圆锥曲线中非对称问题的解法探究

圆锥曲线中非对称问题的解法探究“立足基础，稳重求变，重在素养”是近几年高考的主要特征，在紧扣教材把握考纲要点的同时，平稳又不乏创新，在圆锥曲线的考察上，也是比较稳定，突出考核价值，重视数学素养，体现学科本质，本文主要将圆锥曲线中一类有关定值的问题进行方法探析。在圆锥曲线问题中，学生更多的利用直线与圆锥曲线的关系通过联立解决问题，这是解析几何学生需要掌握的的基本的技能要求，圆锥曲线中的很多问题，是利用韦达定理得到两根之间的关系，来处理有关■ 或「、「的对应量。我们知道韦达定理是、八、■■、―的整体关系，在解决问题是可利用设而不求的办法将问题转化为韦达定理的代入问题，但有些问题中，将问题转化为根的关系式之后，发现根并没有对称的出现，本文将这种问题称为非对称问题，对于非对称问题，本文将总结几种处理非对称问题的常见方法。法一、利用方程解决问题例1是椭圆■I■■ 的左右顶点，过点『I"作斜率为■■■■■■'的直线/交椭圆厂于―八两点，其中「在人轴的上方，设"=■■■，证A明：，•为定值.解析：设:1■■■'■■'■''•，设直线的方程为“，联立消去*可£i__儿（”|一2）_ -2 禺得—小“ --'，又因为 '■■■，由；的代入化简之后的结果可以看出，直接利用韦达定理代入已不能解决问题，变量-与-是不对称的，因为' '5，由椭圆方程可知，， ，贝V宀I■<_门*JQ—jJ 2~~41'I I，所以r*-，所以’'''1 |；' ■'化简为Xy对称式，可由韦达定理代入进行进一步的运算。Xy, 2f幵〔1-乍)讥-2『=旳山一耳二一4禺Ti(矶十2) 甘丫+7\~另解：利用椭圆方程还可以求、，因为 丨•j_X|X2-2(^+jr?)十4' - 「亠，由韦达定理代入可证明为定值。变式已知椭圆I•，为左右顶点，动直线'-:与椭圆L交于•；川两点，设点"在工轴上方，设•：、「『交于一点厂，求证：点厂的横坐标为定值。-9FZ亦打，直线-9FZ亦打，直线AM:r=^—(x+2) £W：f=』一(x—2)屮2，直线一L，所以I,+2，因为点」在椭圆上，所以「，故「一，所以「J'lx+2「，故「一，所以「J'lx+2_X,+2_4，至此，又回到对称型的韦达定理，可用直接代入解得定值为4点评：此方法的关键是构造出因式分解的结构，利用椭圆方程，将不对称式子局部代换使其成为对称式。这种解法的优势是计算量较小，但是局限性也很明显，需要因式分解的结果与椭圆方程的变形结果相同才可使用，适用于与椭圆顶点相关的问题。法二、整体代换消元例2已知！”分别为椭圆I"的右、上顶点，＜门在椭圆上，且.记直线扛小的斜率分别为―•'；，求证： 为定值.

解析：设门一川一「，设直线材的方程为■ -，与椭圆方程联解析：设门一川一「，设直线材的方程为■ -，与椭圆方程联TOC\o"1-5"\h\z立可得：• _.j... 2 ‘rJ'.-1_1.L，,-Li' ' '■，可见结果非对称，需对结果再进行化简。消去I 1X.X-,+ mkk_41- 2-•-得「 -- ，化简到这个式子之后，就需要利用换元思想，将分子分母的统一的化简成由-表示，可得• '变式对于例1，同样可以整体代换，可得#+1 =弓債+2.^4 +2債+2.^4 +2Jj.v2-f2(Xj +2点评此方法的巧妙之处在于利用韦达定理消去变量：留下：，整体对比发现分式上下成倍数，在处理证明恒成立问题时此方法可使用。特别适用于定值问题的处理，适用范围较广。法三、配凑法化非对称为对称X">•J例3设椭圆：___■'的左焦点为厂，过点F的直线/与椭圆「相交于，门两点，直线F为倾斜角为“，「—••：，求离心率的取值范围。解析设■'''■'，，'-■■1■'1'":，由「可得，，构造■.-- 1-"及「，两式相乘可得，再设直线方程，消

去X得关于丁的一元二次方程，由韦达定理代入就可得到离心率与参数•：之间的关系，可得离心率的取值范围。x2y~_ AP变式设直线/过点■■■ ，和椭圆：• 顺次交于；川两点，求小：的取值范围。解析：设直线/的方程为：」「，联立椭圆方程消去丁得:1‘-1■ '，贝y45，由于珂应-?45，由于珂应-?(324八所以X|X2 445Jli+20，由」1令XiX则■--■■■，所以一II：，I. . 1AP从而有； ，所以点评：一•经常出现在圆锥曲线的题型为：过顶点厂的直线与圆锥曲线AF交于宀；两点，满足丁“或者,用坐标表示之后，构造韦达定理的结构,构建方程，便可解决问题。法四、统一变量法化解非对称问题例4已知椭圆I"，点「：分别为椭圆的左右顶点，过点的直线/交椭圆与…」两点，「八的中点为用，直线交直线•：I于点一；求证：・，'''为定值。解析：因为'■■■■■■■-三点共线，设""，， ■■-1'，则饥=饥=~Vi=Z+L-/，即］”——址所以I所以I丁’，解得:52-3=—.-x,=—— ,2，又因为丹［ __◎+必)］二儿2-斗］号+2心+片)又因为* •'、「••， 、- 4 : :，代入『］式可得定值为I变式对于例I，因为八c三点共线，设■■■■ ■■■■■ 「，代入坐标可-1-A,j!(.T24-1) --T,—2(x2+1)+1 x2得-廿屜，所以I-沪从，又因为十H_1，故仪比斗》|］"、｛“活=［ 丄，"，，，工_| _3-5^ 3^-5——" ，又