{x)>0,/(x)单调递增；

故只需"x’NfGobq-lM/Uobq-ln/l-lnxoNO,令g(x°)=：-21nx0-x°,

5Vo)=-(—+1)2<0,故g(x0)在％e(0,+8)上递减，而g⑴=0,

X。w(0,l|时，g(Xo)WO恒成立,可知a=x0e*>w(0,e].

故选：C

【点睛】

关键点点睛：利用导数研究/（X）的单调性并确定极小值点范围，根据/'（%）=0有2=,结合f（x）>/（%）

构造新函数，求，（%）20成立时%的区间，进而求参数范围.

*2（x+jlnx,则实数a的最小值为（

10.（2021•湖北•汉阳一中二模）若对任意x>0,恒有“*+)

D.2

A.-7B.C.-

e4e~ee

【答案】D

【分析】

不等式”(*+1)*2x两边同时乘以x,等价变形为5d+1”2（x2+l）lnx,利用方=in,

21nx=lnx2,将不等式变形为（*+l）ln/N，+1加/,构造函数/⑺="+1）1球（0。），不等式变形为

/（Z9>/（x2）,利用导数判断函数/⑺在（0,+8）上单调递增，从而确定*2/在（0,+8）恒成立，即

心字在（0,+8）恒成立.构造新函数g（x）=2/，利用导数求函数g（X）的最大值，确定”的取值范围,

即可.

【详解】

由题意可知，不等式。卜'"+1"2卜+£|11^变形为（,

设/⑺="+l)lnr”0),

贝］I/,(?)=(/+1/lnz+(r+l)(lnr)'=lnr+j+l

/*(?)=(In?)+［；［+V=^--L=L-X.

当o<r<i时/⑺<0,即r⑺在（o,i）上单调递减.

当/>1时/”⑺，即r⑺在（L+8）上单调递增.

则「（1）在（0,+。）上有且只有一个极值点/=1,该极值点就是尸（。的最小值点.

所以广（。2/⑴=lnl+；+l=2>0,即/⑺在（0,转）上单调递增.

若使得对任意x>0,恒有a（e"+1）22（x+X成立.

则需对任意x>0,恒有/（*）”（当成立.

即对任意x>0,恒有*2/成立，则“2手在(0,”)恒成立.

设g(力=2产,(xe(0,+oo))贝I]g[x)=(21nx).二'⑵nx)=2-21nx.

当0<x<e时，g'(x)>0,函数g(x)在(0,e)上单调递增

当x>e时，g'(x)<0,函数g(x)在(O,e)上单调递减

则g(x)在(0,+a)上有且只有一个极值点x=e,该极值点就是g(x)的最大值点.

所以g(x)max=g(e)=：，即则实数”的最小值为

故选：D

【点睛】

本题考查利用导数研究不等式恒成立，求参数取值，属于难题.

11.(2021•江苏•公道中学高二月考)已知不等式x+alnx+e。"对xe(l,+co)恒成立，则实数”的最

e

小值为()

A.—>feB.—C.—eD.—2e

2

【答案】C

【分析】

将不等式变形，通过构造函数g(x)=x-lnx,求导数后，结合函数的单调性即可得解.

【详解】

不等式》+°111》+42:犬对工«1,+00)恒成立

e

可变形为xV-aInx

ex9

即"X-Ine~x之£一In£对x£(1,+℃)恒成立

设g(x)=x—山大

贝ljg<x)=]」=3

XX

当xe(l,+<»)时,g'(x)>0,即g(x)=x-lnx在xe(l,+<»)时单调递增

当xw(O,l)时,g，(x)<0,即g(x)=x-lnx在xw(O,l)时单调递减

因而g卜-x)2g卜")在xw(1,go)上恒成立即可

当xe(l*)时，

而当〃<0时(因四个选项都小于0,所以只需讨论〃<0的情况)

八(0,1)

因为g(x)=x—Inx在xe(O,l)时单调递减，若8卜-'卜8［。)

只需er4/

不等式两边同取自然底数的对数，可得-xWalnx

当xe(l,-H»)时，0<lnx

化简不等式可得户4a

Inx

只需I-a

max

令〃(X)=-,X£(1,+oo)

Inx

、1-Inx

则f"“卜而，令"(力二°

解得x=e

当X€(1,e)时，h\x)>0,则/2(x)=言在(l,e)内单调递增

当xe(e,«»)时，》(x)<0,则/?(》)=、^在(e,«»)内单调递减

所以〃(引=F在*=6处取得最大值，M')max=言=~

Inxmaxme

故

所以实数〃的最小值为-e

故选:C

【点睛】

本题考查了导数在研究函数单调性与最值中的综合应用，根据不等式恒成立问题求参数的取值，利用构造函

数法求最值，对函数式的变形尤为重要，属于难题.

二、填空题

12.(2021•福建省泉州第一中学高二期末)已知不等式3nx」+e、x"对任意xe(O,l)恒成立，则实数

X

的最小值为.

【答案】-e

【分析】

先将不等式e*—-zy-alnx变形为--me；>xa-lnxa，

再构造函数./")=x-lnx(x>0),利用函数单调性可得，［NX"，再分离参数转化为

a>_J_(0<x<i),然后求出函数％(x)=xlnx(xe(O,l))的最小值，即解出.

【详解】

I1

由题意，不等式可变形为e，,2x"-alnx,

X

得JIn'd-InV对任意x€(0,1)恒成立.

设/(x)=x-lnx,

则/卜j>〃x“)对任意xe(0,1)恒成立，/(x)=1--=?，

当0vx<l时,r(x)<0,所以函数.f(x)在(0,1)上单调递减，

当x>i时，r(x)>o,所以函数〃x)在a，e)上单调递增.

当xe(0,l)时，，>e，因为求实数。的最小值，

所以考虑。<0的情况，此时£>1,

因为函数/(x)在(1，+8)上单调递增，

所以要使2/(*"),只需

两边取对数，得上/alnx,

X

由于xe(O,l),所以az-；!—.

令〃(x)=xlnx(xe(O,l)),则/?(x)=lnx+l,

令"(x)=0,得x=l,

e

易得6(x)在(0,［上单调递减，在匕单调递增,

所以=〃(：)=--，所以意=-e,所以心—e,

所以实数”的最小值为-e.

故答案为：-e

【点睛】

关键点睛：求解不等式问题的关键：(1)适当变形，灵活转化，结合题设条件，有时需要对不等式进行“除

法”变形，从而分离参数，有时需要进行移项变形，可使不等式两边具有相同的结构特点；(2)构造函数，

利用导数求解，若分离参数，则直接构造函数，并借助导数加以求解，若转化为不等式两边具有相同的结

构特点，则可根据该结构特点构造函数，并借助导数加以求解.

13.(2021•河南郑州•二模(理))已知。>0,不等式(x+l)je*M-“ln(x+l)20对任意的xe(0,+oo)恒

成立，则实数”的取值范围为.

【答案】(0，司

【分析】

令，=尤+1,可将不等式变形为kN尸Inf",然后由/«)=〃的单调性可得fNlnf",然后可得“4二，然后

In?

求出右边的最小值即可.

【详解】

不等式(x+1广“e、”-aln(x+1)>0对任意的xe(0,e)恒成立，

令，=x+l,则cl,所以不等式等价于产e'ilnt20对r>l恒成立，

变形可得不等式te'>〃In〃对f>1恒成立，

令/⑺=〃，”1,则不等式等价于/Q)2/(ln〃)对空1恒成立，

/⑴=(f+l)d,当"1时，尸⑺>0,故/(。单调递增，

所以不等式转化为f2In〃对r>1恒成立，即a4乙对r>1恒成立，

Inf

令g⑺=*'所以令g'Q)=。，解得，=e,

当love时,g'Q)<0,则g⑺单调递减，

当f>e时,g'(r)>0,则g(t)单调递增,

所以当r=e时，g。)取得最小值g(e)=e,

所以aMe,又a>0,

所以实数”的取值范围为(0，e].

故答案为：((),4.

【点睛】

关键点睛：解答本题的关键是观察原不等式的特点，将其变形为"211nl.

14.(2021•河南平顶山♦高二期中)不等式x~e，-“lnx20对任意xe(l,+oo)恒成立，则正实数”的取值

范围为.

【答案】(f，e]

【分析】

先将原不等式化为xe'2/Inx"对于任意xe(L+«>)恒成立，由于〃x)=xe'在(1+8)递增，故

f(x)2/(lnx")得xNalnx,分离参数得高，求解g(x)=高的最小值即可.

【详解】

xl-aex-alnx>0,xex>xalnxa,令f(x)=x",易知〃x)在(1+℃)递增,

/(x)>/(lnxH),：.x>\nxa^a\nx,又lnx>0,

即对任意xe1,田恒成立，设g(x)=贝Ug(x)=7^7

当xe(l,e)时，g'(x)<0；当xw(e,+<»)时，g'(x)>0

所以g(x)在(l,e)递减，在(e,+oo)上递增，g(x)in,n=则“4e

故答案为：(­，e].

【点睛】

思路点睛：本题考查不等式恒成立问题，利用分离参数法和构造函数，通过求新函数的最值求出参数范围.

15.(2020•全国•高三月考(理))已知。>0,若关于x的不等式e'Nalnor恒成立，则实数”的取值范

围为.

【答案】(0,目

【分析】

先将不等式变形为92Inor,令"x)=7，g(x)=lnox,由y=/(x)与y=g(x)互为反函数得只需要

”x)Wx即可，即然后用导数求出左边的最小值即可.

X

【详解】

显然x>0,由e'Nalnov,得J^lnax,则令f(x)=J,

aa

g(x)=lnor,因为y=/(x)与y=g(x)互为反函数，

所以只需要〃x)2x即可，即42%

X

令刈到=£,则"⑴:平力，

所以可得〃(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+?)上单调递增

所以〃(x)2〃(l)=e,

即〃e(O,e].

故答案为：(。，4

【点睛】

互为反函数的两个函数的图象关于y=x对称.

16.(2021•全国•高三专题练习)若关于x的不等式/-“InxNa恒成立，则实数a的取值范围为

【答案】。0

【分析】

首先不等式变形为ex>(7Inex,经讨论“<。不成立，当时，不等式变形为e'>aIner<=>exe'>aex\nex,

通过设函数g(x)=x/,转化为不等式eg(x)2ag(lnex)恒成立，通过函数g(x)的单调性，和正负区间，讨论

求〃的取值范围.

【详解】

解：ex-a\nx>a<^>ex>a\nx+a<^>ex>aInex

若a<0,x-»0时，Inex—>-oo,—>],/.«lnex—>+<»,

此时/Nmnex不恒成立，.,.a40,

ex>a\nex<=>exex>aex\nex,

令g(x)=xe',g，(x)=(x+W=0,x=_[,

X«YO,-1)时，g[x)<0,xe(-l,+8),gz(x)>0,

g(x)在(YO,—1)单调递减，(-1,内)单调递增，.•.g(x)1nM=g(-1)=」，

e

eg(x)Wag(lnex),ln(ex)4O时，g(x)>。,g(lnex)<0,原不等式恒成立;

令/(x)=x-lnex,f(x)=l」=^l=O,x=\,

XX

xe(O,l)时，f'(x)<0,xc(l,+oo)时，/z(x)>0,

.•./(X)在(0,1)单调递减，在(1,田)单调递增，

---=/(O=0,X>lner,

g(x)>g(lnex),即？')、*I,.\Q<a<e,

g(lnex)e

故答案为：[0，e].

【点睛】

关键点点睛：本题考查不等式恒成立求参数的取值范围，第一个关键是说明。<0不恒成立，第二个关键是

aNO时，不等式的变形e*Nalnexoexe*Naexlnex,构造函数gaiuxe",第三关键是证明萧%g21.

17.(2021•河南•高三月考(理))若关于*的不等式e*”+4>aln以对于任意xe(0,+co)恒成立.则实数“

的取值范围是.

【答案】(0,/)

【分析】

利用同构将不等式转化为X">—ln—，再构造函数设网力=注、

,研究函数的单调性，求出函数的最小值，即可得到答案；

【详解】

易知”>0,将原不等式变形可得：/>。照匚=>此'>竺/"竺，

eee

设//(x)=xe‘，则〃'(％)=(工+1)6”,

HY

当/〃竺<0时，原不等式显然成立；

e

x+l

当/〃丝20时，因为〃(X)在[0,+8)上递增，.・“>/〃竺=>"J

eex

X+\Y-]

设W(x)=J,则8'(耳=―-。川，所以夕(x)在(0,1)递减，(1收)递增，

XX

所以9(x)的最小值为8(l)=e2,故0va<e，

故答案为：(0*2)

18.(2021•河南南阳•高二期末(理))若a>l,不等式咫'-x+(a-2)lor-尸>0在(1,+8)上恒成立，

则实数〃的取值范围是.

【答案】(1,2+e)

【分析】

首先设函数/。)=/一》(了>0),转化为/(x+lnx)>/(lnx"T),利用单调性得x+lnx>(a-l)lnx,参变分

离后户>〃-2,转化为求函数e(x)=「"x>l)的最小值，从而求得。的取值范围.

\nxInx

【详解】

设〃x)=e*-x(x>0),则/(x)=e'—l,所以f(x)在(0,+e)上单调递增,

由已知得旄'_工_|11_¥>>¥'7_(4_1)1111，

10_1n

因为把*=e-”,(a-1)Inx=InZ,=e''"',

所以/。+1门)>/小产)，

r(x)=x+lnx(x>l),r(A)=l+^->0,所以f(x)在。，+8)上单调递增，z(x)>/(l)=l,

由f(x)在(1'+00)单调递增，得至i]x+lnx>(a—l)lnx,

所以x>(a-2)lnx,因为lnx>lnl,

YY

所以「一>〃-2,令夕(》)=■；—(X>1),

则“(x):：；；,令"(x)>0,得x>e,

所以9(x)在(e,+oo)上单调递增，在(l,e)上单调递减，

所以夕(x)而n=9®=e,所以。-2<e,

所以l<a<e+2.

故答案为：(L2+e)

【点睛】

本题考查利用导数研究不等式恒成立，参数问题，本题的关键是利用指对变形，通过构造函数

/(x)=ex-x(x>0),不等式转化为〃x+lnx)>/(lnx"T),利用函数的单调性，解抽象不等式后，后面的

问题迎刃而解.

19.(2021•浙江•高二期中)若对任意的实数x21,不等式渣一孚20恒成立，则正数K的取值范围是

K

【答案】[L+8)

e

【分析】

对给定不等式等价变形，构造函数借助其单调性转化成新函数最值即可得解.

【详解】

x>\,4>0,ek，,-->0^kek'>\nx^(kx)ekx>x\nxc^{kxje^>(Inx)e'nx,

k

令f(x)=xe-xN0,广(x)=(x+W>0,即/*)在。+8)上单调递增，

]n丫Inx"

贝！]Vx>I,*---->0<=>f(kx)>/(Inx)<=>kx>\nxok>--,

kx

4-g(x)=—,X>1,g'(x)=’7X,[<x<e时g'(x)>0,x>e时g'(x)<0,

XX

g(x)在(l,e)上递增，在(e,行)上递减，工入时8(力2=1,即aL

ee

正数女的取值范围是P，+◎.

e

故答案为：

e

【点睛】

关键点睛：不等式恒成立问题，等价转化，分离参数是解题的关键.

20.(2021•天津•耀华中学高三月考)已知2>0,对任意的xe(0,y0),不等式e?”*一等20恒成立，

ZA,

则4的最小值为.

【答案】；

2e

【分析】

将已知转化为对于任意xe(0,+co),2成2〃21nx恒成立，利用同构思想，构造函数/(x)=x/,将不等式转

化为f(2/lx)2/(lnx),再结合函数的单调性转化为"xNlnx恒成立，利用参数分离，构造函数即可得解.

【详解】

••・对于任意xwQ+oo),Z>0,不等式e2”-券之0恒成立

2/t

对于任意X€(0,+8),2/^2/'2InXo2AxeUx>x\nx=]nx-e'nx,即2九祀>lnx-*'恒成立

当0<x41时,2Axe2Ax>0>\nxe'^；

当x>l,lnx>0,

设f(x)3,则r(x)=e*(l+x)>0,所以f(x)=xe*在xe(0,+oo)上单调递增，

由f(24x)2/(lnx),知2/lxNlnx,即义2学，即几2(平〕

2xI2x4”

设g(x)=乎，xe(0,+oo),求导g*(x)=

2x4x

令g<x)=O,得x=e

当x>e时，gr(x)<0,g(x)单调递减；当0<x<e时，g'(x)>0,g(x)单调递增;

・•・g(x)在x=e处取得极大值，且为最大值，g(x)3=g(e)=^=；

2e2e

所以彳24时，不等式e”*-等20恒成立

2e2X

故答案为：;

2e

【点睛】

关健点点睛：本题主要考查了函数的恒成立问题，其中解答中涉及到利用导数研究函数的单调性及其应用，

利用导数研究函数的极值与最值，着重考查了函数的构造思想、等价转化思想与导数在函数中的综合应用，

本题的解答中把恒成立问题利用同构思想转化为〃2/lx)±f(lnx),再利用函数的单调性及求参方法求解.

21.(2021•全国•高三专题练习)若xe(0,£|时，关于x不等式/e。'+21nxV0恒成立，则实数”的最

大值是.

【答案】2e

【分析】

对。分类讨论，当“V0时，不等式显然恒成立.当时，对不等式进行变形为*In*《厂21nx々，然后

构造函数/(x)=xlnx,根据函数单调性化简不等式，最后分离参数”，即可求出”的范围，进而求出”的

最大值.

【详解】

当“MO,时，X不等式530心+2111》40显然恒成立.

当a20时，1,'ar-V'+21nx<0ax3ea'<-2\nx.

由于.lore"Wx与lnx-?,BPe,uIneat<x-2Inx-2.

所以原不等式加*+2Inx40恒成立，等价于e®,In*<x2In/恒成立.

构造函数f(x)=xlnx,/'(x)=l+lnx.

易知fM在(0,-)上单调递减，在d,+8)上单调递增.

ee

则原不等式等价于要证f©")</(厂2).

因为X-€(/,”)，要使实数”的最大，则应e"4x-2.

21nx1Pw/、-21riX/c1、,、-2(1-Inx)

即-----.记函数sg(x)=------(0<x<-),贝ljg(zx)=-----；------.

xxex

»=»L八1v—2(1—Inx)_

易知0<x<一,gl\zx)=----；一-<0.

ex~

故函数g(x)在(0,-)上单调递减，所以g(x)<g(-)=2e.

ee

因此只需“V2e.

综上所述，实数。的最大值是2e.

故答案为：2e

【点睛】

⑴利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号.关键是分离参数，把所求问题转化为求函

数的最小值问题.

⑵若可导函数4刀在指定的区间。上单调递增(减)，求参数范围问题，可转化为，(兄,0(或，(A)40)恒

成立问题，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.

⑶根据不等式构造函数，由函数的单调性化简所求的不等式是本题关键之步.

22.(2020•江西宜春•模拟预测(理))已知不等式*+初11》+42/对xe(l,xo)恒成立，则实数m的

e

最小值为.

【答案】r

【分析】

先将不等式x+机Inx+5Nx"变形为_in>x'"-\nxm,

再构造函数/(x)=xTnx(x>0),利用函数单调性可得，再分离参数转化为

YY

,n>-—(%>1,然后求出函数g(x)=-「(x>l)的最大值，即解出.