《高等代数读书心得5000字》

《高等代数B》读书报告线性空间和欧氏空间是高等代数的两个重要组成部分。他们之间有区别和联系，需要从不同的角度对其进行比较和探讨。在线性空间中，向量之间的基本运算只是加法和定量乘法，称为线性运算。如果我们把几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体模型，我们会发现向量的度量性质，如长度、角度等，这些都没有反映在线性空间理论中。然而，矢量的测量特性在许多问题中有着特殊的地位，包括几何问题，因此有必要引入测量的概念。以解析几何为例，向量长度和角度的测度性质可用向量的内积表示，向量的内积具有代数性质。在线性空间中引入欧氏空间的概念。欧氏空间的概念对拓展解析几何的研究具有指导意义。有限维线性空间是高等代数的一个重要组成部分。陈少君已经在有限维线性空间的基和维数研究有限维线性空间。本文讨论了有限维线性空间基和维数的几种求解方法，包括一种常用的重要方法：一般元素的独立不定数。对于欧氏空间和线性空间之间的关系，张金莱教授研究了欧氏空间中的线性变换的一些问题，并得出了欧氏空间的变换是线性变换的一个充分条件。孙霞在《常见线性空间与欧式空间的基于标准正交基的求法》一文中阐述到，高等代数线性空间的概念是一个重要的属性。欧氏空间中的深刻理解是理解高等数学的一个重要的信息，和线性空间的维数和欧氏空间的正交基标准是对空间的理解的基础上。在本文中，我们解释了线性空间与欧氏空间方面在对数域，并讨论在数域P的函数、方法和维度的基础步骤和标准正交基。在我看来，欧式空间可以理解为线性空间中的几何空间的泛化的结果。线性空间缺乏测量。它不能描述矢量的长度和线性空间中的向量夹角。这一缺陷制约着线性空间的使用。向量的长度和载体的角度可以利用向量的内积的几何空间的定义，所以线性空间的度量性质只要产品的内在特性在线性空间中添加。在一个大的方式，欧氏空间与内积的线性空间，但他们在基础领域，不同特性的基础上，向量的坐标转换矩阵，线性变换空间的同构。线性空间是高等数学中最基本的概念之一，线性空间的理论不仅是高等代数的核心，它用公理化的方法引入了一个代数系统.同时线性空间与线性变换也是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念，而且广泛渗透到各个领域中，如经济管理科学、工程技术、自然科学等.所以线性空间理论既是现代数学的重要支柱，也是应用很广泛的理论之一。线性空间又被称作向量空间，线性空间的概念是维向量空间概念的抽象和提高，它把直观、具体的平面与集合空间推广到了抽象的线性空间.所以从一定意义上来讲，线性空间是几何学的推广与升华，特别是在解析几何学中。我们一般这样定义线性空间，设V是非空集合，F是某一个数域：V上定义了一个加法运算（也就是说，给出了一个对应法则，按照这个法则，V中任意两个元素与，在V中都有一个确定的元素与只对应，称为与的和，记法=+），同时也定义了一个用F上的数乘以V中元素，乘积保持为V中元素的数乘运算（也就是说，给出了这样一个对应法则，对于F上的任意一个数与V中任意一个元素，按照这个法则，V中总有一个确定的元素与之对应，称为乘的数乘积，有关这两个运算还满足以下八条运算律：设(1)(2)(3)V中存在零元素，记它为0，对任何V中元素，都有+0=成立;(4)对V中的任何元素，V中一定还存在的负元素，记为-，使得+（-）=0;(5)1=;(6)(7)(8)。这时便称V是数域F上的一个线性空间；实数域R上的线性空间称为是线性空间；复数域C上的线性空间称为复线性空间。线性变换的定义为线性空间的一个变换A称为线性变换，如果对于中任意的元素和数域中任意数，都有A()=A()+A(),A()=A().也可以把这两个式子统一，线性空间的一个线性变换A称为线性变换，如果对于中的任意、β和数域中的任意数、有A+=A+A()。设是数域上维线性空间的一组基，在这组基下，每个线性变换按公式对应一个矩阵，这个对应具有以下性质：线性变换的和对应于矩阵的和；线性变换的乘积对应于矩阵的乘积；线性变换的数量乘积对应于矩阵的数量乘积；可逆线性变换与可逆矩阵对应，且逆变换对应于逆矩阵。其中线性变换A对应的秩为A的维数，而V的维数=A的秩+A的零度，故矩阵的秩应不大于的维数。矩阵是实际问题及许多学科上应用很广的一类矩阵，有许多问题常可归结为对一个或一组大型稀疏矩阵的线性代数方程组的求解问题，而在求解线性方程组时往往需要假设系数矩阵是矩阵。同时它在计算数学、控制论、电力系统理论、经济数学等众多领域中都有着十分重要的意义和具体的实用价值，相似矩阵是近年来研究较为热门的一类特殊矩阵，并且越来越引起更多数学工作者的重视。究其原因，主要是由于矩阵在稳定性研究中以及在求解线性方程组Ax=b的迭代解法中的重要作用。已经证明，当线性方程组Ax=b的系数矩阵是矩阵时，一些经典的迭代算法如Jacobi、Gauss-Seidel、SOR、AOR、SSOR等均是收敛的，同时对目前提出的一些新算法，如分块SOR算法、分块SSOR算法、并行矩阵多分裂块松弛迭代算法等均是收敛的。自1937年由A.M.Ostrowski在文中引入矩阵的定义并研究了矩阵的一些简单性质以来，关于矩阵的性质和判定的研究已进行了将近七十年，到目前为止，对矩阵性质的研究可以说已比较完善，但对矩阵判定的研究却方兴未艾，一些简捷实用的判定条件层出不穷，特别是不断出现的一些迭代算法。其中以游兆永、高益明、逢明贤、刘建州、黄廷祝、孙玉祥、沈光星等为代表的学者主要是利用矩阵的定义和性质，通过构造不同的正对角矩阵或以G-函数、有向图中的回路等作为工具，综合利用不等式的放缩技巧来给出矩阵的判定条件；进而李磊、BishanLi、黄廷祝、M.Harada等学者近期又相继给出了矩阵的一些迭代判别算法。线性映射σ在给定基下的矩阵表示A是唯一的，它的逆问题就是他的两个定理。在线性变化的相似矩阵里，设线性空间中线性变换A在两组基；下的矩阵分别为和，从基到的过度矩阵是，于是=.设,为数域上两个级矩阵，如果可以找到数域上的级可逆矩阵，使得=，就说相似于，记作相.也就是说矩阵，相似，并且可逆。相似矩阵具有以下性质：1.反身性:相似；2.对称性:如果相似，那么相似；3.传递性：如果相似，相似C，那么相似。大约在公元前300年古希腊数学家欧几里德建立了角与空间距离的定律，现在它被称为欧几里德几何。Euclid首先在平面上发展了二维物体的“平面几何”。然后他分析了三维物体的“三维几何”，欧几里得的所有公理都被编排成一个抽象的数学空间，称为二维或三维欧氏空间。这些数学空间可以被扩展来应用于任何有限维度，而这种空间叫做 n 维欧几里得空间（甚至简称  n维空间）或有限维实内积空间。这些数学空间还可被扩展到任意维的情形，称为实内积空间（不一定完备），希尔伯特空间在高等代数教科书中也被称为欧几里得空间。为了开发更高维的欧几里得空间，空间的性质必须严密地表达并被扩展到任意维度。尽管这样做的结果导致数学非常抽象，但却捕获了我们熟悉的欧几里得空间的根本本质，即平面性。还另存在其他种类的空间，例如球面则非欧几里得空间，相对论所描述的四维时空在重力出现的时候也不是欧几里得空间。有一种方法，认为欧几里德平面是一组满足特定点的点，可以根据距离和角度来表示。一个是翻译。这意味着移动平面将使所有点在同一方向上移动相同的距离。另一个是关于这个平面上不动点的旋转，在这个平面上所有点在这个固定点上以相同的角度旋转。欧几里德几何的基本原理之一是，如果一个图可以通过一个平移和旋转序列转换成另一个图，则该平面的两个图（子集）应被视为等价（全部相等）。欧氏空间的最后一个问题是，它在技术上不是向量空间，而是在其仿射空间上的向量空间。直觉，不同之处在于，在这个空间中，原点的位置没有标准的选择，因为它可以到处移动。这项技术在本文中基本上被忽略了。欧氏空间，又称平面空间，是Euclid的2维和3维空间在数学中的推广。这种推广将欧氏距离和相关概念转换成任意数量的三维坐标系。这是有限维、实内积空间的“标准”例子。欧氏空间是一个特殊的度量空间，它使我们能够研究它的拓扑性质，如紧性。内积空间是欧氏空间的一个推广。内积空间和度量空间在泛函分析中都有讨论。欧氏空间对包含欧氏几何和非欧几何流形的定义起到了一定的作用。定义距离函数的一个数学动机是定义围绕空间点的开球。这个基本概念证明欧氏空间和其他流形之间的区别。微分几何是微分方程的一个导数，它与可操作性和局部欧氏空间的引入相结合。我们讨论了非欧流形的许多性质。当线性空间定义内积运算时，它变成欧氏空间。欧氏空间是无限的。在线性空间中，向量之间的运算只通过两个基本运算来增加和相乘，而向量的长度、角度和距离等度量属性在线性空间中没有反映出来。因此，有必要在线性空间中引入度量的概念。在解析几何中，我们看到向量的长度和角度都可以用向量的内积来表示，所以我们选择内积作为基本概念。将内积引入线性空间将成为欧氏空间。设是实数域上的一个线性空间，如果在上定义一个二元实函数，记作，称为内积。如果它有以下性质：1.2.3.4.，当且仅当时，这里是中任意向量，是任意实数，就称线性空间对内积构成一个欧几里得空间，简称欧式空间。在知道了一组基的度量矩阵之后，任意两个向量的内积就可以通过坐标按上式计算，因而度量矩阵完全确定了内积。欧式空间与线性空间的主要差别是在欧式空间中有度量性质，而度量性质又是由内积的概念做基础，内积可以通过度量矩阵表示。因此，如何选择基，使得度量矩阵最简单是一个重要问题。欧式空间中一组非零的向量，如果它们两两正交，就称为一个正交向量组。显然，正交向量组是线性无关的。在维欧式空间中，两两正交的非零向量不能超过个。在维欧式空间中，由个正交向量组成的基称为正交基。由单位向量组成的正交基称为标准正交基。实数域R上欧式空间与称为同构的，如果由到有一个双射，满足1.2.3.这里这样的映射称为到的同构映射。如果是欧式空间到的一个同构映射，那么也是线性空间到的一个同构映射。因此，欧式空间的同构具有线性空间同构的性质。欧式空间的同构关系也具有反身性、对称性、传递性。从基础域的对比讨论，线性空间讨论的平台是一般的数域P，即P可以是任意数域;而欧式空间讨论的平台是实数域，属于线性空间的一种特例。从运算的对比讨论讨论，数域P上的线性空间V的运算有：向量的加法、数量与向量的乘法，即:(1)如果QUOTE，有QUOTE；(2)如果QUOTE有QUOTE。而欧式空间的运算有:向量的加法、数量与向量的乘法、向量的内积，即:(1)如果QUOTE有QUOTE；(2)如果QUOTE，有QUOTE；(3)如果QUOTE有QUOTE。从基的对比讨论，n维线性空间一定有基。定理：如果在线性空间V中有n个线性无关的向量QUOTE，且V中任一向量都可以用它们的线性表出，那么V是n维的，而QUOTE就是V的一组基。而n维欧式空间不仅一定有基，而且有正交基、标准正交基。定义：在n维欧式空间V中，由n个向量组成的正交向量组称为正交基；由单位向量组成的正交基称为标准正交基。n维欧式空间V的一个标准正交基又可以由n维线性空间的一个基求得。设QUOTE是n维欧式空间V的一个基，利用施密特正交化法，即可以得到n维欧式空间V的一个标准正交基。从向量坐标的对比讨论，无论是n维线性空间还是n维欧式空间，在取定一个基之后，空间中的任意一个向量关于取定基的坐标都是唯一的，但欧式空间的讨论更明确。在n维欧式空间V中取定一个标准正交基QUOTE之后，其中，任意一个向量QUOTE关于该基的坐标QUOTE不仅唯一，而且有QUOTE，i=1,2L，n。从线性变换的对比讨论，在线性空间v中讨论了一般的线性变换:定义：线性空间V的一个变换A称为线性变换，如果对于V中任意的元素QUOTE和数域P中任意数k,都有：A（QUOTE）=AQUOTE；A（kQUOTE）=k（AQUOTE且线性空间中的一个线性变换不一定可以对角化;线性空间中一个线性变换的属于不同特征值的特征向量线性无关。在欧式空间中不仅讨论了一般的线性变换，还讨论了两种特殊的线性变换，即正交变换和对称变换。从同构的对比讨论，定理：数域P上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的维数。即