第一章概率论的基本概念

第一章概率论的基本概念

1.引言

确定性现象：在一定条件下必然发生的现象。例如：

•向上抛一石子必然下落

•同性电荷必不相互吸引

•1+1=2,等等

不确定性现象（也称为偶然性现象或随机现象）：在一次观察

或试验不能肯定结果的现象。例如：

•抛同一枚硬币，其结果可能是正面朝上，也可能是反

面朝上。抛掷之前，无法肯定抛掷的结果是什么；

•用炮向同一目标射击，各次弹着点不尽相同，在射击

之前无法预测弹着点的确切的位置。

・新生婴儿是男婴和女婴？

•人的身高，等等

统计规律性：

上述偶然现象有没有规律性？

在进行大量试验时，偶然现象会呈现某种规律。

这类现象，在试验或观察之前不能预知确切的结果，但在大

量重复试验或观察下，却呈现出某种规律性，称为随机现象的统

计规律性。如：

•多次重复抛一枚硬币，得到正面朝上大致有一半，抛掷多

次，正面和背面出现的次数比例总是接近1:1,而且大体

上抛掷次数愈多，愈接近这个比值。历史上，蒲丰掷过4040

次，得到2048次正面，皮尔逊掷过24000次，得到12012

次正面。

•用炮射击同一目标的弹着点，按照一定规律分布。

•新生婴儿中男婴和女婴的比例大约总是1：lo

•人的身高符合“直方图”。

在个别试验中，其结果呈现出不确定性；但在大量重复试验

时，其结果又具有统计规律性的现象，称之为随机现象。概率论

与数理统计是研究和揭示随机现象统计规律性的一门数学学科。

数理统计是以概率论为理论基础的一个数学分支，是伴随着

概率论的发展而发展起来的。

•人口统计

•产品抽样检验等。

概率论是数理统计的基础，而数理统计是概率论的一种应

用。

简史：

17世纪，法国数学家巴斯卡(Pascal)与费马(Fermat)

就赌博中的一些问题作了通信讨论，即解决这样一个赌博问题：

①连续掷4次骰子，至少得到一次6点打赌中赢了钱，发生

的概率为0.518;

②但在后来连续掷24次两颗骰子至少得到一次双6点打赌

中输了钱，发生的概率为0.491。

由于这样的书信来往，逐渐建立了概率论的基本概念。

•伯努利(Bernoulli)等人发展成了概率的数学理论。

“我们发现，概率论实质上仅仅是被归纳为解决计算问题

的常识，这使人们能正确地评价某种凭直觉感受的却往往又

不能解释清楚的事物的合理性……起源于凭运气而取胜游戏

而产生的这门学科，竟成为人类知识中最重要的内容

•拉普拉斯(Laplace)以《概率的分析理论》一书奠定了

概率论的数学基础，从此概率投入其广泛的应用阶段。

•Helly对概率作了保险科学方面的应用，他指出如何利用

死亡率来计算人寿保险的保险费。

•Laplace,Legendre,Gauss等建立了误差理论，即把概

率用于对同一数量作反复测量时的误差问题。

•Maxwell利用分子速度的概率分布为基础导出气体运动

规律。

•M.Planck利用概率论描述量子理论。

•Person等将概率用于产品的使用寿命问题等。

学习的意义与重要性：

与其他学科相结合，产生的边缘学科，如：

•生物统计

•统计物理

•计量经济等

又是许多重要学科的基础，如：

•信息论

•控制论

•可靠性理论

•精算学等

其它：

•飞机、汽车等定寿问题

•知道飞机、汽车的寿命，设计零部件的寿命等等。

•产品的可靠性

•就业等

概率论与数理统计是有为之士必须掌握的一门基础知识、技

能、技术或技巧。

2.随机试验

试验作为一个含义广泛的术语：科学实验、观察，如：

E］：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情况。

E2:将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的情况。

E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数。

E4:抛一颗骰子，观察出现的点数。

E5:记录某城市120急救电话台一昼夜接到的呼唤次数。

E6:在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命。

E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。

特点:

1.可以在相同的条件下重复地进行

2.每次试验的可能结果不止一个，并且能事先明确试验的所

有可能的结果。

3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。

随机试验

具有上述三个特点的试验。

3.样本空间、随机事件

（一）样本空间

样本空间：随机试验E的所有可能结果组成的集合记为

So

样本点：样本空间的元素，即E的每个结果。

上述试验Ek（左=1,2,…,7）的样本空间Sk：

（El：抛一枚硬币，观察正面H、反面T出现的情

况）

S2:{HHH,HHT,HTH,THH,HTTJHT,TTH,TTT\,（E2：将一枚硬币抛掷

三次，观察正面H、

反面T出现的情况）

5,：｛04,2,3｝（E3：将一枚硬币抛掷三次，观察出现正面的次数）

一:｛123,4,5,6｝（E4：抛一颗骰子，观察出现的点数）

：｛）（记录某城市急救电话台一昼夜接到的呼

S50,l,2,3,..E5:120

唤次数）

：｛）（在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命）

56r/r>0;E6:

：｛（）｝

S7x,y/T。J"0,（E7：记录某地一昼夜的最高温度和最低

温度）

x：最低温度，y：最高温度。

注意：样本空间的元素是由试验的目的所确定的，例如：E2

和E3

（二）随机事件（基本事件、复合事件、必然事件、不可能

事件）

随机事件（简称事件）：随机试验的试验结果（可能发生也

可能不发生）。

例如，在投硬币试验中，“掷出正面”是一随机事件；又如，

在掷骰子试验中，“掷出6点”、“掷出偶数点”也都是随机事件。

事件可分为基本事件和复合事件。

基本事件：相对于观察目的不可再分的事件。

例如，试验Ei有两个基本事件

{"}和{T};试验纥有6个基本事件{1}，{2},...,{6}。

复合事件：两个或一些基本事件并在一起，就构成一个复合

事件。

例如，在掷骰子试验中，事件”掷出偶数点”就是由“掷出

点数为2”，“掷出点数为4”，“掷出点数为6”三个基本事件构成

的。

必然事件：样本空间S包含所有的样本点，它是S自身的子

集，在每次试验中它总是发生的，称为必然事件。

不可能事件：空集①不包含任何样本点，它也作为样本空间

的子集，它在每次试验中都不发生，称为不可能事件。

例1：

在E2（将一枚硬币抛掷三次，观察正面H、反面T出现的

情况）中

事件A］：“第一次出现的是H"，即

A\={HHH,HHT,HTH,HTT}0

事件A?：“三次出现同一面“，即

777}

A2{HHH,。

在E6（在一批灯泡中任意抽取一只，测试它的寿命）中

事件A3：“寿命小于1000小时”，即

A3={t/0<t<1000}.

在E7（记录某地一昼夜的最高温度和最低温度）中

事件A““最高温度与最低温度相差10摄氏度”，即

4={（X,y）/y-X=10,To<xWy<T].}

（三）事件间的关系与事件的运算

设试验E的样本空间为S,A,B,Ak（k=1,2,-）为S的

子集。

1°若AuB,B包含A（或A含于B）,A发生必导致B发

生。

若AuB且8uA,BPA=B,则称A与B相等。

2°事件=或xw%称为A与B的和事件。当A,B

中至少有一个发生时，事件AU8发生。

类似地，称CjA人为n个事件Al,A2,…，An的和事件；

k=l

称CJA«为可列个事件A1,A2,…的和事件。

北=1

3°事件An8={x/x”且xe%称为A与B的积事件。当A,B

同时发生时，事件anB发生。MB也记作AB。

类似地，称n4为n个事件A],A2,…，An的积事

k=\

件；称仆4为可列个事件A]，A2,…的积事件。

女=1

4°事件人-8={%/%64且*£川，称为A与B的差事件，当A

发生、B不发生时，事件A-B发生。

5°若An人①，称A与B是互不相容的，或互斥的。这指的

是事件A与事件B不能同时发生。基本事件是两两互不

相容的。

6°若AUB=S且AnB=①，称A与B互为逆事件，又称事件A

与事件B互为对立事件。每次试验，A、B中必有一个发

生，且仅有一个发生。A的对立事件记为瓦”S-4。

符号集合论概率论

S全集样本空间；必然事件

①空集不可能事件

eeSS中的点（或元素）样本点

向单点集基本事件

AusS的子集A事件A

AUB集合A含于集合B事件B包含事件A

A=B集合A与B相等事件A与事件B相等

AUB集合A与B的并集事件A与事件B之和

或并；

事件A与B至少有一

个发生

Ans集合A与B的交集事件A与事件B之积

或交；

事件A与B同时发生

A集合A之余集事件A的逆事件

A-B集合A与B的之差事件A与B之差；

事件A发生而事件B

不发生

AP|8=①集合A与B不相交事件A与B互不相容

交换律：AU3=6UA,

结合律：AU（6UC）=（AU8）UC

An（Bnc）=（/mB）nc

分配律：4U（5nC）=（AU8）n（AUC）

An（6Uc）=（An6）u（4nc）

德•摩根律：及ADB=ZU:

例2在例1中：

事件A1：“第一次出现的是H"，即A={HHH,HHT,HTH,HIT}。

事件A?：“三次出现同一面"，即&{""，777}。；有

/I,UA2={HHH,HHT,HTH,HTT,TTT}

A,V\A2={HHH}

七-4={TTT}

A,UA2={THT,TTH,THH}

例3如图1-7所示的电路中，以A表示“信号灯亮”这一

事件，以B,C,D分别表示事件：继电器接点I,II,HI闭合。

贝I]：BCuA,BDuA,BC\jBD=Af而万A=①，即事件》与事件A

互不相容。

又，BUC=BACo左边表示事件“I,II至少有一个闭合”的

逆事件，也就是I,n都不闭合，即就同时发生。

上次课：随机试验，样本空间，随机事件，集合，事件间的关系

与事件的运算等。

4.频率与概率

频率，事件发生的频繁程度；

概率，表征事件在一次试验中发生的可能性大小的数。

（一）频率

nAln=fn（A）o

基本性质：

1°O</„（A）<1

2°/„（s）=i

3°若Z”力以…，4%是两两互不相容的事件，则

fn（A1UA2U-UAj=/„（A）+/„（A）+-+Z,（^）

例1,考虑“抛硬币”这个试验，得到数据如表1所示（其

中刀H表示H发生的频数，4（H）表示H发生的频率。）

表1

实验序22=522=5072=500

n

号HFn(H)fn(H)刀aFn(H)

120.4220.442510.502

230.6250.502490.498

310.2210.422560.512

451.0250.502530.506

510.2240.482510.502

620.4210.422460.492

740.8180.362440.488

820.4240.482580.516

930.6270.542620.524

1030.6310.622470.494

表2

实验者n

nHf*H)

德•摩根204810610.5181

蒲丰404020480.5069

K•皮尔逊1200060190.5016

K♦皮尔逊24000120120.5005

力较小时，f<H座0与1之间随机波动，其幅度较大；

22增大，M(H)呈现出稳定性；

n逐渐增大时，fn(H)总是在0.5附近摆动，逐渐稳定于0.5o

例2，考察英语中特定字母出现的频率，当观察字母的个数A

(试验的次数)较小时，频率有较大幅度的随机波动，但当刀增

大时，频率呈现出稳定性，下面就是一份英文字母频率的统计表：

字频率

频率字母字母频率

母

E0.1268L0.0394F0.0186

T0.0978D0.0389B0.0156

A0.0788U0.0280V0.0102

O0.0776C0.0268K0.0060

I0.0707F0.0256X0.0016

N0.0706M0.0244JO.OO1O

S0.0634W0.0214Q0.0009

R0.0594Y0.0202Z0.0006

H0.0573G0.0187

当n逐渐增大时，f<A)呈现出稳定性，逐渐稳定于某个常数。

这种“频率稳定性”，即为统计规律性。

用fn(A)来表征事件A发生可能性的大小是合适的。

(二)概率

定义：对于一个随机事件用一个数尸6V来表示该事件

发生的可能性大小，这个数尸(A)就称为随机事件A的概率。

因此，概率度量了随机事件发生的可能性的大小。

可以证明，当〃-8时，频率雇一定意义下接近于概率产

频率与概率是二个概念。

P(A)满足：

1°非负性：对于每一个事件A,有尸64)”,

2°规范性：对于必然事件S,有尸(S)=1;

3°可列可加性：设Alf…是两两互不相容的事件，即对

于=①,=1,2,…，则有

P(4U&U…)=M&)+尸/2)+…

概率的一些重要性质:

性质i尸（①）=0

性质ii（有限可加性）若A2f…是两两互不相容

的事件，则有

P（AU4U…U4）=P（A）+P（A）+…+P（A.）

性质iii设A,B是两个事件，若Au%则有

P（B）>P（A）

性质iv对于任一事件4

尸⑷<1

性质V（逆事件的概率）对于任一事件力,有

响=1-P（4）

性质vi（加法公式）对于任意两事件Z,B有

P（AU6）=P（A）+尸⑻-P（AB）

证明：

AUB=AU（8-A8）,且A（B-AB）=<5»,ABc5,有：

P（Au6）=P（A）+P（B-AB）

=P（A）+P（B）-P（A8）

对于多个事件，有：设5〃力2,4为任意三个事件，则有

尸（AUA2UA3）=P（A）+P（A2）+F（A3）-尸伏&）

-p（44）_尸（44）+产（444）

5.等可能概型(古典概型)

上次课所说的试验Ei和E。它们具有两个共同的特点，

(1)样本空间只包含有限个元素。

(2)每个基本事件发生的可能性相同。

具有上述特点的试验称为等可能概型。

设：样本空间为S={q，G…,e.},由于每个基本事件发生的可能

性相同，即有

尸({eJ)=P(&2})=••=2({%})

又由于基本事件是两两互不相容的。于是

1=明=P({eJU-}U…U{e“})=ML})+尸(也})+…+P({〃})=〃尸(上}),

p({e,})=l/n

若事件A包含k个基本事件：

A=-}U{eJU…U&J

即：若对于任意一个随机事件Aus,设A包含k个基本事件，则

有

n/xA])/=一包含的基本事件数

㈠一方g川一〃一S中基本事件的总数

上式就是等可能概型中事件A的概率的计算公式。

补充知识：基本的组合分析公式

1、全部组合分析公式的推导基于下列两条原理：

乘法原理：若进行4过程有2种方法，进行人2过程有外种方法,

则进行A］过程后再接着进行力2过程共有“Xg种方法(图3)o

加法原理：若进行4过程有巧种方法，进行工2过程有外种方法,

假定4过程与力2过程是并行的，则进行过程4或过程的方法共有

4+电种方法(图4)。

显然这二条原理可以拓广到多个过程的场合。

2、排列：

从包含有刀个元素的总体中取出T个来进行排列，这时既要考虑到

取出的元素也要顾及其取出顺序。

这种排列可分为两类：第一种是有放回的选取；另一种是不放回选

取。

(1)在有放回选取中，从刀个元素中取出厂个元素进行排列，这种

排列称为有重复的排列(管次序)，其总数共有炉种。

(2)在不放回选取中(管次序)，从n个元素中取出r个元素进行

排列，其总数为：

n(n-1)(n-2)…(n-r+1)=A：

这种排列称为选排列。特别当r=n时，称为全排列。

(3)n个元素的全排列数为：

n(n-1)…3•2,l=n!=Pn

3、组合：

(1)从n个元素中取出r个不同元素，不考虑次序将它们归并成一

组(不可重复，不管次序)，称为组合。所有不同的组合种数为：

Cr_卜］_4；_〃("T)…(〃r+1)_〃！

yrjr!r!r!(n-r)!

(2)从n个元素中有重复地取r个，不计顺序，则不同的取法有:

+r-1、

、r)

种，这个数称为有重复组合数。

4.一些常用等式：

把排列公式推广到r是正整数而n是任意实数x的场合，有时是需

要的，这时记：

A；=x(x-1)(x-2)…(x-r+1)

同样定义：

卜］_AL=x(xQ(x2)...(xr+1)

r!r!

及0!=1,M=1

对于正整数n,若r>n,则

o

二项系数有性质

由于

(1+X)1H

r=oV7

故

HHH...H«

⑹+⑴+⑵++[n)=2

利用幕级数乘法又可以证明

特别地

即

'2〃、

例题:

例1将一枚硬币抛掷三次。

(1)设事件A1为“恰有一次出现正面“，求P(AJ;

(2)设事件A?为“至少有一次出现正面”，求P(A2)O

解：(1)E2的样本空间：

s2={HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT}O

A={HTT,THT,TTH}.

S2中含有限个元素，且每个基本事件发生的可能性相同。由

古典概率公式，得

p(Aj=a

'"8.

(2)由于用={77T},于是

P(A2)=1-P(A)=1-1/8=7/8

若本题考虑E3的样本空间：

s3={0,1,23}

则由于各个基本事件发生的可能性不相同，就不能利用古典

概率公式来计算。

例2：从1,2,…,10共十个数字中任取一个，假定每个数字都以《

的概率被取中，取后还原，先后取出7个数字，试求下列各事件从

(i=l,2,3,4)的概率P(A)：

(1)A1表示“7个数字各不相同”；

(2)A2表示“不含10和1”；

(3)A3表示“恰好出现两次10”；

(4)A4表示“至少出现两次10”.

解：(1)根据乘法原理，其样本空间S共有IO7个不同的基本事

件，而Ai包含了10X9X8X7X6X5X4个基本事件。故

10x9x8x7x6x5x4189

P(AJ=»0.06048

1073125

(2)A2发生时，7个数字只能取2-9中任一个数，故根据乘法原

A2870.2097

理，包含个基本事件，P(A2)=需=*

(3)A3发生时，出现10的两次可以是7次中的任意二次，故有

7白种选择，其它5次中，每次只能取1-9中的任何一个，故

(7

根据乘法原理，A3含有；9,个基本事件，故:

7

95

7

P(A)0.124

3，IQ7

(4)一般地，若记为Pk为“10恰好出现k次”的概率，如(3)

分析可知：

门％7,

Pk==G==°，1，2,3-一,7

⑺

铲k97+96

则P(A4)=£4一£1n7_I1n7~0.1497

K=2K=2iu1U

例3.一口袋装有6只球，其中4只白球、2只红球。从袋

中取球两次，每次随机地取一只。考虑两种取球方式：

(a)每一次取一只球，观察其颜色后放回袋中，搅匀后再

取一球。这种取球方式叫做放回抽样。

（b）第一次取一球不放回袋中，第二次从剩余的球中再取

一球。这种取球方式叫做不放回抽样。

试分别就上面两种情况，求（1）取到的两只球都是白球的概

率；（2）取到的两只球颜色相同的概率；（3）取到的两只球中至

少有一只是白球的概率。

解（a）放回抽样的情况。

A:表示事件“取到的两只球都是白球”，

B:表示事件“取到的两只球都是红球”，

C:表示事件“取到的两只球中至少有一只是白球”。

易知“取到两只颜色相同的球”这一事件即为A而c=》。

第一次从袋中取球有6只球可供抽取，第二次也有6只球可

供抽取。由乘法原理，共有6X6种取法，即样本空间中元素总

数为6x6o

对于事件A而言，由于第一次有4只白球可供抽取，第二次

也有4只白球可供抽取，由乘法原理共有4X4种取法，即A中

包含4X4个元素，同理，B中包含2X2个元素，于是

P（A）=

6x6

2x2

P（B）=

676

由于AB=①，得

尸（AU8）=尸（A）+P（8）

P(c)=P⑺=1—P(B)

例4箱中盛有a个白球及0个黑球，从其中任意取a+b个（这里

是指不放回抽样），试求所取的球中恰含a«a）个白球和b（&B）

个黑球的概率。

解：基本事件有『十?］个，

（a+bj

A发生时：从a个白球中取a个白球，共有种取法；从0个

黑球中取b个黑球共有用）种取法。由乘法原理知，A含有个基

本事件，所以：

上式即为超几何分布的概率公式。

有许多问题和本例具有相同的数学模型，例如：

（1）设有N件产品，其中有D件次品，今从中任取n件，问其

中恰有k件次品的概率是多少?

fDY^V-O]

所求概率「J米j

（2）设有15名新生，其中有3名优秀生，今从15名新生中任取

5名，问其中恰有2名优秀生的概率是多少？

（3丫15_31

所求概率：P=〔2.1=0.4545

例5将n只球随机地放入N（NN〃）个盒子中去，试求每个盒

子至多有一只球的概率（设盒子的容量不限）。

解：将n只球放入R个盒子中去，每一种放法是一基本事

件。因每一只球都可以放入N个盒子中的任一个盒子，故共有"

XNX…X"=胪种不同的放法，而每个盒子中至多放一只球共

有N（N-1）…[N-（〃-1）]种不同放法，因而所求的概率为

_N（N_1）…（N-〃+l）_A?

P~AT—AT'

有许多问题和本例具有相同的数学模型。例如，假设每人的

生日在一年365天中的任一天是等可能的，即都等于1/365,那

么随机选取〃©365）个人，他们的生日各不相同的概率为

365・364・.一・（365—n+1）

365"-

因而是，〃个人中至少有两人相同的概率为

_365・364•…・(365-〃+1)

365"

计算结果如下：

n202330405064100

p0.4110.5070.7060.8910.9700.9970.9999997

从上表可看出，在仅有64人的班里，“至少有两人生日相同”

这一事件的概率与1相差无几，因此，如作调查的话，几乎总是

会出现。

例6袋中有a只白球，8只红球，々个人依次在袋中取一只

球。(问题：足球抽签公平不公平？)

(1)作放回抽样；(2)作不放回抽样。求第/(i=lt2,…

k)人取到白球(记为事件B)概率(k&a+b)。

解：(1)放回抽样有

P(5)=^—

a+b

(2)不放回抽样的情况。各人取一只球，每种取法是一

个基本事件。共有(a+b)(a+b-1)…(a+b-k+1)=A，个基

本事件。当事件B发生时，第/人取的应是白球，它可以是a

只白球中的任一只，有a种取法。其余被取的女只球可以是

其余a+5-1只球中的任意hi只，共有(a+b-1)(a+b-2)…

[a+b-1-(k-1)+〃=A乩种取法，于是B中包含”.AX个基本

事件，故有

P(B)j-A/jA：,*户%+匕

值得注意的是尸回与7.无关，即女个人取球，尽管取球的

先后次序不同，各人取到白球的概率是一样的，大家机会相同。

另外还值得注意的是放回抽样的情况与不放回抽样的情况下

尸句是一样的。(所以，足球抽签是公平的；又如在购买彩票时,

各人得奖机会是一样的)

例7在1~2000的整数中随机地取一个数，问取到的整数既

不能被6整除，又不能被8整除的概率是多少?

解：设A为事件上“取到的数能被6整除”，B为事件“取

到的数能被8整除”，则所求概率为

P（AB）=P（AUB）=1-P（AUB）

=1-忸⑷+尸⑻-MM}

.”2000…

由于333<----<334

6

(即在1-2000的整数中，能整除6的个数为333,即A

所含基本事件的个数为333个)，故有

W）嗡

由于皆^=250

故有P⑻=包

―2000

又由于一个数同时能被6与8整除，就相当于能被24整除,

因此，由

2000

83<

24

83

得P(AB)=

2000

于是所求概率为

一（333।250831_3

P-­I2000+2000-2000J-4

例8(分房问题)设有n个人，每个人都等可能被分配到N个房

间中的任意一间中去住(n<N),且设每个房间可容纳的人数不限，求

下列事件的概率：

(1)A=｛M指定的n房间中各有一个人住｝;

(2)B=｛恰好有n个房间，其中各住一人｝;

(3)C=｛M指定的一间房中恰有m(m<n)人｝。

解：基本事件为“每一种住房方式”，由于每个人都可以分配到N间

房中的任何一间，故n个人住房的方式共有“N11”种，且为等可能的,

而:

(1)A所含基本事件数为n个人的全排列数n!

故：P⑴

(2)B所含基本事件数为：n个人在N个位置上的选排列数"〃!

口〃！

故.p⑻=[〃)=N!…(NTI+1)

联，'‘N"一Nn(N-n)「N"

(3)当C事件发生时，指定房间中的m个人可自n个人中任意选

出。故有口种选法，其余n-m个人可任意分配到其余N-1个房间里,

共有(N-1)nm种分配法，故C所含基本事件数为[〃](N-1)

W

故:

在现实生活中。有许多情况都与分房问题类似，例如：

(1)设有n个质点，每个质点都是等可能的被分配到N个格子里

的任一个中(nCN),试求至少有两个质点在同一格子里的概率。

(2)设有n位旅客，每位旅客都是等可能的在N个车站的任何一

个车站下车(n<N),试求n位旅客恰在指定的n个车站下车的概率及

至少有两位旅客在同一个车站下车的概率。

例9将15名新生随机地平均分配到三个班级中去，这15

名新生中有3名是优秀生。问(1)每一个班级各分配到一名优

秀生的概率是多少？(2)3名优秀生分配在同一班级的概率是

多少？

解15名新生平均分配到一个班级中的分法总数为

f15Y10Y5h15!

15“5人5)5!5!5!

(1)将3名优秀生分配到三个班级使每个班级都有一名优

秀生的分法共有3!种。对于这每一种分法，其余12名新生平均

分配到三个班级中的分法共有12!/(4!4!4!)种。因此，每

一班级各分配到一名优秀生的分法共有(3!X12!)/(4!4!

41)种。于是所求概率为

_3!xl2!/15!_25

P，-4!4!4!/5!5!5!-91

(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种。对

于这每一种分法，其余12名新生的分法(一个班级2名，另两

个各5名)有12!/(2!5!5!)种。因此3名优秀生分配在同

一班级的分法共有(3X12!)/(2!5!5!)种，于是，所求概

率为

_3x12!/15!_§

P2-2!5!5!/5!5!5!-91

古典概率的计算实质上是一个计数问题，只需计算样本空间所

含的基本事件总数和事件A所包含的基本事件数。这种计算大多

涉及排列组合。

古典概率的局限性:全部试验结果为有限个，且是等可能性的。

6.条件概率

(一)条件概率它是在事件A已发生的条件下，事件B发生的

概率。

例：将一枚硬币抛掷两次，观察其出现正反面的情况，设事件A为

“至少有一次为H"，事件B为“两次掷出同一面。求已知事件A已

经发生的条件下事件B发生的概率。

这里，样本空间为

S={HH,HT,TH,TT}

A={HH,HT,TH}

B={HH,TT}

在A发生的条件下B发生的概率(记为P(B|A))为：

P(B|A)=|

易知:

P（A）=jp（A8）=：,P（川A）=：=言

故有:

P（BIA）=畸

上式即为条件概率的定义。

定义：设A、B是两个事件，且P(A)>0,称:

P（BIA）=需

为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。

条件概率P(•IA)符合概率定义中的三个条件：

1°非负性：对于每一事件B,有P(B|A)>0;

2°规范性：对于必然事件S,有P(S|A)=1;

3°可列可加性：设B],B2…是两两互不相容的事件，则有：

,00、00

P\jBi\A=ZP(8ilA)

3=171=1

概率的一些重要结果都适用于条件概率。例如，对于任意事件B],

B2有

P(B,UB2IA)=P(B,l>4)+P(B2|A)—「仍总IA)

例2一盒子装有4只产品，其中有3只一等品，1只二等品。从

中取产品两次，每次任取一只，作不放回抽样，设事件A为“第一次取

到的是一等品"，事件B为“第二次取到的是一等品"。试求条件概率尸

(BIA)。

解：将产品编号，1,2,3号为一等品；4号为二等品。以(i,j)

表示第一次、第二次分别取到第1•号、第j号产品，试验E(取产品两

次，记录其号码)的样本空间为

S={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),…(4,1),(4,2),(4,3)},

A={(1,2),(1,3),04),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4))

AB={(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2))

由条件概率，得

尸⑻止坐

7

'尸⑷9/123

(二)乘法定理

乘法定理设尸64,>0,则有

P(AB)=P(BIA)P(A)

上式容易推广到多个事件的积事件的情况，例如，设A,B,C为事件，

且P(AB)>0,则有

P(ABC)=P(C/AB)P(B/A)P(A)

一般，设4,工以…回为刀个事件，刀?2且尸64/2…4”

>0,则有

p=P(An//血…4力P⑸一I/A,A2-An.2)…*尸

(A214)P(AJ

例3设袋中装有r只红球，t只白球，每次自袋中任取一只球,

观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球，若在

袋中连续取球四次，试求第一、二次取到红球且第三、四次取到白球的

概率。

解以Ai(i=l,2,3,4)表示事件“第i次取到红球”，则最配

分别表示事件第三、四次取到白球，所求概率为

P(A|A43Nj=P(N4I31AA2)P(A?IAjP(A)

=E--+--Q-------•---t---------♦r--+---a-----•r------

r+f+3ar+f+2ar+f+ar+f

例4设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为

1/2,若第一次落下未打破，第二次落下打破的概率为7/10,若前两

次落下未打破，第三次落下打破的概率为9/10。试求透镜落下三次而

未打破的概率。

解以Ai(i=l,2,3)表示事件“透镜第i次落下打破”，以B

表示事件“透镜落下三次而未打破”，因为B=故有

P(B)=P(A1A2A3)=P(A3IA1A2)P(A2IA>)P(A1)

另外，按题意

百=4U^4IA2UAIA2A3

而A,A\A2,A]A2A3是两两互不相容的事件，故有

吨）=P（A）+P（A1A2）+吨/2A3）

已知P（A）=；，P（A2E）4，P（&i"）=r，即有

P亿

「你*A)=43IA,A2)P(A2IA>)P(A1)

故得

(-\1727197

PI——I---1---------

''220200-200

2⑻句.蛛糕

例（抓阉问题）1995年全国足球甲A联赛的最后一轮，四川全

兴队与八一队的比赛在成都进行，这场比赛关系到全兴队是否降级。西

南交大某班30人仅有一张票，大家都想去看，只好采取抓阉的办法决

定，每个人抓一张。问，每个人获得此票的机会是否均等？

解：设A=｛第i个人抽得球票｝,i=l,2,・：30,则

第一个人首先抽得球票的概率为

P(AJ=l/30

第二个人抽得球票的概率为

P(A2)=P(SA2)=P((A1UA1)A2)=p(A1A2uAA)

因为只有一张球票，故A1A2=^，即

P(A2)=P(A]A』=P伍JP⑷A1)=—=—

JUJU

同理，第i个人要抽得比赛球票，必须与在他抽去之前的i-1个人

都没有抽到此票的事件一起出现，即

P(AJ=P(Ai4…4一14)=P(A1)P(A2|A1)-P(A|A1A2...A,_1)

=29281

30'29"'30-(z-l)

所以，各人抽得此票的概率都是1/30,即机会均等。

(三)全概率公式

全概率公式是概率论的基本公式之一，它是概率的加法公式和乘法

公式的综合运用，

使一些难求的概率变得简单易求。

定义设S为试验E的样本空间，BlfB2f…，其为E的一组事

件，若

=①,i彳j,i,j=1,2,…,〃

⑻"=5

则称B2,…,也为样本空间S的一个划分。

若耳，B2f…，也是样本空间的一个划分，那么，对每次试验，

事件B2,…,凡中必有一个且仅有一个发生。

例如，设试验E为“掷一颗骰子观察其点数”，它的样本空间为

S={1,2,345,6},E的一组事件B[={1,2,3},B2={4,5},2=团是S的一个划分，而

事件组G={123}，C2={3,4},C3={5,6}不是S的划分。

定理设试验E的样本空间为S,A为E的事件，Blf4,…当

为S的一个划分，且尸倒>。(i=lf2,…,n),则

P(A)=P(AIBJP(BJ+P(A••+P(A/Bn)P(Bn)

上式称为全概率公式。

证因为

A=AS=A(B,uB2u---uB„)=ABXvjAB2u…D，

由假设P(B)>0(i=l,2,…,n),且(ABJ(AB)=◎,iRj,

右乜得到：

P(A)=P(AB1)+P(AB2)+••-+P(ABJ

=P(A/BjPfBj+PtAIB2)P(B2)+••,+P(AiBn)P(Bn)

在很多实际问题中，P（A）不易直接求得，但却容易找到S的一

个划分3〃B2,…Bn,且尸㈤和尸（A/Bi）或为已知，或容易求

得,那么就可以根据（5,6）式求出P（A）o

全概率公式的基本思想是把一个未知的复杂事件分解为若干个已

知简单事件求解，而这些简单事件组成一个互不相容事件组，使得某个

未知事件A与这组互不相容事件中至少一个同时发生,故在应用此公式

时，关键是要找到一个合适的S的划分。

（四）贝叶斯公式

定理设试验E的样本空间为S。A为E的事件，Bi,B2,…，

Bn为S的一个划分，且P（A）>0,P（Bi）>0（i=l,2,-n）则

PAIBpB

P（Bi|A）=n（i）<i）,1=1,2,…,n.

力㈤.）产（鸟）

j=l

上式称为贝叶斯（Bayes）公式。

证：由条件概率的定义及全概率公式即得：

P（Bi|内=需=一旧）眄）,1,2,…,n

P（A）]㈤吗岫）

j=l

可见，全概率公式是利用事件发生的各种原因求该事件发生的概

率，而贝叶斯公式就是在此事件已经发生的条件下，反过来分析计算每

一种原因使之