高一数学-抽象函数初步

抽象函数初步一般说,给出的抽象函数总不会就是一个“f(x)”的.总得告诉我们一些关于这个抽象函数f(x)的一些性质，这些就是我们推导这个函数的其他性质或者另一个和给出的函数f(x)有一定关系的函数的性质的基础.一、定义域该类题目的解法往往有两种:一是利用复合函数和构成这个复合函数的内层函数外层函数的定义域之间的关系;二是利用函数的和差积商构成的复杂函数和原先这些函数的定义域之间的关系.已知函数y二f(x)的定义域为b,l],求函数f(x+m)+f(x-m)(m>0)的定义域.设函数f(x-1)的定义域是L2,3),求函数f(2+1)的定义域.x二、求函数值求抽象函数的函数值,通常有两点是必须的:至少有一个函数值f(a)是已知的；函数有某种性质，它可以成为所求的函数值f(b)和已知的函数值f(a)之间的桥梁.函数f(x)对于任何a,beR+,恒有f(ab)=f(a)+f(b),若f⑻=6.求fQ2).15f(x)是R上的奇函数，f(x+2)二一f(x),当0<x<1时，f(x)二x.求f(—).2三、奇偶性抽象函数要讨论奇偶性时，题意中会给你两个变量的运算关系等此类性质，所以一般从中找出两个条件:奇偶性的关键问题是找出f(x)土f(-x)二0的关系式是否成立，所以找出那个使函数值为0的自变量x就成了这些问题解决的关键.由于已知两个自变量存在关系式,那么令其中一个为x,那么另一个即为-x.通过适当的等式变形，就可得到f(x)土f(-x)二0的关系式.5.已知f(x)是定义在R上的函数，并且满足f(x+y)=f(x)+f(y).求证f(x)为奇函数.已知f(x)定义在(—s,0)(0,+Q上,且f(xy)二f(x)+f(y).求证：⑴f⑴二f(-1)二0;⑵f(x)为偶函数.四、单调性在x<x,x,xeA(A是定义域D的子集)的前提下，通常用作差：f(x)-f(x)来比较121212f(x)与f(x)的大小.那么,我们在求证抽象函数单调性时,我们一样可以从原本证明单调12性的方法中化解出两点：在题意中找出或推导出某一个函数值大于或小于0,或者找出不等关系.然后建立关系式用来比较大小;然后令两个变量一个为x,另一个为x,通过“凑”的方法找出f(x),f(x)之差1212与0的关系.x常用凑的方法有f(x)=f(x一x+x);f(x)=f(1x);f(x一x)=f(x+(-x));11221x212122f(xi+1)(其中t大于0)等.f(xi)已知f(x)是定义在R上的函数，当x>0时，f(x)>1,并且对于任意a,beR,有f(a+b)=f(a)+f(b).求证f(x)为R上的增函数.已知偶函数f(x)在H+J上是增函数，解不等式f(x-1)>f(1-2x).巩固练习已知函数y二f(x)的定义域为b」］,求f(x2),f(2x)+f(x+3)的定义域.x+xx-x已知函数y二f(x),xeR,f(0)丰0,且f(xi)+f(x丿二2f(122)f(122),试判断f(x)的奇偶性.3.已知f(x)是定义在R上的增函数，设F(x)二f(x)-f(a-x).试证F(x)是R上的增函