北师大版九年级数学上册第一章习题课件

BS版九年级上1菱形的性质与判定第一章特殊平行四边形第1课时菱形及其性质1．如图，若要使▱ABCD成为菱形，则需要添加的条件是(

)A．AB＝CD

B．AD＝ACC．AB＝BC

D．AC＝BDC2．【2019·河北】如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝(

)A．30°B．25°C．20°D．15°D【答案】B【点拨】如图，取AD的中点M′，连接M′N，M′P，则有MP＝M′P.MP＋PN的最小值为线段M′N的长，即菱形的边长1.故选B.4．【2019·贵阳】如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是(

)A．1cmB．2cmC．3cmD．4cmA5．【2019·玉林】菱形不具备的性质是(

)A．是轴对称图形B．是中心对称图形C．对角线互相垂直D．对角线一定相等D6．【2018·宿迁】如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点，若菱形ABCD的周长为16，∠BAD＝60°，则△OCE的面积是(

)A．

B．2C．

D．4A7．【2019·泸州】一个菱形的边长为6，面积为28，则该菱形的两条对角线的长度之和为(

)A．8B．12C．16D．32【答案】C【答案】C9．【中考·怀化】如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，AB＝10cm，点P是这个菱形内部或边上的一点．若以P，B，C为顶点的三角形是等腰三角形，则P，A(P，A两点不重合)两点间的最短距离为______cm.【点拨】如图，连接BD，AC，在菱形ABCD中，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝AD＝CD＝10cm，∴∠BAD＝∠BCD＝60°.∴△ABD，△BCD都是等边三角形．①若以边BC为底，则BC的垂直平分线上(在菱形的边上及其内部)的点满足题意，此时就转化为“直线外一点与直线上所有点连接的线段中，垂线段最短”，即当点P与点D重合时，PA最小，最小值为10cm；10．【2019·百色】如图，菱形ABCD中，作BE⊥AD，CF⊥AB，分别交AD，AB的延长线于点E，F.(1)求证：AE＝BF.证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，AD∥BC.∴∠A＝∠CBF.∵BE⊥AD，CF⊥AB，∴∠AEB＝∠BFC＝90°.∴△AEB≌△BFC(AAS)．∴AE＝BF.(2)若点E恰好是AD的中点，AB＝2，求BD的值．解：∵E是AD中点，且BE⊥AD，∴直线BE为AD的垂直平分线，∴BD＝AB＝2.11．【2019·聊城】如图，在菱形ABCD中，点P是BC边上一点，连接AP，点E，F是AP上的两点，连接DE，BF，使得∠AED＝∠ABC，∠ABF＝∠BPF.求证：(1)△ABF≌△DAE；证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，AD∥BC.∴∠BPA＝∠DAE.∵∠ABC＝∠AED，∴∠BAF＝∠ADE.∵∠ABF＝∠BPF，∠BPA＝∠DAE，∴∠ABF＝∠DAE.∵AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(ASA)．(2)DE＝BF＋EF.证明：∵△ABF≌△DAE，∴BF＝AE，AF＝DE.∵AF＝AE＋EF＝BF＋EF，∴DE＝BF＋EF.12．如图，四边形ABCD是菱形，点E为对角线AC上一点，连接DE并延长交AB的延长线于点F.连接CF，BD，BE.(1)求证：∠AFD＝∠EBC.证明：∵四边形ABCD为菱形，∴DC＝BC，∠DCE＝∠BCE.又∵CE＝CE，∴△DCE≌△BCE(SAS)．∴∠EBC＝∠EDC.又∵AB∥CD，∴∠AFD＝∠EDC.∴∠AFD＝∠EBC.解：如图，设DF交BC于点P，AC交BD于点O.∵E为△BCD的重心，∴P为BC的中点．∴BP＝CP.又∵∠CDP＝∠BFP，∠CPD＝∠BPF，∴△CDP≌△BFP(AAS)．∴DP＝FP.∴四边形BFCD是平行四边形．∴FC∥BD.∴∠ACF＝∠AOB.∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOB＝90°.∴∠ACF＝∠AOB＝90°.(2)若E为△BCD的重心，求∠ACF的度数．13．已知：如图，在菱形ABCD中，F是BC上任意一点，连接AF交对角线BD于点E，连接EC.(1)求证：AE＝EC.证明：如图，连接AC.∵BD是菱形ABCD的对角线，∴线段BD所在直线是线段AC的垂直平分线．∵E是线段BD上一点，∴AE＝EC.(2)当∠ABC＝60°，∠CEF＝60°时，点F在线段BC上的什么位置？并说明理由．解：点F是线段BC的中点．理由如下：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC.又∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AE＝EC，∴∠EAC＝∠ACE.∵∠CEF＝60°，∴∠EAC＝30°，∴∠BAE＝∠EAC＝30°.∴AF是△ABC的角平分线，∴BF＝CF.即点F是线段BC的中点．BS版九年级上1菱形的性质与判定第一章特殊平行四边形第2课时菱形的判定1．如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，且OB＝OD，请你添加一个适当的条件________，使四边形ABCD成为菱形(只需添加一个即可).OA＝OC(答案不唯一)C2．如图，在▱ABCD中，AC，BD交于点O，AB＝13，AC＝24，DB＝10，则四边形ABCD是(

)A．一般的平行四边形B．长方形C．菱形D．不能确定3．【2019·大庆】下列说法中不正确的是(

)A．四边相等的四边形是菱形B．对角线垂直的平行四边形是菱形C．菱形的对角线互相垂直且相等D．菱形的邻边相等CC4．【2019·宁夏】如图，四边形ABCD的两条对角线相交于点O，且互相平分，添加下列条件，仍不能判定四边形ABCD为菱形的是(

)A．AC⊥BD

B．AB＝ADC．AC＝BD

D．∠ABD＝∠CBD5．如图，在▱ABCD中，AE，CF分别是∠BAD和∠BCD的平分线，添加一个条件，仍无法判定四边形AECF为菱形的是(

)A．AE＝AF

B．EF⊥ACC．∠B＝60°D．AC是∠EAF的平分线C6．【中考·遵义】如图，将▱ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在AD上的点F处，则下列结论不一定成立的是(

)A．AF＝EF

B．AB＝EFC．AE＝AF

D．AF＝BEC7．【2018·舟山】用尺规在一个平行四边形内作菱形ABCD，下列作法中错误的是(

)C*8．【2019·永州】如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，且点O是BD的中点，若AB＝AD＝5，BD＝8，∠ABD＝∠CDB，则四边形ABCD的面积为(

)A．40B．24C．20D．15【答案】B【点拨】根据等腰三角形的性质得到AC⊥BD，∠BAO＝∠DAO，得到AD＝CD，推出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理得到AO＝3，于是得到结论.9．下列命题：①四边都相等的四边形是菱形；②两组邻边分别相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形；④对角线相等的四边形是菱形；⑤一条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形．其中正确的是__________(填序号)．错解：①②③⑤诊断：②是最容易出错的，两组邻边分别相等的四边形不一定是菱形，如图，AB＝AD，BC＝CD，但四边形ABCD不是菱形．判定菱形时，要区分是在四边形还是平行四边形的基础上进行判定的，要注意两者的区别与联系．正解：①③⑤10．【2019·兰州】如图，AC＝8，分别以A，C为圆心，以长度5为半径作弧，两条弧分别相交于点B和D，依次连接A，B，C，D，连接BD交AC于点O.(1)判断四边形ABCD的形状并说明理由；解：四边形ABCD为菱形．理由如下：由作法得AB＝AD＝CB＝CD＝5，∴四边形ABCD为菱形．(2)求BD的长．11．【2019·吉林】图①、图②均为4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．在图①中已画出线段AB，在图②中已画出线段CD，其中A，B，C，D均为格点．按下列要求画图：(1)在图①中，以AB为对角线画一个菱形AEBF，且E，F为格点；解：答案不唯一，菱形AEBF即为所求．(2)在图②中，以CD为对角线画一个对边不相等的四边形CGDH，且G，H为格点，∠CGD＝∠CHD＝90°.解：答案不唯一，四边形CGDH即为所求．12．如图①，△ABC为等腰三角形，AB＝AC＝a，P点是底边BC上的一个动点，PD∥AC，PE∥AB.(1)用a表示四边形ADPE的周长为________；2a(2)点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形，请说明理由；解：当P为BC中点时，四边形ADPE是菱形．理由如下：连结AP，如图①.∵PD∥AC，PE∥AB，∴四边形ADPE为平行四边形．∵AB＝AC，P为BC中点，∴∠PAD＝∠PAE.∵PE∥AB，∴∠PAD＝∠APE.∴∠PAE＝∠APE.∴EA＝EP.∴四边形ADPE是菱形．(3)如果△ABC不是等腰三角形(图②)，其他条件不变，点P运动到什么位置时，四边形ADPE是菱形?请说明理由．解：如图②，P运动到∠A的平分线上时，四边形ADPE是菱形．∵PD∥AC，PE∥AB，∴四边形ADPE是平行四边形．∵AP平分∠BAC，∴∠1＝∠2.∵AB∥EP，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3.∴AE＝EP.∴四边形ADPE是菱形．13．【2018·北京】如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.(1)求证：四边形ABCD是菱形．证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠DCA.∵AC平分∠BAD∴∠OAB＝∠DAC.∴∠DCA＝∠DAC.∴CD＝AD＝AB.∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵AD＝AB，∴四边形ABCD是菱形．BS版九年级上2矩形的性质与判定第一章特殊平行四边形第1课时矩形及其性质1．下列说法中，正确的是(

)A．菱形是中心对称图形但不是轴对称图形B．平行四边形的邻边相等C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴D．菱形的面积等于两条对角线长度乘积的一半D【答案】A3．如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且DE＝AD，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是(

)A．△AOB≌△BOC

B．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EOD

D．△AOD≌△BOC【点拨】∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ADO＝∠EDO＝∠C＝90°.∵AD＝DE，∴BC＝DE.在△BOC与△EOD中，∠BOC＝∠EOD，∠C＝∠EDO＝90°，BC＝DE，∴△BOC≌△EOD.故B选项正确．在△AOD和△EOD中，AD＝DE，∠ADO＝∠EDO＝90°，OD＝OD，∴△AOD≌△EOD.故C选项正确．由B，C知△AOD≌△BOC，故D选项正确．而A选项中两个三角形明显不全等．故应选A.【答案】A【答案】C【答案】D6．【2019·十堰】矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(

)A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对角线互相平分C【答案】B8．【2019·赤峰】如图，菱形ABCD的周长为20，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，则OE的长是(

)A．2.5B．3C．4D．5A*9.【2018·眉山】如图，在▱ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连接EF，BF，下列结论：①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③S四边形DEBC＝2S△EFB；④∠CFE＝3∠DEF，其中正确结论的个数共有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】D30°10．如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E是BC上一点，且AB＝BE，∠1＝15°，则∠2＝________.【点拨】本题的关键是求出△AOB是等边三角形，尽而推出OB＝OE，从而求出∠2＝30°.本题易错点是对矩形的性质不能灵活的运用．11．【2019·鄂州】如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB，CD边于点E，F.(1)求证：四边形DEBF是平行四边形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD.∴∠DFO＝∠BEO.∵∠DOF＝∠BOE，OD＝OB，∴△DOF≌△BOE(AAS)．∴DF＝BE.又∵DF∥BE，∴四边形DEBF是平行四边形．(2)当DE＝DF时，求EF的长．12．【2018·安顺】如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AF＝DC.(2)若AB⊥AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．13．【2019·哈尔滨】已知：在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F.(1)如图①，求证AE＝CF.解：△ABE，△CDF，△BCE，△ADF.14．【2019·贺州】如图，在矩形ABCD中，E，F分别是BC，AD边上的点，且AE＝CF.(1)求证：△ABE≌△CDF.(2)当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形吗？请说明理由．解：当AC⊥EF时，四边形AECF是菱形．理由如下：∵△ABE≌△CDF，∴BE＝DF.∵BC＝AD，∴CE＝AF.∵CE∥AF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵AC⊥EF，∴四边形AECF是菱形．BS版九年级上2矩形的性质与判定第一章特殊平行四边形第2课时矩形的判定1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是(

)A．AB＝CD

B．AD∥BC

C．AB＝BC

D．AC＝BDDD2．【2019·永州】下列说法正确的是(

)A．有两边和一角分别相等的两个三角形全等B．有一组对边平行，且对角线相等的四边形是矩形C．如果一个角的补角等于它本身那么这个角等于45°D．点到直线的距离就是该点到该直线的垂线段的长度【答案】A4．【2019·重庆】下列命题正确的是(

)A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形A5．【2018·上海】已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(

)A．∠A＝∠B

B．∠A＝∠CC．AC＝BDD．AB⊥BCB6．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是(

)A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BDB．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90°C．AO＝CO，BO＝DO，∠AOB＝90°D．∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠CDAC7．如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是(

)A．AB∥DC

B．AC＝BD

C．AC⊥BD

D．AB＝DCCB8．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的是(

)①AC＝5；②∠BAD＋∠BCD＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A．①②③B．①②④C．②③④D．①③④*9.【2019·安顺】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为________．10．在一组对边平行的四边形中，添加下列条件中的哪一个，可判定这个四边形是矩形(

)A．另一组对边相等，对角线相等B．另一组对边相等，对角线互相垂直C．另一组对边平行，对角线相等D．另一组对边平行，对角线互相垂直【点拨】此题易因对矩形的判定方法理解错误而出错．在一组对边平行的前提下，再找该组对边相等或另一组对边平行即可判定这个四边形为平行四边形，再结合对角线相等即可判定这个四边形是矩形．【答案】C11．【2019·云南】如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.(1)求证：四边形ABCD是矩形．证明：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四边形ABCD是平行四边形．∵∠AOB＝∠DAO＋∠ADO＝2∠OAD，∴∠DAO＝∠ADO.∴AO＝DO.∴AC＝BD.∴四边形ABCD是矩形．

(2)若∠AOB：∠ODC＝4：3，求∠ADO的度数．12．【中考·日照】如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.(1)求证：△DCA≌△EAC；

(2)只需添加一个条件，即________，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．AD＝BC证明：∵AB＝DC，AD＝BC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵CE⊥AE，∴∠E＝90°.由(1)得△DCA≌△EAC，∴∠D＝∠E＝90°.∴四边形ABCD为矩形．【点拨】答案不唯一．13．【2019·新疆】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点，连接OE.过点C作CF∥BD交OE的延长线于点F，连接DF.求证：(1)△ODE≌△FCE；

(2)四边形OCFD是矩形．证明：∵△ODE≌△FCE，∴OD＝FC.∵CF∥BD，∴四边形OCFD是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠COD＝90°.∴四边形OCFD是矩形．14．【中考·达州】如图，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线EF∥BC分别交∠ACB，外角∠ACD的平分线于点E，F.(1)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；

(2)连接AE，AF.问：当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．解：当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由如下：如图所示．当O为AC的中点时，AO＝CO，∵EO＝FO，∴四边形AECF是平行四边形．∵∠ECF＝90°，∴平行四边形AECF是矩形．BS版九年级上3正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形第1课时正方形及其性质1．【中考·兰州】▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：________，使得▱ABCD为正方形．AC＝BD【点拨】判定一个菱形是正方形，只需一个角是90°或对角线相等即可．答案不唯一．A2．【2018·临沂】如图，点E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，则下列说法中正确的个数是(

)①若AC＝BD，则四边形EFGH为矩形；②若AC⊥BD，则四边形EFGH为菱形；③若四边形EFGH是平行四边形，则AC与BD互相平分；④若四边形EFGH是正方形，则AC与BD互相垂直且相等．A．1B．2C．3D．4123．【2019·北京】把图①中的菱形沿对角线分成四个全等的直角三角形，将这四个直角三角形分别拼成如图②、图③所示的正方形，则图①中菱形的面积为________．【点拨】根据折叠的性质可得DH＝EH.在Rt△CEH中，设CH＝x，则EH＝DH＝9－x，易得EC＝3，可以根据勾股定理列出方程，从而得出CH的长．*4.【中考·毕节】如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE：EC＝2：1，则线段CH的长是(

)A．3

B．4C．5

D．6BC5．【2019·黄石】在平面直角坐标系中，边长为2的正方形ABCD的边AB在x轴上，AB边的中点是坐标原点O，将正方形绕点C按逆时针方向旋转90°后，点B的对应点B′的坐标是(

)A．(－1，2)B．(1，4)C．(3，2)D．(－1，0)【点拨】根据正方形的性质，利用SAS即可证明△ABE≌△BCF，再根据全等三角形的性质可得∠BFC＝∠AEB，又易得∠DAE＝∠AEB，∠BFC＝∠ABF，从而求解．C6．【2019·河池】如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(

)A．1B．2C．3D．4C【答案】D9．【中考·安顺】如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE＝1，F为AB上的一点，AF＝2，P为AC上一个动点，则PF＋PE的最小值为________．10．【2019·内江】如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF.(1)求证：△ABE≌△ADF.

(2)若AE＝5，请求出EF的长．11．如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G.(1)证明：△ADG≌△DCE.证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC.又∵AG⊥DE，∴∠DAG＋∠ADF＝90°＝∠CDE＋∠ADF.∴∠DAG＝∠CDE.∴△ADG≌△DCE(ASA)．

(2)连接BF，证明：AB＝FB.12．【2019·天门】如图，E，F分别是正方形ABCD的边CB，DC延长线上的点，且BE＝CF，过点E作EG∥BF，交正方形外角的平分线CG于点G，连接GF，求证：(1)AE⊥BF；

(2)四边形BEGF是平行四边形．证明：延长AB至点P，使BP＝BE，连接EP，如图所示．则AP＝CE，∠EBP＝90°，∴∠P＝45°.∵CG为正方形ABCD外角的平分线，∴∠ECG＝45°，∴∠P＝∠ECG.由(1)得∠BAE＝∠CEG，13．【2018·陇南】如图，已知矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，点F，G，H分别是BC，BE，CE的中点．(1)求证：△BGF≌△FHC.

(2)设AD＝a，当四边形EGFH是正方形时，求矩形ABCD的面积．BS版九年级上3正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形第2课时正方形的判定1．【2019·攀枝花】下列说法错误的是(

)A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形BB【答案】D【点拨】

先沿对角线对折，看两侧的三角形是否重合，再沿四边形一组对边的中点连线对折，看上下两个四边形是否重合，如果两次对折后都能重合，那么四边形丝巾的形状是正方形．故选B.*4.【中考·台州】小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了(

)A．1次B．2次C．3次D．4次B5．【2019·巴中】下列命题是真命题的是(

)A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是矩形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．四边相等的平行四边形是正方形C6．下列说法正确的是(

)A．四个角都相等的四边形是正方形B．四条边都相等的四边形是正方形C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形D．对角线相等的菱形是正方形【点拨】A.四个角都相等的四边形是矩形，故错误；B.四条边都相等的四边形是菱形，故错误；C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误；D.对角线相等的菱形是正方形，正确．D7．【中考·日照】小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(

)A．①②B．②③C．①③D．②④B*8.【2019·北京】在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中，①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．所有正确结论的序号是________．【点拨】①如图，∵四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点O，过点O作直线MP分别交AB，CD于点M，P，过点O作直线QN分别交AD，BC于点Q，N，则四边形MNPQ是平行四边形．故当MQ＝PN，PQ＝MN时，四边形MNPQ是平行四边形，故存在无数个四边形MNPQ是平行四边形，故①正确．②如图，当PM＝QN时，四边形MNPQ是矩形，故存在无数个四边形MNPQ是矩形，故②正确．【答案】①②③③如图，当PM⊥QN时，四边形MNPQ是菱形，故存在无数个四边形MNPQ是菱形．故③正确．④当四边形MNPQ是正方形时，MQ＝PQ，则△AMQ≌△DQP，∴AM＝QD，AQ＝PD，∵PD＝BM，∴AB＝AD，∴四边形MNPQ是正方形与任意矩形ABCD矛盾，故④错误．9．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，假设有下列条件：①AB＝AD;②∠DAB＝90°；③AO＝CO，BO＝DO;④四边形ABCD为矩形；⑤四边形ABCD为菱形；⑥四边形ABCD为正方形．则下列推理不成立的是(

)A．①④⇒⑥B．①③⇒⑤C．①②⇒⑥D．②③⇒④【点拨】本题易将特殊四边形的判定相混淆导致出错，选项C的四边形可以是一个如图所示的梯形，不一定是正方形．【答案】C10．【中考·青岛】如图，在菱形ABCD中，点E，O，F分别为AB，AC，AD的中点，连接CE，CF，OE，OF.(1)求证：△BCE≌△DCF.

(2)当AB与BC满足什么关系时，四边形AEOF是正方形？请说明理由．11．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC边的中点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F.(1)求证：△BED≌△CFD.证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠BED＝∠CFD＝90°.∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.∵D是BC的中点，∴BD＝CD.∴△BED≌△CFD.

(2)若∠A＝90°，求证：四边形DFAE是正方形．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED＝∠AFD＝90°.又∵∠A＝90°，∴四边形DFAE为矩形．由(1)知，△BED≌△CFD，∴DE＝DF.∴四边形DFAE是正方形．12．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是中线，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF.(1)求证：AD＝AF.

(2)如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．解：当AB＝AC时，四边形ADCF是正方形．证明如下：由(1)可知，AD＝AF＝DC，又∵AF∥BC，∴四边形ADCF是平行四边形．∵AB＝AC，AD是中线，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.又∵AD＝AF，∴四边形ADCF是正方形．13．【2019·天水】如图①，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．

(1)概念理解：如图②，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，问四边形ABCD是垂美四边形吗？请说明理由．解：四边形ABCD是垂美四边形．理由：连接BD，AC.∵AB＝AD，∴点A在线段BD的垂直平分线上．∵CB＝CD，∴点C在线段BD的垂直平分线上，∴直线AC是线段BD的垂直平分线，∴AC⊥BD，即四边形ABCD是垂美四边形．证明：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°.由勾股定理，得AB2＋CD2＝AO2＋BO2＋CO2＋DO2，AD2＋BC2＝AO2＋DO2＋BO2＋CO2，∴AB2＋CD2＝AD2＋BC2.

(2)性质探究：如图①，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD.试证明：AB2＋CD2＝AD2＋BC2.解：如图，连接CG，BE，CE与AB交于点M.∵∠CAG＝∠BAE＝90°，∴∠CAG＋∠BAC＝∠BAE＋∠BAC，即∠GAB＝∠CAE.

(3)解决问题：如图③，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE.已知AC＝4，AB＝5，求GE的长．BS版九年级上3正方形的性质与判定第一章特殊平行四边形第3课时正方形的性质与判定的综合应用1．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OD，OC上，且DE＝CF，连接DF，AE，并延长AE交DF于点M.求证：AM⊥DF.证明：∵AC，BD是正方形ABCD的两条对角线，∴AC⊥BD，OA＝OD＝OC＝OB.∴∠AOE＝∠DOF＝90°.∵DE＝CF，∴OE＝OF.∴△AOE