人教版高中数学必修四教材用书三角函数1.6三角函数模型的简单应用word版含答案2

10/1009/10/1．6三角函数模型的简单应用[导入新知]1．三角函数模型应用的步骤三角函数模型应用即建模问题，根据题意建立三角函数模型，再求出相应的三角函数在某点处的函数值，进而使实际问题得到解决．步骤可记为：审读题意→建立三角函数式→根据题意求出某点的三角函数值→解决实际问题．这里的关键是建立数学模型，一般先根据题意设出代表函数，再利用数据求出待定系数，然后写出具体的三角函数解析式．2．三角函数模型的拟合应用我们可以利用搜集到的数据，作出相应的“散点图”，通过观察散点图并进行数据拟合，从而获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题．[化解疑难]三角函数模型应用流程(1)审题：确定选用什么样的函数模型解题．(2)建模：根据题意，列出数量关系，建立三角函数模型．(3)解模：运用三角函数的相关公式进行化简．(4)还原：解模后还要根据实际问题的背景，进行检验，并作答．函数解析式与图象对应问题[例1]函数y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致图象是()[答案]C[类题通法]解决函数图象与解析式对应问题的策略(1)解决此类问题的一般方法是根据图象所反映出的函数性质来解决，如函数的奇偶性、周期性、图象的对称性、单调性、值域，此外零点也可以作为判断的依据．(2)利用图象确定函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式，实质就是确定其中的参数A，ω，φ.其中A由最值确定；ω由周期确定，而周期由特殊点求得；φ由点在图象上求得，确定φ时，注意它的不唯一性，一般是求|φ|中最小的φ.[活学活用]函数f(x)＝cosx·|tanx|在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,2)))上的大致图象为()答案：C三角函数在物理中的应用[例2]单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离s(单位：cm)和时间t(单位：s)的函数关系式为s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6))).(1)作出函数的图象．(2)当单摆开始摆动(t＝0)时，离开平衡位置的距离是多少？(3)当单摆摆动到最右边时，离开平衡位置的距离是多少？(4)单摆来回摆动一次需多长时间？[解](1)利用“五点法”可作出其图象．(2)因为当t＝0时，s＝6sineq\f(π,6)＝3，所以此时离开平衡位置3cm.(3)离开平衡位置6cm.(4)因为T＝eq\f(2π,2π)＝1，所以单摆来回摆动一次所需的时间为1s.[类题通法]三角函数在物理中的应用三角函数模型在物理中的应用主要体现在简谐运动中，其中对弹簧振子和单摆的运动等有关问题考查最多，尤其要弄清振幅、频率、周期、平衡位置等物理概念的意义和表示方法．[活学活用]交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．答案：(1)110eq\r(3)V(2)0.02s(3)电压的最大值为220eq\r(3)V；t＝eq\f(1,300)s三角函数在实际生活中的应用[例3]心脏跳动时，血压在增加或减少．血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压，血压计上的读数就是收缩压和舒张压，读数120/80mmHg为标准值．设某人的血压满足函数式p(t)＝115＋25sin160πt，其中p(t)为血压(mmHg)，t为时间(min)，试回答下列问题：(1)求函数p(t)的周期；(2)求此人每分钟心跳的次数；(3)画出函数p(t)的草图；(4)求出此人的血压在血压计上的读数．[解](1)由于ω＝160π，代入周期公式T＝eq\f(2π,|ω|)，可得T＝eq\f(2π,160π)＝eq\f(1,80)(min)，所以函数p(t)的周期为eq\f(1,80)min.(2)每分钟心跳的次数即为函数的频率f＝eq\f(1,T)＝80(次)．(3)列表：t0eq\f(1,320)eq\f(1,160)eq\f(3,320)eq\f(1,80)p(t)11514011590115描点、连线并向左右扩展得到函数p(t)的简图如图所示：(4)由图可知此人的收缩压为140mmHg，舒张压为90mmHg.[类题通法]解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]如图所示，游乐场中的摩天轮匀速转动，每转动一圈需要12分，其中心O距离地面40.5米，半径为40米，如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时，请回答下列问题：(1)求出你与地面的距离y(米)与时间t(分)的函数关系式；(2)当你第4次距离地面60.5米时，用了多长时间？答案：(1)y＝40.5－40coseq\f(π,6)t(t≥0)(2)20分eq\a\vs4\al(,,3.由实际数据拟合函数)[典例](12分)已知某海滨浴场的海浪高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位：时)的函数，记作：y＝f(t)．下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.51.00.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求出函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T，振幅A及函数表达式；(2)根据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00至晚上20：00之间，有多少时间可供冲浪者进行活动．[解题流程][规范解答](1)由表中数据，知周期T＝12，∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,6).(2分)由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5.(3分)又由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0，(4分)∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅为eq\f(1,2).(5分)∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1.(6分)(2)由题意知，当y>1时才对冲浪者开放，∴eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1>1，∴coseq\f(π,6)t>0，(7分)∴2kπ－eq\f(π,2)<eq\f(π,6)t<2kπ＋eq\f(π,2)，即12k－3<t<12k＋3.(9分)∵0≤t≤24，∴令k分别为0,1,2，得0≤t<3或9<t<15或21<t≤24，(11分)∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间有6个小时可供冲浪者进行活动，即上午9：00至下午15：00.(12分)[名师批注]相邻两个最大值或相邻两个最小值之间为一个周期．要求A，b应建立关于A，b的方程组，本题可通过图象过点(0,1.5)和(3,1.0)建立关于A，b的方程组求解．由浪高大于1米建立关于t的不等式是解决此题的关键.此处易忽视t的取值范围而导致解题失误.,应根据实际确定k的取值，此处易忽视k∈N导致错误，也常漏解k的取值情况而造成解题错误.[活学活用]某港口的水深y(单位：m)是时间t(0≤t≤24，单位：h)的函数，下面是水深数据：t03691215182124y10.013.09.97.010.013.010.17.010.0根据上述数据描出曲线，如图所示，经拟合，该曲线可近似地看作函数y＝Asinωt＋b的图象．(1)试根据以上数据，求函数解析式．(2)一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离不少于4.5m时是安全的，如果某船的吃水深度(船底与水面的距离)为7m，那么该船何时能进入港口？在港口能待多久？答案：(1)y＝3sineq\f(π,6)t＋10(0≤t≤24)(2)在凌晨1点进港，5点出港或在13点进港，17点出港；停留4小时[随堂即时演练]1．将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速度释放，并同时开始计时，取平衡位置为坐标原点，且向右为正，则下列振动图象中正确的是()答案：D2．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是()A．该质点的振动周期为0.7sB．该质点的振幅为－5cmC．该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大D．该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零答案：D3．某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为10cm，秒针均匀地绕点O旋转．记钟面上数字12处为B点，当时间t＝0时，点A与钟面上点B重合，将A，B两点的距离d(cm)表示成t(s)的函数，则d＝________，其中t∈[0,60]．答案：20sineq\f(πt,60)4.如图，电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt＋\f(π,6)))(A>0，ω≠0)的图象，则当t＝eq\f(1,50)秒时，电流强度是________安．答案：55．已知某地一天从4点到16点的温度变化曲线近似满足函数y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,8)x－\f(5π,4)))＋20，x∈[4,16]．(1)求该地区这一段时间内的最大温差；(2)若有一种细菌在15℃到25℃之间可以生存，那么在这段时间内，该细菌能生存多长时间？答案：(1)20℃(2)eq\f(8,3)h[课时达标检测]一、选择题1．(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5 B．6C．8 D．10答案：C2.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s＝6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2πt＋\f(π,6)))，那么单摆来回摆动一次所需的时间为()A．2πs B．πsC．0.5πs D．1s答案：D3．如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(m)与时间x(s)满足函数关系y＝Asin(A．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3 B．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝5答案：A4．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12s旋转一周．已知时间t＝0时，点A的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：s)的函数的单调递增区间是()A．[0,1] B．[1,7]C．[7,12] D．[0,1]和[7,12]答案：D5.如图，设点A是单位圆上的一定点，动点P从点A出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P所旋转过的Aeq\x\to(P)的长为l，弦AP的长为d，则函数d＝f(l)的图象大致是()答案：C二、填空题6．直线y＝a与曲线y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))在(0,2π)内有两个不同的交点，则实数a的取值范围是________．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(\r(3),2)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，1))7．一根长acm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时，离开平衡位置的位移s(cm)和时间t(s)的函数关系式是s＝3coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(\f(g,a))t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)，则小球摆动的周期为________s.答案：eq\f(2π·\r(a),\r(g))8．据市场调查，某种商品一年内每件的出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＞0，ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．根据以上条件可确定f(x)的解析式为________．答案：f(x)＝2sineq\f(π,6)x＋7三、解答题9．如图所示，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S(3,2eq\r(3))；赛道的后一部分为折线段MNP.为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP＝120°.求A，ω的值和M，P两点间的距离．解：依题意，有A＝2eq\r(3)，eq\f(T,4)＝3，即T＝12.又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,6).∴y＝2eq\r(3)sineq\f(π,6)x，x∈[0,4]．∴当x＝4时，y＝2eq\r(3)sineq\f(2π,3)＝3.∴M(4,3)．又P(8,0)，∴MP＝eq\r(?8－4?2＋?0－3?2)＝eq\r(42＋32)＝5(km)．即M，P两点间的距离为5km.10．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系．(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1m)(3)10月10日这一天该港口共有多长时间水深低于10.3m?解：(1)依题意知T＝eq\f(2π,ω)＝12，