第一章和第三章3-1空间直角坐标系

批注批注伸b若学生答得犹豫，可进入 次提问，例如：在B点建批注[b2]:利用类比思想方法，引入批注[j3]:上车之后只需记住一个站名，表示的单一记号批注[j4]:分清东南的四个象限，再确1．数轴的作轴．这里包含两个内容：一是数轴的三要素：原点、正方向、单位长度．二是这三个要素都是规定的．数轴能形象地表示数，数轴上的点和实数成一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示．比较大小，以0为中心，右边的数比左边的数大！这涉及实数完备性问题，有理数不是完备的，即任何两个有理数之间有间隙，而实数是完备的，任何两个实数之间的数还是实数。空间向量及其运检：<3分钟如图在正方体11C1D1－CD中，边长为2，建立空间直角坐标系，写出各顶点坐标，并表示出 .在平面直角坐标系中，点A（-3，5）关于y轴对称的点坐数轴上的点是和实数一一对引：<5分钟假设你家住魏公村，想来中关村海①你如何坐车②从车上下来如何找③站在海龙门口如何进入思思考1：任意一个直线上的点，如何用数量表示在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴三个要素（原点，正方向，单位长度）…1，2，3，-1，-5等思考思考2平面中任意一个点，在平面直角坐标系内均可用唯一有序实数对x,y来表示。（1,2），（-思思考3：任意一个空间上的点，如何用数量表示空间中任意一个点，在空间直角坐标系内均可用唯一有序实数组x,y,z来表示。比1,2,3,1,以及建系的批注以及建系的批注[a10]:此概念是重点讲解，必须让学生明确概念的原 （右手以90度逆时针握，大拇指的指向是z轴批注[a8]:过渡知识点，这个知识点是基础概念，只要学生知道有八个卦象就可以，重点让学生可以想象出空间空间直角坐标系<2分钟三条坐标轴中的任意两条都可以确定一个平面,称为坐标面.它们是:由x轴及y轴所确定xoy平面;由y轴及z轴所确定的yoz平面；由x轴及z轴所确定的xoz平面．这三个相互垂直的坐标面把空间分成八个部分，每一部分称为一个卦限．位于x,y,z轴的正半轴的卦限xy四卦限；第一，二，三，四卦限下方的卦限依次称为第五，六，七，八卦限右手系<5分钟右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正向y轴时，大拇指的指向就是轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，点O叫做坐标原点如图所例如：正方体如何建立空间直角坐标系批注z，竖直方向建立zxy，在底面上找相互垂直的x,y批注z，竖直方向建立zxy，在底面上找相互垂直的x,y批注课外延伸 坐标系3D数学讲解如何在3D空间中精确度量位置、距离和角度，其中使用最广泛的度量体系是坐标系。坐标系可2D3D3D中有两种完全不同的坐系：左手坐标系和右手坐标系，左手坐标系是X轴右，Y轴向上，Z轴向前，右手坐标系的Z轴正好相反，是指向“自己”的，在计算机中通常使用的是左手坐标系，而数学中则通常使用右手坐标系。批注方法一：过M点分别做三个平面分别垂直于xyz轴，平面与三个坐标轴的交点分别为、Q、，在其相应轴上的xyzxyz就叫做点Pxy)P方法二：过M做平面xoy的垂线，垂足为N,过N分别做x轴、y轴的垂线，则两条垂涎的垂足对应的就是点M的横、纵坐标，有向线段NM对应的就是点M的竖坐标。想 按照什么方法和步骤建系更好呢？找到什么样的关键字会更好呢？还有其他的标系的方式吗？思考：请观察图1A、、D'点坐标？这些点都有什么特点呢？可以说出规则吗？写出思考：请观察图1A、、D'点坐标？这些点都有什么特点呢？可以说出规则吗？写出、A'、'点坐标？这些点有什么特点呢？可以说出他们的规则吗？思思考：写出空间中M点坐标批注有批注有两点A(x1y1B(x2y2)则它们的中点P的坐（(x1+x2)/2,(y1+y2)/2）（可由向量的有关知识推导中点坐批注[g191、长方体定义：长方体是底面是长方形的直等2、正四棱柱定义：上、下底面都是正方形，且侧棱于底面的棱柱叫做正四棱柱。3、正三影在底面的中心批注属于过渡的知识点，因为这个知识点属于已经学过的识点了，需要复 下，为了下面计算正确打下基础z MB x图 图空间向量的坐标表示<2分钟平面中A(x1,y1),B(x2,y2，空间中A(x1y1z1B(x2y2z2，例2.如图，在边长为1的正三棱柱ABC-A1B1C1中，建立合适的坐标系，并写出各 ：什么样的坐标系算是合适的呢 你会找某个直线的中点吗想 ：图是一个三棱柱，么长方体和正四棱柱还有正三棱锥你都会建立适当的坐标系吗？3.已知侧面PADABCD，四边形ABCD为直角梯形PA=PD=AD=AB=2,CD=4,建立合适的坐标系并写出各顶点坐标 想 ：这道题是侧面是等腰三角形恰好和底面垂直，建系你学会了吧？如果底面是形的话你会做吗？

批注[g20]:这个是 经常考的知识点空间的代数表示是什么 的代数表示呢？是否均可以类似

批注[b21]:程度特好的学生进行拓展，普通学生可以讲导批注批注x1x2,y1y2 x1x2y1y2z1z2 如图，已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB//CD,AB=AD=1,建立合适空间直角坐标系，并写出各点坐在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2,M、分别为PD中点，以A为坐标原点建立右手系，写出M点坐标，并 DB在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是D1D，BD的中点，G在棱CD上，且CG1CD，H为CG的中点，建立合适的空间直角坐标系，并写出 EDEDHF F 如图，在直四ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等AB∥CDAB4BCCD2AA12EE1F分别是棱ADAA1AB的中点，建立合适的空间直 CC BCDDEE: 思思考延为什么要建立空间直角坐标空间直角坐标系对研究空间位置关系有怎样的帮检1）若向量a(7,3,2),b1,2,5,则ab 2）若平面a77b6,9cab 3a2b引引思考：回忆一下，平面向量的线性运算有哪几种？他们的运算规则是什么样的呢？联系平面向量和空间向量的区别，空间向量应该具有哪些运算规则呢？思考：回忆一下，平面向量的线性运算有哪几种？他们的运算规则是什么样的呢？联系平面向量和空间向量的区别，空间向量应该具有哪些运算规则呢？

2，和延伸b若学生答得犹豫，可进入 次提问，例如：在B点建模数减加平面向向量平行的判模数减加平面向向量平行的判称向量a和b平行或共 （1）若向量a(4,2,4),b(6,3,2)，则ab 4a3a2b ，a边长为2的正方体建立如图所示坐标系，请写出OB' ,OBOD'AD3BC AC'中点坐标若向量a1,3,2,b3,x,y，若 b则x ，y mi5jk,b3ijrk,若ab则实数m ，r 判断下列直线是否平AC与 深入思考：如果利用向量的几何运算得到向量的坐标运算规则检检判断向量a77,9b6,9,1c4,1321是否共面已知a2,52、b8,9,12、c73x共面，求x的值如果e如果e1、e2是同一个平面内的两个不同向量，那么对于这一平a，是否定有且只有一对实数1、2，使a1e12e2批注[b31]:解析：否e1e2必须是同一个平面内的两思考：对于平面内任意一个向量，一定可以用平面内的一组不共线向量对其进行分解，且只有唯一的分解方式。那么对于空间向量，是否存在类似的分解方法呢？对这些向量有什么要求？思考：对于平面内任意一个向量，一定可以用平面内的一组不共线向量对其进行分解，且只有唯一的分解方式。那么对于空间向量，是否存在类似的分解方法呢？对这些向量有什么要求？4a3,4,（2）如果e11,2,7e21,3,2a可以使用e1e2进行分解么，为什么 批注[b32批注[b32三个空间向量a、bc共面的条件：存在实数12，使a1b2c。批注[b33空间向量基本定理：如果向量e1，e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数1、2、3，使得a1e12e23e3个基底模长为1时，称为标准正交分解，此e1i（1）如果e13,4,3e21,2,4e31,3,2b可以使用e1e2e3进行分（2）e13,4,3e21,2,4e32,4,8b可以e1e2e3进行分想 ：为什么一个空间向量有时候可以用三个向量进行分解，有时候不行，在满足什么件下空间向量可以用三个向量对其进行分解呢？深入思考：标准正交分解与空间直角坐标系和向量的坐标有什么1、已知向量ab5,4,6，4a3b(8,9,7)，求a b a ,b 2、已知向量a124b321，且ab11,14223、如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱C1D1、C1C的中①直线A1AC1C是否②直线AMNB是否平③直线BNMB1是否判断以下各题中的三个向量是否共 a11,12,6，b8,4,5，c6,16,1 a4,11,3，b6,3,2，c6,36,11 a5,8,7，b7,7,8，c9,6,23 a1,3,1，b3,2,3，c2,5,2已知a、b、c共面，求x的值 a3,8,9，b2,3,2，cx,2,13 a3,1,5，b8,x,7，c1,3,8 a2,4,1，b1,4,6，cx26x,4,8 a4,4,x，b1,2x,4，cx,6,1b5,检批检批注[a35]:检验学生的基础知识，对必修4中的平面向。1）(a3b)(7a5b)，且(a4b)(7a5b)，则a与b的夹角 平面向量的夹 是什么平面向量的数量 是什么思考：平面向量除了线性运算，还有其它的运算法则么？空间向量有与其类似的运算法则么？思考：平面向量除了线性运算，还有其它的运算法则么？空间向量有与其类似的运算法则么？平面向空间向数量运算夹数量积的几何时ab0,2时ab0,2时数量积的坐 ：abx1x21.平面向量的数定义:我们把|a||b| 叫做向量a与b的数量积(或内积,点积)记作ab,其批批注 6：若向量a(4,2,4),b(6,3,2)，则(2a3b)(a2b)想 ：当复合向量相乘积时，可以把括号分开吗？而且相同的向量相乘应该怎么计算呢？练1：已知. ，|2ab 87：若向量a(1,2),b2,1,2)，且a与b的夹角余弦9

，则等于 A． B．

C．2或22

D．2或22批注[b39]:平面向量数量积满足①交换律abb批注[b39]:平面向量数量积满足①交换律abb②对数乘的结合律(ab(ab)a③分配律(abcacb1：已知2ab=(0，-5，10)c=(1，-2，-2)，ac=4|b|=12，bc2：已知a，b，c是空间中两两垂直的单位向mabnbc，m与n的夹角 定二是异面直线的定二是异面直线的夹角已知向量a0，2，1，b1，1，2a与b的夹角．答案(a3b)7a5b，且(a4b7a5b)，则a与b的夹角若向量a1，，2b2，1，2a

． 夹角的余弦值为，9 设向量a与b互相垂直，向量c与它们构成的角都是60，且|a|5，|b|3，|c|8，那么(a3c)(3b2a) ，|2ab3c| 检批检批注[g41尽量增加立体几何解析的方式来解决这个问直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、的中点．求证引：在引：在过去的学习中，我们学习了利用空间几何的方式判定直线间的位置关系以面直线的夹角。是否可以建立空间直角坐标系利用代数的方法进行这些判定和计算异面直特点：既不平行，也不相交。判定方定义法：由定义判定两直 不可能在同一平面内定理：经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线，是异面直定义：直线a，b是异面直线，经过空间一点O，分别引直线A//a,B//b,相交直线A，B所成的锐角（或直角）叫做异面直线a,b所成的角。角可取的范围在(0，π/2]。方法：平移直线为检批检批注[a45]:这道题才是真正高考题和各种考试中出的已知正方体ABCD

(1)A1BB1D1所成的角；(2)ACBD1所成的角如何找点，及进行运算的呢？两个向量的夹角是思思考：直线的位置关系有几种呢？你认为最主要的是什异面直线的夹角范围在0,2当直线l1与l2是异面直线时，在直线l1上任取一点AAB直线AB的夹角叫

，我们把直线l1空间直线由一点和一个方向确定，所以空间两条直线的夹角由它们 的夹角确定已知直线l与l的方向向量分别为s, ，当s,s

时，直线ll的夹角等 1 1 ；当s,s时，直线l与l的夹角等 1 例10：空间四边形ABCD中，AB、BC、CD的中点分别是P、Q、R，批注建系gohelp2-1-找点go批注建系gohelp2-1-找点gohelp2-1-gohelp2-1-计算gohelp2-1-同同样是研究空间中的位置关系问题用我们在必修二所学的立体几何方法和本章学批注批注利用立体几何的方式进行位置关系判断通常比较简洁，并有利于培养和提高学生的空间思维能力，但对于一些复杂要求较高；利用空间向量的方式进行位置关系判断步骤上比较繁琐，并且不利于学员建立几何直观，但对思考的要求较低，更容易得到正确的结论，不过在某些不规整的图形中，建系的难度会比较大。利用立体几何的方式求异面直线夹角，辅助线的建立往往比较复杂，且中间的计算过程需要不断利用勾股定理，计算复杂度极高；利用空间向量的方式求异面直线夹角，不需要引入其它的辅助工具，直接可以通过建立坐标系进行计算，过程和计算上比较便捷，通常更为适合。 所成的角等

已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，λ)，若AB⊥AC，则λ等于 设|m|1，|n|2，2mn与m3n垂直，a4