（河南专版）201x年中考数学一轮复习 第六章 空间与图形 6.2 图形的相似（试卷部分）

第六章图形与交换§6.2图形的相似中考数学

(河南专用)精选pptA组2014-2018年河南中考题组五年中考1.(2015河南,10,3分)如图,△ABC中,点D,E分别在边AB,BC上,DE∥AC.若BD=4,DA=2,BE=3,则

EC=

.答案

解析∵DE∥AC,∴

=

,∴EC=

=

=

.精选ppt2.(2018河南,22,10分)(1)问题发现如图1,在△OAB和△OCD中,OA=OB,OC=OD,∠AOB=∠COD=40°,连接AC,BD交于点M.填空:①

的值为

;②∠AMB的度数为

.(2)类比探究如图2,在△OAB和△OCD中,∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,连接AC交BD的延长线

于点M.请判断

的值及∠AMB的度数,并说明理由;(3)拓展延伸在(2)的条件下,将△OCD绕点O在平面内旋转,AC,BD所在直线交于点M.若OD=1,OB=

,请直接写出当点C与点M重合时AC的长.精选ppt解析(1)①1.

(1分)②40°.(注:若填为40,不扣分)(2分)(2)

=

,∠AMB=90°.(注:若无判断,但后续证明正确,不扣分)(4分)理由如下:∵∠AOB=∠COD=90°,∠OAB=∠OCD=30°,∴

=

=

,又∠COD+∠AOD=∠AOB+∠AOD,即∠AOC=∠BOD.∴△AOC∽△BOD.

(6分)∴

=

=

,∠CAO=∠DBO.∵∠AOB=90°,∴∠DBO+∠ABD+∠BAO=90°.∴∠CAO+∠ABD+∠BAO=90°.∴∠AMB=90°.

(8分)(3)AC的长为2

或3

.

(10分)【提示】在△OCD旋转过程中,(2)中的结论仍成立,即

=

,∠AMB=90°.如图所示,当点C与点M重合时,AC1,AC2的长即为所求.精选ppt

思路分析(1)证明△AOC≌△BOD,得AC=BD,∠OAC=∠OBD,∠AMB=∠AOB=40°;(2)证明

△AOC∽△BOD,得

=

=

,∠OAC=∠OBD,∠AMB=∠AOB=90°;(3)作图确定△OCD旋转后点C的两个位置,分别求出BD的长度,根据

=

得出AC的长.方法规律本题为类比探究拓展问题,首先根据题(1)中的特例感知解决问题的方法,类比探

究,可以类比(1)中解法,解(2)中的问题,得出结论,总结解答前两个问题所用的方法和所得结论,

依据结论对(3)中的问题分析,通过作图,计算得出结果.问题(3)直接求AC的两个值难度较大,可

以先求出BD的两个值,根据

=

,再求出AC的两个值.精选ppt3.(2015河南,22,10分)如图1,在Rt△ABC中,∠B=90°,BC=2AB=8,点D,E分别是边BC,AC的中点,

连接DE.将△EDC绕点C按顺时针方向旋转,记旋转角为α.(1)问题发现①当α=0°时,

=

;②当α=180°时,

=

.(2)拓展探究试判断:当0°≤α<360°时,

的大小有无变化?请仅就图2的情形给出证明.(3)问题解决当△EDC旋转至A,D,E三点共线时,直接写出线段BD的长.

精选ppt解析(1)①

.

(1分)②

.

(2分)(2)无变化.

(3分)在题图1中,∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥AB.∴

=

,∠EDC=∠B=90°.如题图2,∵△EDC在旋转过程中形状和大小不变,∴

=

仍然成立.

(4分)又∵∠ACE=∠BCD=α,∴△ACE∽△BCD.∴

=

.

(6分)在Rt△ABC中,AC=

=

=4

.∴

=

=

,∴

=

.∴

的大小不变.

(8分)精选ppt(3)4

或

.

(10分)【提示】当△EDC在BC上方,且A,D,E三点共线时,四边形ABCD为矩形,∴BD=AC=4

;当△EDC在BC下方,且A,E,D三点共线时,△ADC为直角三角形,由勾股定理可求得AD=8,∴AE=6,根

据

=

可求得BD=

.思路分析(1)根据勾股定理和三角形中位线定理求各线段的长,从而求得

.(2)△EDC绕点C旋转时,在题图1中,△ABC∽△EDC,在题图2中,△ACE∽△BCD,得到

=

,将求

的值转化为求

的值,得出结论.(3)类比(2)问中的方法,讨论A,D,E三点共线和A,E,D三点共线的两种情况求解.精选ppt考点一相似的性质与判定B组2014-2018年全国中考题组1.(2017黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,点F为

BC边上一点,连接AF交DE于点G.则下列结论中一定正确的是

()

A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

C根据平行线分线段成比例定理可知

=

,

=

,

=

,

=

,所以选项A、B、D错误,选项C正确.故选C.精选ppt2.(2017陕西,8,3分)如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3.若点E是边CD的中点,连接AE,过点B作BF

⊥AE交AE于点F,则BF的长为

()

A.

B.

C.

D.

答案

B由题意得∠AFB=∠D=∠BAD=90°,∴∠FAB+∠DAE=90°,∠FAB+∠ABF=90°,∴∠ABF=∠DAE,∴△ADE∽△BFA,则

=

,即

=

=3,设AF=x(x>0),则BF=3x,在Rt△ABF中,由勾股定理得AF2+BF2=AB2,即x2+(3x)2=22,解得x=

(负值舍去),所以3x=

,即BF=

.故选B.思路分析先通过证明△ADE∽△BFA得到AF与BF的数量关系,再在Rt△ABF中,由勾股定理

建立方程求解.精选ppt3.(2015江苏南京,3,2分)如图,在△ABC中,DE∥BC,

=

,则下列结论中正确的是

()

A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

C∵

=

,∴

=

,∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴

=

=

=

,故选项A、B错误;根据“相似三角形的周长比等于相似比,面积比等于相似比的平方”可知选项C正确,

选项D错误.故选C.精选ppt4.(2015四川绵阳,12,3分)如图,D是等边△ABC边AB上的一点,且AD∶DB=1∶2,现将△ABC折叠,使点C与D重合,折痕为

EF,点E、F分别在AC和BC上,则CE∶CF=

()A.

B.

C.

D.

精选ppt答案

B设等边△ABC的边长为3,则AD=1,BD=2,由折叠的性质可知∠C=∠EDF=60°,∴∠EDA+∠FDB=120°,在△AED中,∵∠A=60°,∴∠AED+∠ADE=120°,∴∠AED=∠BDF,又∵∠A=∠B,∴△AED∽

△BDF,∴

=

=

,又∵CE=DE,CF=DF,∴

=

,

=

,可得2CE=3CF-CE·CF,CF=3CE-CE·CF,∴2CE-3CF=CF-3CE,∴

=

.故选B.精选ppt5.(2018安徽,14,5分)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P在矩形ABCD的内部,点E在边BC上,满足△

PBE∽△DBC.若△APD是等腰三角形,则PE的长为

.答案3或

解析在矩形ABCD中,AD=BC=8,在△ABD中,由勾股定理可得BD=

=10,∵AB<AD,∴根据△PBE∽△DBC可知P点在线段BD上,当AD=PD=8时,由相似可得

=

=

⇒PE=

;当AP=PD时,P点为BD的中点,∴PE=

CD=3,故答案为3或

.思路分析根据AB<AD及已知条件先判断P点在线段BD上,再根据等腰三角形腰的情况分两

种情况:①AD=PD=8;②AP=PD,再由相似三角形中对应边的比相等求解即可.难点突破判断P点在线段BD上是解答本题的突破口.精选ppt6.(2016江苏南京,15,2分)如图,AB、CD相交于点O,OC=2,OD=3,AC∥BD.EF是△ODB的中位

线,且EF=2,则AC的长为

.

答案

解析∵EF是△ODB的中位线,∴OE=

OD=

,EF∥BD,∵AC∥BD,EF∥BD,∴AC∥EF,∴

=

,∴

=

,∴AC=

.精选ppt7.(2016湖北武汉,16,3分)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=5

,则BD长为

.

精选ppt答案2

解析如图,连接AC,过点D作DE⊥BC,交BC的延长线于E.∵∠ABC=90°,AB=3,BC=4,∴AC=5,

∵CD=10,DA=5

,∴AC2+CD2=AD2,∴∠ACD=90°,∴∠ACB+∠DCE=90°,∵∠ACB+∠BAC=90°,∴∠BAC=∠DCE,又∵∠ABC=∠DEC=90°,∴△ABC∽△CED,∴

=

=

,即

=

=

,∴CE=6,DE=8.在Rt△BED中,BD=

=

=2

.

精选ppt8.(2018江西,14,6分)如图,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交

AC于点E.求AE的长.

精选ppt解析∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD.∵AB∥CD,∴∠ABD=∠D,△ABE∽△CDE.∴∠CBD=∠D,

=

.∴BC=CD.∵AB=8,CA=6,CD=BC=4,∴

=

,∴AE=4.思路分析根据角平分线性质和平行线的性质求出∠D=∠CBD,进而可得BC=CD=4,通过△

ABE∽△CDE,得出含AE的比例式,求出AE的值.精选ppt方法总结证明三角形相似的常见方法:平行于三角形的一边的直线与其他两边或其延长线

相交,所构成的三角形与原三角形相似,相似的基本图形可分别记为“A”型和“X”型,如图

所示.在应用时要善于从复杂的图形中抽象出这些基本图形.

精选ppt9.(2016四川南充,24,10分)已知正方形ABCD的边长为1,点P为正方形内一动点,若点M在AB上,

且满足△PBC∽△PAM,延长BP交AD于点N,连接CM.(1)如图一,若点M在线段AB上,求证:AP⊥BN,AM=AN;(2)①如图二,在点P运动过程中,满足△PBC∽△PAM的点M在AB的延长线上时,AP⊥BN和AM

=AN是否成立(不需说明理由)?②是否存在满足条件的点P,使得PC=

?请说明理由.

精选ppt解析(1)证明:∵△PBC∽△PAM,∴∠PBC=∠PAM.

(1分)∵四边形ABCD是正方形,∴AD∥BC,∴∠PBC=∠ANP.∴∠PAM=∠ANP.

(2分)∵∠PAM+∠PAN=90°,∴∠ANP+∠PAN=90°.∴∠APN=90°,即AP⊥BN.

(3分)∵∠BAN=90°,AP⊥BN,∴∠BPA=∠BAN=90°.∵∠ABP=∠NBA,∴△ABP∽△NBA,∴

=

.

(4分)又∵△PBC∽△PAM,∴

=

.

(5分)精选ppt故

=

.又∵AB=BC,∴AM=AN.

(6分)(2)①点M在AB的延长线上时,AP⊥BN和AM=AN仍然成立.(7分)②不存在.理由如下:如图,以AB为直径,作半圆O,连接OC,OP.

∵BC=1,OB=

,∴OC=

.

(8分)∵AP⊥BN,∴点P一定在以点O为圆心、

为半径的半圆上(A,B两点除外).如果存在点P,那么OP+PC≥OC,则PC≥

.

(9分)精选ppt∵

>

,故不存在满足条件的点P,使得PC=

.

(10分)评析本题是以考查相似三角形为主的综合题,涉及正方形的性质、圆的性质等知识,有一定

难度.精选ppt10.(2015山东威海,23,10分)(1)如图①,已知∠ACB=∠DCE=90°,AC=BC=6,CD=CE,AE=3,∠CAE=45°,求AD的长;(2)如图②,已知∠ACB=∠DCE=90°,∠ABC=∠CED=∠CAE=30°,AC=3,AE=8,求AD的长.

图①图②精选ppt解析(1)连接BE.

(1分)

∵∠ACB=∠DCE=90°,∴∠ACB+∠ACE=∠DCE+∠ACE,即∠BCE=∠ACD.又∵AC=BC,DC=EC,∴△ACD≌△BCE,∴AD=BE.

(3分)∵AC=BC=6,∴AB=6

.

(4分)∵∠BAC=∠CAE=45°,精选ppt∴∠BAE=90°.在Rt△BAE中,AB=6

,AE=3,∴BE=

=9.∴AD=9.

(5分)(2)连接BE.

(6分)

在Rt△ACB和Rt△DCE中,∠ABC=∠DEC=30°,∴tan30°=

=

=

.∵∠ACB=∠DCE=90°,精选ppt∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,即∠ACD=∠BCE.∴△ACD∽△BCE.∴

=

=

.

(8分)∵∠BAC=60°,∠CAE=30°,∴∠BAE=90°.在Rt△ACB中,AC=3,∠ABC=30°,∴AB=6.在Rt△BAE中,AB=6,AE=8,∴BE=10.

(9分)∵

=

,∴AD=

.

(10分)评析求线段长的常见方法:①利用相似三角形的性质求线段长;②通过解直角三角形(含勾

股定理)求线段长,所以对于此类问题要从相似或解直角三角形入手,通过作辅助线等寻找解

题思路.精选ppt1.(2015甘肃兰州,5,4分)如图,线段CD两个端点的坐标分别为C(1,2)、D(2,0),以原点为位似中

心,将线段CD放大得到线段AB,若点B的坐标为(5,0),则点A的坐标为

()

A.(2,5)

B.(2.5,5)C.(3,5)

D.(3,6)考点二图形的位似答案

B设点A的坐标为(x,y),由位似图形的性质知,

=

=

,得x=2.5,y=5,则点A的坐标为(2.5,5).故选B.精选ppt2.(2015江苏镇江,17,3分)如图,坐标原点O为矩形ABCD的对称中心,顶点A的坐标为(1,t),AB∥x

轴,矩形A'B'C'D'与矩形ABCD是位似图形,点O为位似中心,点A'、B'分别是点A、B的对应点,

=k.已知关于x,y的二元一次方程组

(m,n是实数)无解.在以m,n为坐标(记为(m,n))的所有的点中,若有且只有一个点落在矩形A'B'C'D'的边上,则k·t的值等于

()

A.

B.1

C.

D.

精选ppt答案

D因为方程组

无解,所以mn=3,且n≠

,那么以实数m,n为坐标的点在反比例函数y=

的图象上,且y≠

.矩形A'B'C'D'与矩形ABCD的位似比为k,因为A(1,t),所以A'点的坐标为(k,kt),C'点的坐标为(-k,-kt),当矩形A'B'C'D'与函数y=

的图象有交点时,则交点至少有两个,分别是A'(k,kt),C'(-k,-kt),当kt=

时,A'

,C'

,又n≠

,所以A'

不在函数y=

的图象上,有且只有C'

在函数y=

的图象上,即当kt=

时,有且只有一个点在矩形A'B'C'D'的边上.评析本题以平面直角坐标系中的位似和方程组的解的存在性为背景,考查了反比例函数的

图象与性质,解题关键是运用中心对称的性质.本题属难题.精选ppt3.(2017甘肃兰州,17,4分)如图,四边形ABCD与四边形EFGH位似,位似中心是点O,

=

,则

=

.

答案

解析∵四边形ABCD与四边形EFGH位似,∴△OEF∽△OAB,△OFG∽△OBC,∴

=

=

,

=

=

.精选ppt4.(2018安徽,17,8分)如图,在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中,已知

点O,A,B均为网格线的交点.(1)在给定的网格中,以点O为位似中心,将线段AB放大为原来的2倍,得到线段A1B1(点A,B的对

应点分别为A1,B1).画出线段A1B1;(2)将线段A1B1绕点B1逆时针旋转90°得到线段A2B1.画出线段A2B1;(3)以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积是

个平方单位.

精选ppt解析(1)线段A1B1如图所示.

(3分)

(2)线段A2B1如图所示.

(6分)(3)20.

(8分)提示:根据(1)(2)可知四边形AA1B1A2是正方形,边长为

=2

,∴以A,A1,B1,A2为顶点的四边形AA1B1A2的面积为(2

)2=20(个平方单位).精选ppt5.(2016广西南宁,21,8分)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),

B(4,0),C(4,-4).(1)请画出△ABC向左平移6个单位长度后得到的△A1B1C1;(2)以点O为位似中心,将△ABC缩小为原来的

,得到△A2B2C2,请在y轴右侧画出△A2B2C2,并求出∠A2C2B2的正弦值.

精选ppt解析(1)△A1B1C1为所求作三角形.

(3分,正确作出一个点给1分)(2)△A2B2C2为所求作三角形.

(6分,正确作出一个点给1分)

根据勾股定理得A2C2=

=

,∴sin∠A2C2B2=

=

.

(8分)精选ppt考点一相似的性质与判定C组

教师专用题组1.(2018湖北黄冈,5,3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD为AB边上的高,CE为AB边上的中

线,AD=2,CE=5,则CD=

()A.2

B.3

C.4

D.2

答案

C在Rt△ABC中,因为CE为AB边上的中线,所以AB=2CE=2×5=10,又AD=2,所以BD=8,

易证△ACD∽△CBD,则CD2=AD·DB=2×8=16,所以CD=4,故选C.精选ppt2.(2016重庆,8,4分)△ABC与△DEF的相似比为1∶4,则△ABC与△DEF的周长比为

()A.1∶2

B.1∶3

C.1∶4

D.1∶16答案

C因为△ABC与△DEF的相似比为1∶4,所以由相似三角形周长的比等于相似比,得

△ABC与△DEF的周长比为1∶4,故选C.精选ppt3.(2016安徽,8,4分)如图,△ABC中,AD是中线,BC=8,∠B=∠DAC,则线段AC的长为

()

A.4

B.4

C.6

D.4

答案

B由AD是中线可得DC=

BC=4.∵∠B=∠DAC,∠C=∠C,∴△ADC∽△BAC,∴

=

,∴AC2=BC·DC=8×4=32,∴AC=4

,故选B.评析本题考查了相似三角形的判定与性质及三角形的中线,属容易题.精选ppt4.(2016广西南宁,11,3分)有3个正方形如图所示放置,阴影部分的面积依次记为S1,S2,则S1∶S2等

于

()

A.1∶

B.1∶2

C.2∶3

D.4∶9答案

D如图所示,由题意可知AG=GE=EF,BH=HC=

BC.设DE=a,则AG2=GE2=EF2=2a2,则AE2=4a2,即AE=2a,∴AD=3a,HC=

a,∵S1=

a2,S2=

a2,∴S1∶S2=4∶9.

精选ppt5.(2016黑龙江哈尔滨,9,3分)如图,在△ABC中,D、E分别为AB、AC边上的点,DE∥BC,BE与

CD相交于点F,则下列结论一定正确的是

()

A.

=

B.

=

C.

=

D.

=

答案

A∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴

=

=

,故选项A正确,故选A.精选ppt6.(2015山东聊城,7,3分)下列命题中的真命题是

()A.两边和一角分别相等的两个三角形全等B.相似三角形的面积比等于相似比C.正方形不是中心对称图形D.圆内接四边形的对角互补答案

D

A项,在两边和一角中,当角为两边中一边的对角时,这两个三角形不一定全等,故本

选项错误;B项,相似三角形面积比等于相似比的平方,故本选项错误;C项,正方形是中心对称图

形,故本选项错误;D项,圆内接四边形对角互补,故本选项正确.故选D.精选ppt7.(2014河北,13,3分)在研究相似问题时,甲、乙同学的观点如下:

对于两人的观点,下列说法正确的是

()A.两人都对

B.两人都不对C.甲对,乙不对

D.甲不对,乙对答案

A由题意知新三角形与原三角形的对应角相等,所以两个三角形相似,甲的观点正确;

新矩形与原矩形的对应角相等,但对应边的比并不相等,所以新矩形与原矩形不相似,乙的观点

也正确,故选A.精选ppt8.(2014贵州贵阳,7,3分)如图,在方格纸中,△ABC和△EPD的顶点均在格点上,要使△ABC∽△

EPD,则点P所在的格点为()

A.P1

B.P2

C.P3

D.P4

答案

C由题图可知,∠E=∠A=90°,要使△ABC∽△EPD,则

=

=2,所以EP=2AB=6,点P所在的格点为P3,故选C.评析本题考查相似三角形的判定,设计巧妙,属容易题.精选ppt9.(2018云南,5,3分)如图,已知AB∥CD,若

=

,则

=

.

答案

解析∵AB∥CD,∴∠A=∠C,∠B=∠D,∴△AOB∽△COD.∴

=

=

.精选ppt10.(2018辽宁沈阳,16,3分)如图,△ABC是等边三角形,AB=

,点D是边BC上一点,点H是线段AD上一点,连接BH、CH,当∠BHD=60°,∠AHC=90°时,DH=

.

精选ppt答案

解析延长AD至点E,使得HE=BH,连接BE、CE,

∵∠BHD=60°,∴△BHE是等边三角形,∴BH=BE=HE,∠BEH=60°,∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=60°,∴∠ABH=∠CBE,∴△ABH≌△CBE,∴∠BEC=

∠BHA=120°,∴∠HEC=60°,∵CH⊥AD,∴∠CHE=90°,设BH=x(x>0),则HE=x,CH=

x,过点B作BG⊥HE于G,则BG=

x,EG=

,∠BGD=∠CHD=90°,又∵∠BDG=∠CDH,∴△BDG∽△CDH,∴

=

=

=

,精选ppt∵BC=

,∴CD=

,又DH=

GH=

×

HE=

,由勾股定理得,DH2+CH2=CD2,即

+(

x)2=

,解得x=1,∴DH=

.疑难突破此类题型中,可根据等边三角形、60°这些条件,通过补全小等边三角形,构造全等

三角形,从而实现线段的转化.精选ppt11.(2017黑龙江哈尔滨,20,3分)如图,在矩形ABCD中,M为BC边上一点,连接AM,过点D作DE⊥

AM,垂足为E,若DE=DC=1,AE=2EM,则BM的长为

.

精选ppt答案

解析∵∠BAM+∠EAD=90°,∠EAD+∠EDA=90°,∴∠BAM=∠EDA.又∵∠B=∠AED=90°,∴△ADE∽△MAB.∴

=

,即

=

.∴AE=BM.由AE=2EM可设AE=2x,EM=x(x>0),则BM=2x,在Rt△ABM中,由勾股定理可知(2x+x)2=12+(2x)2,解得x=

(舍负),∴BM=2x=

.精选ppt12.(2016辽宁沈阳,16,3分)如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位线.

点M是边BC上一点,BM=3,点N是线段MC上的一个动点,连接DN,ME,DN与ME相交于点O.若△

OMN是直角三角形,则DO的长是

.

精选ppt答案

或

解析∵∠A=90°,AB=AC,BC=20,∴AB=AC=10

,∵DE是△ABC的中位线,∴DE∥BC,DE=

BC=10,BD=CE=5

.①当DN⊥BC时,△OMN为直角三角形(如图),易知△BDN为等腰直角三角形,∴BN=DN=5,∵BM=3,∴MN=2,∵DE∥BC,∴△ODE∽△ONM,∴

=

,即

=

,解得OD=

.

精选ppt②当DN⊥ME时,△OMN为直角三角形(如图),过点E作EF⊥BC,垂足为点F.易知△CEF为等腰直角三角形,∴EF=FC=5,∵BM=3,∴MF=20-3-5=12,在Rt△MFE中,ME=

=

=13,∵DE∥BC,∴∠DEO=∠EMF,∵∠DOE=∠EFM=90°,∴△ODE∽△FEM,∴

=

,即

=

,解得OD=

.综上所述,DO的长是

或

.评析对于几何探究型问题,分类讨论思想是重点考查内容.本题中,要对△OMN分两种情况

进行讨论,一是∠ONM为直角时,二是∠MON为直角时.精选ppt13.(2015山东临沂,18,3分)如图,在△ABC中,BD,CE分别是边AC,AB上的中线,BD与CE相交于点

O,则

=

.

答案2解析连接DE,∵BD,CE分别是AC,AB边上的中线,∴DE为△ABC的中位线,∴DE=

BC,DE∥BC,∴△OBC∽△ODE,∴

=

=2.精选ppt14.(2015重庆,15,4分)已知△ABC∽△DEF,△ABC与△DEF的相似比为4∶1,则△ABC与△

DEF对应边上的高之比为

.答案4∶1解析两个相似三角形对应边上的高之比等于相似比,所以答案是4∶1.精选ppt15.(2014四川成都,12,4分)如图,为估计池塘岸边A,B两点间的距离,在池塘的一侧选取点O,分

别取OA,OB的中点M,N,测得MN=32m,则A,B两点间的距离是

m.

答案64解析由题意易知MN为△OAB的中位线,根据三角形中位线的性质可得AB=2MN=2×32=64

m,故答案为64.精选ppt16.(2018云南昆明,23,12分)如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°,将△

ADP沿AP翻折得到△AD'P,PD'的延长线交边AB于点M,过点B作BN∥MP交DC于点N.(1)求证:AD2=DP·PC;(2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由;(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若

=

,求

的值.

精选ppt解析(1)证明:在矩形ABCD中,AD=BC,∠C=∠D=90°,∴∠DAP+∠APD=90°,∵∠APB=90°,∴∠CPB+∠APD=90°,∴∠DAP=∠CPB,

(1分)∴△ADP∽△PCB,∴

=

,

(2分)∴AD·CB=DP·PC.∵AD=BC,∴AD2=DP·PC.

(3分)(2)四边形PMBN为菱形,理由如下:

(4分)在矩形ABCD中,CD∥AB,∵BN∥PM,∴四边形PMBN为平行四边形,精选ppt∵△ADP沿AP翻折得到△AD'P,∴∠APD=∠APM,∵CD∥AB,∴∠APD=∠PAM,∴∠APM=∠PAM,

(6分)∵∠APB=90°,∴∠PAM+∠PBA=90°,∠APM+∠BPM=90°,又∵∠APM=∠PAM,∴∠PBA=∠BPM,∴PM=MB.又∵四边形PMBN为平行四边形,∴四边形PMBN为菱形.

(7分)(3)解法一:∵∠APM=∠PAM,∴PM=AM,精选ppt∵PM=MB,∴AM=MB,∵四边形ABCD为矩形,∴CD∥AB且CD=AB,设DP=a,则AD=2DP=2a,由AD2=DP·PC得PC=4a,∴DC=AB=5a,

(8分)∴MA=MB=

,∵CD∥AB,∴∠ABF=∠CPF,∠BAF=∠PCF,∴△BFA∽△PFC,∴

=

=

=

,

(9分)∴

=

,同理可得△MEA∽△PEC,精选ppt∴

=

=

=

,∴

=

,

(10分)∴

=

-

=

-

=

,

(11分)∵

∶

=

,∴

=

∶

=

.

(12分)解法二:过点F作FG∥PM,交MB于点G.

∵∠APM=∠PAM,精选ppt∴PM=AM,∵PM=MB,∴AM=MB,∵四边形ABCD为矩形,∴CD∥AB且CD=AB,设DP=a,则AD=2DP=2a,由AD2=DP·PC得PC=4a,∴DC=AB=5a,

(8分)∴MA=MB=

.∵CD∥AB,∴∠CPF=∠ABF,∠PCF=∠BAF,∴△PFC∽△BFA,∴

=

=

=

,

(9分)∵FG∥PM,精选ppt∴

=

=

,

(10分)∴

=

,∵AM=MB,∴

=

,∵FG∥PM,∴

=

=

.

(12分)思路分析(1)根据矩形的性质以及所给条件,证明△ADP∽△PCB,从而得AD2=DP·PC;(2)由

翻折得∠APD=∠APM,由等角的余角相等得∠PBA=∠BPM,从而得PM=MB,进而易得四边形

PMBN为菱形;(3)解法一:设DP=a,则可求得AD=2a,PC=4a,AB=5a,由CD∥AB,可得△BFA∽△

PFC,△MEA∽△PEC,所以

=

,

=

,进而可得

的值.解法二:过点F作FG∥PM,交MB于点G,设DP=a,可求得AD=2a,PC=4a,AB=5a,MA=MB=

,根据CD∥AB,FG∥PM,AM=MB这些条件可求得

的值.精选ppt解题关键本题主要考查了矩形的性质,轴对称,菱形的判定,相似三角形的判定与性质等知

识,题目综合性强、计算量大,属难题.解题的关键在于从复杂的条件中确定解决问题所需的条

件,进而推理、论证、计算,使题目得以解答.精选ppt17.(2017安徽,23,14分)已知正方形ABCD,点M为边AB的中点.(1)如图1,点G为线段CM上的一点,且∠AGB=90°,延长AG,BG分别与边BC,CD交于点E,F.①求证:BE=CF;②求证:BE2=BC·CE;(2)如图2,在边BC上取一点E,满足BE2=BC·CE,连接AE交CM于点G,连接BG并延长交CD于点F,

求tan∠CBF的值.

图1图2精选ppt解析(1)①证明:∵四边形ABCD为正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCF=90°.又∠AGB=90°,∴∠BAE+∠ABG=90°.又∠ABG+∠CBF=90°,∴∠BAE=∠CBF.∴△ABE≌△BCF(ASA),∴BE=CF.

(4分)②证明:∵∠AGB=90°,点M为AB的中点,∴MG=MA=MB,∴∠GAM=∠AGM.又∵∠CGE=∠AGM,从而∠CGE=∠CBG.又∠ECG=∠GCB,∴△CGE∽△CBG.∴

=

,即CG2=BC·CE.由∠CFG=∠GBM=∠BGM=∠CGF,得CF=CG.由①知,BE=CF,∴BE=CG.∴BE2=BC·CE.

(9分)(2)解法一:延长AE,DC交于点N(如图1).精选ppt

图1∵四边形ABCD是正方形,∴AB∥CD.∴∠N=∠EAB.又∠CEN=∠BEA,∴△CEN∽△BEA.故

=

,即BE·CN=AB·CE.∵AB=BC,BE2=BC·CE,∴CN=BE.由AB∥DN知,

=

=

.又AM=MB,∴FC=CN=BE.不妨令正方形的边长为1.设BE=x,则由BE2=BC·CE,得x2=1·(1-x).精选ppt解得x1=

,x2=

(舍去).∴

=

.于是tan∠CBF=

=

=

.

(14分)解法二:不妨令正方形的边长为1.设BE=x,则由BE2=BC·CE,得x2=1·(1-x).解得x1=

,x2=

(舍去),即BE=

.作GN∥BC交AB于N(如图2),

图2则△MNG∽△MBC.∴

=

=

.精选ppt设MN=y,则GN=2y,GM=

y.∵

=

,即

=

,解得y=

.∴GM=

.从而GM=MA=MB,此时点G在以AB为直径的圆上.∴△AGB是直角三角形,且∠AGB=90°.由(1)知BE=CF,于是tan∠CBF=

=

=

.

(14分)精选ppt

18.(2016福建福州,25,12分)如图,在△ABC中,AB=AC=1,BC=

,在AC边上截取AD=BC,连接BD.(1)通过计算,判断AD2与AC·CD的大小关系;(2)求∠ABD的度数.

精选ppt解析(1)∵AD=BC=

,∴AD2=

=

.∵AC=1,∴CD=1-

=

,∴AD2=AC·CD.(2)∵AD2=AC·CD,AD=BC,∴BC2=AC·CD,即

=

.又∠C=∠C,∴△ABC∽△BDC.∴

=

.又AB=AC,∴BD=BC=AD.∴∠A=∠ABD,∠ABC=∠C=∠BDC.设∠A=∠ABD=x,则∠BDC=∠A+∠ABD=2x,精选ppt∴∠ABC=∠C=∠BDC=2x,∴∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°.解得x=36°.∴∠ABD=36°.评析本题主要考查相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的

应用,证得△ABC∽△BDC是解题的关键.精选ppt19.(2016湖北武汉,23,10分)在△ABC中,P为边AB上一点.(1)如图1,若∠ACP=∠B,求证:AC2=AP·AB;(2)若M为CP的中点,AC=2.①如图2,若∠PBM=∠ACP,AB=3,求BP的长;②如图3,若∠ABC=45°,∠A=∠BMP=60°,直接写出BP的长.

图1图2图3精选ppt解析(1)证明:∵∠ACP=∠B,∠A=∠A,∴△ACP∽△ABC.

(2分)∴

=

,∴AC2=AP·AB.

(3分)(2)①解法一:延长PB至点D,使BD=PB,连接CD.

∵M为CP的中点,∴CD∥MB.∴∠D=∠PBM,

(4分)∵∠PBM=∠ACP,∴∠D=∠PBM=∠ACP.由(1)得AC2=AP·AD,

(5分)精选ppt设BP=x,则22=(3-x)(3+x).解得x=

(舍去负根),即BP=

.

(7分)解法二:取AP的中点E,连接EM.

∵M为CP的中点,∴ME∥AC,EM=

AC=1.

(4分)∴∠PME=∠ACP,∵∠PBM=∠ACP,∴∠PME=∠PBM.由(1)得EM2=EP·EB,

(5分)设BP=x,则12=

·

.解得x=

(舍去负根),即BP=

.

(7分)②BP=

-1.

(10分)精选ppt20.(2015江苏连云港,25,10分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为AC延长线上一点,AC=3

CD.过点D作DH∥AB,交BC的延长线于点H.(1)求BD·cos∠HBD的值;(2)若∠CBD=∠A,求AB的长.

精选ppt解析(1)∵DH∥AB,∴∠BHD=∠ABC=90°,∵∠ACB=∠DCH,∴△ABC∽△DHC,∴

=

.∵AC=3CD,BC=3,∴CH=1.∴BH=BC+CH=4.在Rt△BHD中,cos∠HBD=

,∴BDcos∠HBD=BH=4.

(4分)(2)解法一:∵∠A=∠CBD,∠ABC=∠BHD,∴△ABC∽△BHD.∴

=

.

(6分)∵△ABC∽△DHC,∴

=

=

,∴AB=3DH.∴

=

,DH=2,∴AB=6.

(10分)解法二:∵∠CBD=∠A,∠BDC=∠ADB,∴△CDB∽△BDA.精选ppt∴

=

,BD2=CD·AD,∴BD2=CD·4CD=4CD2.∴BD=2CD.

(6分)∵△CDB∽△BDA,∴

=

,∴

=

,∴AB=6.

(10分)精选ppt21.(2015安徽,23,14分)如图1,在四边形ABCD中,点E、F分别是AB、CD的中点.过点E作AB的

垂线,过点F作CD的垂线,两垂线交于点G,连接GA、GB、GC、GD、EF,若∠AGD=∠BGC.(1)求证:AD=BC;(2)求证:△AGD∽△EGF;(3)如图2,若AD、BC所在直线互相垂直,求

的值.

精选ppt解析(1)证明:由题意知GE垂直平分AB,∴GA=GB.同理,GD=GC.在△AGD和△BGC中,∵GA=GB,∠AGD=∠BGC,GD=GC,∴△AGD≌△BGC.∴AD=BC.

(5分)(2)证明:∵∠AGD=∠BGC,∴∠AGB=∠DGC.在△AGB和△DGC中,

=

,∠AGB=∠DGC,∴△AGB∽△DGC.∴

=

.

(8分)又∠AGE=∠DGF,∴∠AGD=∠EGF,∴△AGD∽△EGF.

(10分)(3)如图1,延长AD交GB于点M,交BC的延长线于点H,则AH⊥BH.

图1精选ppt由△AGD≌△BGC,知∠GAD=∠GBC.在△GAM和△HBM中,∠GAD=∠GBC,∠GMA=∠HMB.∴∠AGB=∠AHB=90°,

(12分)∴∠AGE=

∠AGB=45°,∴

=

.又△AGD∽△EGF,∴

=

=

.

(14分)(本小题解法有多种,如可按图2和图3作辅助线求解,过程略)

图2图3评析本题综合考查了等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边中线、三角形全等和相似

的判定方法和性质,属于拓展探索型题,学生要有较强的基本功和综合分析问题的能力.精选ppt22.(2015福建福州,25,13分)如图①,在锐角△ABC中,D,E分别为AB,BC中点,F为AC上一点,且∠AFE=∠A,DM∥EF交AC于点M.(1)求证:DM=DA;(2)点G在BE上,且∠BDG=∠C,如图②,求证:△DEG∽△ECF;(3)在图②中,取CE上一点H,使∠CFH=∠B,若BG=1,求EH的长.

精选ppt解析

图①(1)证明:∵DM∥EF,∴∠AMD=∠AFE.∵∠AFE=∠A,∴∠AMD=∠A.∴DM=DA.(2)证明:∵D,E分别为AB,BC的中点,精选ppt∴DE∥AC.图②∴∠DEB=∠C,∠BDE=∠A.又∠AFE=∠A,∴∠BDE=∠AFE.∴∠BDG+∠GDE=∠C+∠FEC.∵∠BDG=∠C,∴∠EDG=∠FEC.精选ppt∴△DEG∽△ECF.图③(3)解法一:如图③所示,∵∠BDG=∠C=∠DEB,∠B=∠B,∴△BDG∽△BED.∴

=

,即BD2=BE·BG.∵∠A=∠AFE,∠B=∠CFH,∴∠C=180°-∠AFE-∠CFH=∠EFH.精选ppt又∵∠FEH=∠CEF,∴△EFH∽△ECF.∴

=

,即EF2=EH·EC.∵DE∥AC,DM∥EF,∴四边形DEFM是平行四边形.∴EF=DM=AD=BD.∵BE=EC,∴EH=BG=1.解法二:如图④,在DG上取一点N,使DN=FH.

图④精选ppt∵∠A=∠AFE,∠ABC=∠CFH,∠C=∠BDG,∴∠EFH=180°-∠AFE-∠CFH=∠C=∠BDG.∵DE∥AC,DM∥EF,∴四边形DEFM是平行四边形.∴EF=DM=AD=BD.∴△BDN≌△EFH.∴BN=EH,∠BND=∠EHF.∴∠BNG=∠FHC.∵∠BDG=∠C,∠DBG=∠CFH,∴∠BGD=∠FHC.∴∠BNG=∠BGD.∴BN=BG.∴EH=BG=1.解法三:如图⑤,取AC中点P,连接PD,PE,PH,则PE∥AB.精选ppt

图⑤∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B,∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,∴△CEP∽△CFH.∴

=

.∴△CEF∽△CPH.∴∠CFE=∠CHP.由(2)可得∠CFE=∠DGE,∴∠CHP=∠DGE.∴PH∥DG.∵D,P分别为AB,AC的中点,∴DP∥GH,DP=

BC=BE.∴四边形DGHP是平行四边形.精选ppt∴DP=GH=BE.∴EH=BG=1.解法四:如图⑥,作△EHF的外接圆交AC于另一点P,连接PE,PH.

图⑥则∠HPC=∠HEF,∠FHC=∠CPE.∵∠B=∠CFH,∠C=∠C,∴∠A=∠CHF.∴∠A=∠CPE.∴PE∥AB.∵DE∥AC,∴四边形ADEP是平行四边形.∴DE=AP=

AC.精选ppt∴DE=CP.由(2)可得∠GDE=∠CEF,∠DEB=∠C,∴∠GDE=∠CPH.∴△DEG≌△PCH.∴GE=HC.∴EH=BG=1.图⑦精选ppt解法五:如图⑦,取AC中点P,连接PE,PH,则PE∥AB.∴∠PEC=∠B.又∠CFH=∠B,∴∠PEC=∠CFH.又∠C=∠C,∴△CEP∽△CFH.∴

=

.∴△CEF∽△CPH.∴∠CEF=∠CPH.由(2)可得∠CEF=∠EDG,∠C=∠DEG.∵D,E分别是AB,BC的中点,∴DE=

AC=PC.∴△DEG≌△PCH.∴CH=EG.∴EH=BG=1.精选ppt1.(2017四川成都,8,3分)如图,四边形ABCD和A'B'C'D'是以点O为位似中心的位似图形,若OA∶

OA'=2∶3,则四边形ABCD与四边形A'B'C'D'的面积比为

()

A.4∶9

B.2∶5

C.2∶3

D.

∶

考点二图形的位似答案

A由位似图形的性质知

=

=

,所以

=

=

.故选A.精选ppt2.(2015甘肃兰州,17,4分)如果

=

=

=k(b+d+f≠0),且a+c+e=3(b+d+f),那么k=

.答案3解析由题意得a=bk,c=dk,e=fk,则a+c+e=k(b+d+f)=3(b+d+f),故k=3.精选ppt3.(2015天津,16,3分)如图,在△ABC中,DE∥BC,分别交AB,AC于点D,E.若AD=3,DB=2,BC=6,则

DE的长为

.

答案

解析∵DE∥BC,∴△ADE∽△ABC,∴

=

,∴

=

,∴

=

,∴DE=

.精选ppt4.(2018陕西,20,7分)周末,小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽.测量时,他们

选择了河对岸岸边的一棵大树,将其底部作为点A,在他们所在的岸边选择了点B,使得AB与河

岸垂直,并在B点竖起标杆BC,再在AB的延长线上选择点D,竖起标杆DE,使得点E与点C、A共线.已知:CB⊥AD,ED⊥AD,测得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.测量示意图如图所示.请根据相关测量信息,求河宽AB.

精选ppt解析∵CB⊥AD,ED⊥AD,∴∠ABC=∠ADE=90°.∵∠BAC=∠DAE,∴△ABC∽△ADE,

(3分)∴

=

.

(5分)∵BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.∴

=

,∴AB=17m.∴河宽AB为17m.

(7分)思路分析首先根据∠ABC=∠ADE,∠BAC=∠DAE判定△ABC∽△ADE,再根据相似三角形

的性质得出

=

,进而可求得AB的值.精选ppt方法指导解与三角形有关的实际应用题时应注意的事项.①审题:结合图形通读题干,第一时

间锁定采用的知识点,如:观察题图是否含有已知度数的角,如果含有,考虑利用锐角三角函数

解题.如果仅涉及三角形的边长,则采用相似三角形的性质解题.②筛选信息:由于实际问题文

字阅读量较大,因此筛选有效信息尤为关键.③构造图形:只要是与三角形有关的实际问题都会

涉及图形的构造,如果题干中给出了相应的图形,则可直接利用所给图形进行计算,必要时可添

加辅助线;若未给出图形,则需要通过②中获取的信息构造几何图形进行解题.精选ppt5.(2015宁夏,20,6分)在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(2,-4),B(3,-2),C(6,-3).(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;(2)以M点为位似中心,在网格中画出△A1B1C1的位似图形△A2B2C2,使△A2B2C2与△A1B1C1的相

似比为2∶1.

精选ppt解析(1)如图所示.

(3分)(2)如图所示.

(6分)精选ppt考点一相似的性质与判定1.(2017郑州二模,6)如图,两条直线l4,l5分别被三条平行直线l1,l2,l3所截,若AB=3,BC=6,DE=2,则

DF的长为

()

A.4

B.5

C.6

D.7三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组答案

C∵l1∥l2∥l3,∴

=

,∴

=

,∴EF=4,∴DF=DE+EF=6,故选C.精选ppt2.(2016安阳一模,6)如图,AB∥CD,AD与BC相交于点O,若AO=2,DO=4,BO=3,则BC的长为

(

)

A.6

B.9

C.12

D.15答案

B∵AB∥CD,∴

=

,∴

=

.∴CO=

=6,∴BC=BO+OC=3+6=9.故选B.精选ppt3.(2018郑州二模,13)如图,在△ABC中,∠C=90°,D是AC上一点,DE⊥AB于点E,若AC=8,BC=6,

DE=3,则AD的长为

.

答案5解析在Rt△ABC中,AB=

=

=10,∵DE⊥AB,∴∠AED=90°,∴∠C=∠AED,∴△AED∽△ACB,∴

=

,∴AD=5.精选ppt4.(2017开封一模,12)如图,在△ABC中,

=

,DE∥AC,则DE∶AC=

.

答案5∶8解析在△ABC中,DE∥AC,∴△BDE∽△BAC,∴

=

.∵

=

,∴

=

,∴

=

.精选ppt5.(2016郑州一模,10)已知四条线段a,b,c,d是成比例线段,即

=

,其中a=3cm,b=2cm,c=6cm,则d=

cm.答案4解析因为a=3cm,b=2cm,c=6cm,

=

,所以

=

,所以d=4cm.精选ppt6.(2018信阳一模,22)(1)问题发现:如图①,在等边三角形ABC中,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等边

三角形AMN,连接CN,NC与AB的位置关系为

;(2)深入探究:如图②,在等腰三角形ABC中,BA=BC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作等腰三角形

AMN,使∠ABC=∠AMN,AM=MN,连接CN,试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由;(3)拓展延伸:如图③,在正方形ADBC中,AD=AC,点M为BC边上异于B、C的一点,以AM为边作正方形AMEF,

点N为正方形AMEF的中心,连接CN,若BC=10,CN=

,试求EF的长.

精选ppt解析(1)NC∥AB.(2)∠ABC=∠ACN,理由如下:∵

=

=1且∠ABC=∠AMN,∴△ABC∽△AMN,∴

=

.∵AB=BC,∴∠BAC=

(180°-∠ABC),∵AM=MN,∴∠MAN=

(180°-∠AMN),∴∠BAC=∠MAN,∠BAM=∠CAN,∴△ABM∽△ACN,∴∠ABC=∠ACN.(3)如图,连接AB,AN,∵四边形ADBC,AMEF为正方形,点N为正方形AMEF的中点,∴∠ABC=∠BAC=45°,∠MAN=45°,精选ppt∴∠BAC-∠MAC=∠MAN-∠MAC,即∠BAM=∠CAN.∵

=

=

,∴△ABM∽△ACN,∴

=

=

,∴BM=

CN=2,CM=BC-BM=8.在Rt△AMC中,AM=

=

=2

.∴EF=AM=2

.

精选ppt思路分析(1)根据△ABC,△AMN为等边三角形,运用判定定理SAS证明△BAM≌△CAN,即可

得到∠B=∠ACN=∠BAC,得出NC∥AB;(2)根据条件判定△ABC∽△AMN,根据相