（河北专版）中考数学一轮复习 第八章 专题拓展 8.3 几何最值问题（试卷部分）

§8.3几何最值问题中考数学

(河北专用)精选ppt一、利用“垂线段最短”求最值好题精练1.(2018秦皇岛海港期末,7)直线y=

x-3与x轴,y轴分别交于A,B两点,P是以C(0,1)为圆心,1为半径的圆上的一动点,连接PA,PB,则△PAB面积最大值是

()

A.8

B.12

C.

D.

精选ppt答案

C当x=0时,y=-3,点B的坐标为(0,-3);当y=0时,

x-3=0,x=4,∴点A的坐标为(4,0).∴AB=

=5.过C作CD⊥AB,垂足为D,延长DC交☉C于点P,此时△PAB的面积取最大值.∵∠BDC=∠AOB=90°,∠ABO=∠CBD,∴△CBD∽△ABO,∴

=

,∴

=

,∴CD=

.∴S△PAB的最大值=

×5×

=

,故选C.精选ppt2.(2016山东东营,14,3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,AB=4,BC>AB,点D在BC上,以AC为对角

线的所有平行四边形ADCE中,DE的最小值是

.

答案4解析∵四边形ADCE是平行四边形,∴AE∥DC.易知当DE⊥BC时,DE最短,此时DE=AB=4.精选ppt二、利用“轴对称”求最值1.(2018天津,11,3分)如图,在正方形ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,P为对角线BD上的一个

动点,则下列线段的长等于AP+EP最小值的是

()

A.AB

B.DE

C.BD

D.AF精选ppt答案

D在正方形ABCD中,连接CE、PC.

∵点A与点C关于直线BD对称,∴AP=CP,∴AP+EP的最小值为EC.∵E,F分别为AD,BC的中点,∴DE=BF=

AD.∵AB=CD,∠ABF=∠ADC=90°,∴△ABF≌△CDE.∴AF=CE.故选D.思路分析

点A关于直线BD的对称点为点C,连接CE,AP+EP的最小值就是线段CE的长度;通

过证明△CDE≌△ABF,得CE=AF,即可得到PA+PE的最小值等于线段AF的长.解后反思

本题考查轴对称,正方形的性质,主要依据“两点之间线段最短”.只要作出点A(或

点E)关于直线BD的对称点C(或G),再连接EC(或AG),所得的线段长为两条线段和的最小值.精选ppt2.(2017天津,11,3分)如图,在△ABC中,AB=AC,AD,CE是△ABC的两条中线,P是AD上的一个动

点,则下列线段的长等于BP+EP最小值的是

()

A.BC

B.CE

C.AD

D.AC答案

B如图,连接PC,∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC,∴PB=PC,∴PB+PE=PC+PE,∵PE+PC≥CE,∴当P、C、E三点共线时,PB+PE的值最小,最小

值为CE,故选B.

思路分析

连接PC,先证PB=PC,从而可得当P、C、E三点共线时,PB+PE的值最小,最小值为CE.精选ppt3.(2015辽宁营口,10,3分)如图,点P是∠AOB内任意一点,OP=5cm,点M和点N分别是射线OA和

射线OB上的动点,△PMN周长的最小值是5cm,则∠AOB的度数是

()

A.25°

B.30°

C.35°

D.40°精选ppt答案

B分别作点P关于OA所在直线、OB所在直线的对称点D、C,连接CD,分别交OA、

OB于点M、N,连接OC、OD,此时△PMN的周长最小,如图所示:

∵点P关于OA所在直线的对称点为D,关于OB所在直线的对称点为C,∴PM=DM,OP=OD,∠

DOA=∠POA,PN=CN,OP=OC,∠COB=∠POB,∴OC=OP=OD,∠AOB=

∠COD,∵△PMN周长的最小值是5cm,∴CD=5cm,∵OP=5cm,∴OC=OD=CD=5cm,即△OCD是等边三角形,∴∠COD=60°,∴∠AOB=30°.故选B.精选ppt三、利用“隐形圆”求最值1.(2018秦皇岛海港一模,13)如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=3

,点P是BC边上的动点,现将△PCD沿直线PD折叠,使点C落在点C1处,则点B到点C1的最短距离为

()

A.5

B.4

C.3

D.2答案

C将△PCD沿直线PD折叠,则DC=DC1,显然点C1在以点D为圆心,CD长为半径的圆上,

连接BD交☉D于一点,这个交点到点B的距离即为点B到点C1的最短距离,∵AB=CD=3,BC=3

,∴BD=

=

=6,∴点B到点C1的最短距离=6-3=3,故选C.精选ppt2.(2014四川成都,24,4分)如图,在边长为2的菱形ABCD中,∠A=60°,M是AD边的中点,N是AB边

上一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则A'C长度的最小值是

.

答案

-1精选ppt解析过点M作MF⊥CD,交CD的延长线于F.由题意可知MA、MA'是定值,A'C的长度最小时,A'在MC上(如图).∵菱形ABCD的边长为2,∠A=

60°,M是AD的中点,∴MD=MA=1,∠MDF=60°.∴MF=MDsin60°=

,DF=MDcos60°=

.∴CF=CD+DF=

.在Rt△MFC中,由勾股定理得MC=

=

.∵△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,∴MA'=MA=1.∴A'C=MC-MA'=

-1.

精选ppt3.(2015广东梅州,23,10分)在Rt△ABC中,∠A=90°,AC=AB=4,D,E分别是边AB,AC的中点.若等

腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转,得到等腰Rt△AD1E1,设旋转角为α(0°<α≤180°),记直线BD1与CE

1的交点为P.(1)如图1,当α=90°时,线段BD1的长等于

,线段CE1的长等于

;(直接填写结果)(2)如图2,当α=135°时,求证:BD1=CE1,且BD1⊥CE1;(3)①设BC的中点为M,则线段PM的长为

;②点P到AB所在直线的距离的最大值为

.(直接填写结果)

精选ppt解析(1)2

;2

.

(2分)(2)证明:∵等腰Rt△AD1E1是由等腰Rt△ADE绕点A逆时针旋转135°得到的,∴AD1=AE1,∠D1AB

=∠E1AC=135°,

(3分)又AB=AC,∴△D1AB≌△E1AC.

(4分)∴BD1=CE1,且∠D1BA=∠E1CA.

(5分)记直线BD1与AC交于点F,∴∠BFA=∠CFP,

(6分)∴∠CPF=∠FAB=90°,∴BD1⊥CE1.

(7分)(3)①2

;

(8分)②1+

.

(10分)(提示:①点P在以BC为直径的圆上,得PM=2

;②D1,E1在以A为圆心,AD为半径的圆上,当BD1所在直线与圆A相切时,直线BD1与CE1的交点P到直线AB的距离最大,此时四边形AD1PE1是正

方形,PD1=2,PB=2+2

,作PG⊥AB,交AB所在直线于点G,则PG=1+

为所求)精选ppt四、数形结合法求最值1.(2015吉林长春,14,3分)如图,在平面直角坐标系中,点A在抛物线y=x2-2x+2上运动,过点A作AC

⊥x轴于点C,以AC为对角线作矩形ABCD,连接BD.则对角线BD的最小值为

.

答案1解析∵四边形ABCD是矩形,∴AC=BD.当A在抛物线的顶点处时,AC最短,此时A(1,1),AC=1,∴BD=1.即对角线BD的最小值为1.精选ppt2.(2014湖北鄂州,16,3分)如图,正方形ABCD的边长是1,点M,N分别在BC,CD上,使得△CMN的

周长为2,则△MAN的面积的最小值为

.

答案

-1精选ppt解析延长CB至L,使BL=DN,则Rt△ABL≌Rt△ADN,故AL=AN,∵CM+CN+MN=2,CD+CB=CM+CN+DN+MB=1+1=2,∴MN=DN+MB,又DN=BL,∴MN=BL+BM=ML,在△AMN和△AML中,

∴△AMN≌△AML,∴∠MAN=∠MAL=45°,设CM=x,CN=y,MN=z,则x2+y2=z2,∵x+y+z=2,则x=2-y-z,∴(2-y-z)2+y2=z2,整理得2y2+(2z-4)y+(4-4z)=0,∴Δ=4(z-2)2-32(1-z)≥0,即(z+2+2

)(z+2-2

)≥0,又∵z>0,∴z≥2

-2,当且仅当x=y=2-

时等号成立,此时S△AMN=S△AML=

ML·AB=

z.因此,当z=2

-2,x=y=2-

时,S△AMN取到最小值

-1.精选ppt一、利用“垂线段最短”求最值(2014新疆乌鲁木齐,10,4分)如图,半径为3的☉O内有一点A,OA=

,点P在☉O上,当∠OPA最大时,PA的长等于

()

A.

B.

C.3

D.2

教师专用题组答案

B∵OA、OP是定值,∴在△OPA中,当∠OPA取最大值,即PA⊥OA时,PA取最小值.在直角三角形OPA中,OA=

,OP=3,∴PA=

=

.故选B.精选ppt二、利用“轴对称”求最值1.(2018新疆,9,5分)如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M,N分别是AB,

BC边上的中点,则MP+PN的最小值是

()A.

B.1

C.

D.2答案

B如图,取AD的中点M',连接M'N,M'P,则有MP=M'P.MP+PN的最小值为线段M'N的长,

即菱形边长1.故选B.

思路分析

先确定M关于直线AC的对称点M‘,再借助两点之间线段最短来确定线段和的最小值.解题关键

解决本题的关键是要借助轴对称将MP+PN转化为M'P+PN,进而借助两点之间线

段最短来解决.精选ppt2.(2017山东泰安,24,3分)如图,∠BAC=30°,M为AC上一点,AM=2,点P是AB上的一动点,PQ⊥

AC,垂足为点Q,则PM+PQ的最小值为

.

答案

解析作点M关于AB的对称点N,过N作NQ⊥AC于Q,交AB于P,则NQ的长即为PM+PQ的最小值,设MN与AB交于点D,则MD⊥AB,DM=DN,∵∠NPB=∠APQ,∴∠N=∠BAC=30°,∵∠BAC=30°,AM=2,∴MD=

AM=1,∴MN=2,∴NQ=MN·cos∠N=2×

=

.即PM+PQ的最小值为

.精选ppt3.(2014四川资阳,15,3分)如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是AB边上的一点,且AE=3,点Q为

对角线AC上的动点,则△BEQ周长的最小值为

.

答案6解析连接BD,DE,∵四边形ABCD是正方形,∴点B与点D关于直线AC对称,∴DE的长即为BQ+QE的最小值,∵DE=BQ+QE=

=

=5,∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6.精选ppt三、利用“隐形圆”求最值1.(2017四川德阳,17,3分)如图,已知☉C的半径为3,圆外一定点O满足OC=5,点P为☉C上一动

点,经过点O的直线l上有两点A、B,且OA=OB,∠APB=90°,l不经过点C,则AB的最小值为

.

答案4精选ppt解析如图,连接OP,PC,OC,

∵OP+PC≥OC,∴当点O,P,C三点共线时,OP最短,如图,∵OA=OB,∠APB=90°,

∴点P在以O为圆心,AB长为直径的圆上,∴☉O与☉C相切时,OP最短,∵OC=5,CP=3,∴OP=5-3=2,∴AB=2OP=4.精选ppt2.(2015湖北武汉,10,3分)如图,△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中

点,直线AG、FC相交于点M.当△EFG绕点D旋转时,线段BM长的最小值是

()

A.2-

B.

+1C.

D.

-1精选ppt答案

D取AC的中点O,连接AD、DG、BO、OM,如图.

∵△ABC,△EFG均是边长为2的等边三角形,点D是边BC、EF的中点,∴AD⊥BC,GD⊥EF,DA

=DG,DC=DF,∴∠ADG=90°-∠CDG=∠FDC,

=

,∴△DAG∽△DCF,∴∠DAG=∠DCF.∴A、D、C、M四点共圆.根据两点之间线段最短可得BO≤BM+OM,即BM≥BO-OM,当M在线段BO与该圆的交点处时,线段BM的长最小,此时,BO=

=

=

,OM=

AC=1,则BM=BO-OM=

-1.故选D.精选ppt四、数形结合法求最值1.(2017云南,23,12分)已知AB是☉O的直径,PB是☉O的切线,C是☉O上的点,AC∥OP,M是直径

AB上的动点,A与直线CM上的点连线距离的最小值为d,B与直线CM上的点连线距离的最小值

为f.(1)求证:PC是☉O的切线;(2)设OP=

AC,求∠CPO的正弦值;(3)设AC=9,AB=15,求d+f的取值范围.

精选ppt解析(1)证明:如图1,连接OC,∵OA=OC,∴∠A=∠OCA,∵AC∥OP,∴∠A=∠BOP,∠ACO=∠COP,∴∠COP=∠BOP,∵PB是☉O的切线,∴∠OBP=90°.在△POC与△POB中,

∴△COP≌△BOP,∴∠OCP=∠OBP=90°,∴PC是☉O的切线.(2)如图1,过O作OD⊥AC于D,则∠ODC=∠OCP=90°,CD=

AC,∵AC∥OP,∴∠OCA=∠COP,∴△ODC∽△PCO,∴

=

,∴CD·OP=OC2,图1精选ppt∵OP=

AC,∴OP=3CD,即CD=

OP,∴

OP·OP=OC2,∴

=

,∴sin∠CPO=

=

.(3)解法一:如图1,连接BC,∵AB是☉O的直径,∴AC⊥BC,∵AC=9,AB=15,∴BC=

=12,A与直线CM上的点连线距离的最小值即为点A到直线CM的垂线段的长,B与直线CM上的点连

线距离的最小值即为点B到直线CM的垂线段的长.当M与A重合时,d=0,f=BC=12,∴d+f=12,当CM⊥AB时,d=AM,f=BM,∴d+f=AB=15,当M与B重合时,d=9,f=0,∴d+f=9,∴d+f的取值范围是9≤d+f≤15.解法二:如图2,过点A作AE⊥直线MC于点E