正投影法基础

正投影法基础第一页，共八十页，2022年，8月28日§2-1投影法的基本概念§2-2三视图的形成及其投影规律§2-3立体表面几何元素的投影分析§2-4立体表面几何元素在三视图中的投影举例正投影法基础第二页，共八十页，2022年，8月28日§2-1投影法的基本概念一、中心投影法二、平行投影法三、正投影法中平面和直线的投影特点正投影法基础第三页，共八十页，2022年，8月28日投影面一、投影方法a

投影S

投射中心A

空间点空间点B

投影b投射线

物体在投影面上的影像称投影，获得投影的方法称投影法。正投影法基础第四页，共八十页，2022年，8月28日二、投影法的种类中心投影法和平行投影法正投影法基础第五页，共八十页，2022年，8月28日一、中心投影法ACBabc物体投射线投影面P投射中心S投影正投影法基础第六页，共八十页，2022年，8月28日一、中心投影法

如上个演示所看到，由投射中心S出发，通过物体ABC上各点的投射线与投影面P相交，形成了ABC的投影abc。此种投射线都交于投射中心S的投影方法称为中心投影法。当物体与投射中心和投影面的相对位置发生变化时，投影也随之发生变化，而且一般不反应物体的实际形状和大小，由于度量性较差，在工程制图中不采用此法。正投影法基础第七页，共八十页，2022年，8月28日投影面P将投射中心移至无限远处,则投射线相互平行,此种投影方法称平行投影法。物体ABC投影abc投射线二、平行投影法正投影法基础第八页，共八十页，2022年，8月28日二、平行投影法斜投影法投射线沿S方向相互平行SS正投影法PP(1)平行投影法种类：正投影法、斜投影法

在平行投影法中投影大小与物体和投影面间距离无关，度量性好。正投影法基础第九页，共八十页，2022年，8月28日ABCPS

(2)平行投影法的特性：PSabca、真形性

平行于投影面的线段，其投影反映实长；平行于投影面的平面，其在投影面上的投影反映平面的实形。EDeded=ED△abc≌△ABC真形性、定比性、平行性。第十页，共八十页，2022年，8月28日APBC

b、

定比性

直线上两线段之比等于其投影之比。abc定比性AC∶CB=ac∶cbc、平行性空间两线段平行，则它们的投影仍相互平行。平行性AB∥CD，ab∥cdACBDabcdP第十一页，共八十页，2022年，8月28日投影面正投影是平行投影的一种，具有平行投影法的特性。真形性、积聚性、类似性Rr真形性Qq空间平面或直线平行于投影面，其投影反映平面的实形或线段的实长。积聚性空间平面或直线垂直于投影面，其平面的投影积聚为一直线，直线的投影积聚为一点。Ss类似性空间一平面倾斜于投影面，其投影为空间图形的类似形。三、正投影法中平面和直线的投影特点第十二页，共八十页，2022年，8月28日§2-2三视图的形成及其投影规律一、三投影面体系二、三视图的形成三、三视图的投影规律正投影法基础第十三页，共八十页，2022年，8月28日

1.问题的提出一般情况下，在正投影法中仅用一个投影面，不能完全、准确地表达物体的全部形状和结构。投影面不同的实体在一个投影面中的投影却相同一、三投影面体系正投影法基础第十四页，共八十页，2022年，8月28日一、三投影面体系

若将物体置于三个相互垂直的投影面内，从不同的方向向三个投影面进行投射。由这三个互相垂直的投影面构成的体系称为三投影面体系。V（正面投影面）H（水平投影面）(侧面投影面)WOZXY正投影法基础第十五页，共八十页，2022年，8月28日投影面VWH

2.三投影面体系的建立正立投影面（简称正面或V面）水平投影面（简称水平面或H面）侧立投影面（简称侧面或W面）投影轴OX轴V面与H面的交线

OY轴H面与W面的交线

OZ轴V面与W面的交线ZXYO正投影法基础第十六页，共八十页，2022年，8月28日VWH

将物体置于三个相互垂直的投影面内正投影法基础第十七页，共八十页，2022年，8月28日视图的概念

视图就是将物体向投影面投射所得的图形。二、三视图的形成在V面中的投影称为正面投影—主视图；在H面上的投影称为水平投影—俯视图；在W面上的投影称为侧面投影—左视图。正投影法基础第十八页，共八十页，2022年，8月28日VWHZXYO国标规定：

V面保持不动，

H面向下绕OX轴旋转90°W面绕OZ轴向右旋转90°V面不动H面向下旋转W面向右旋转正投影法基础第十九页，共八十页，2022年，8月28日VHZWYOX正投影法基础第二十页，共八十页，2022年，8月28日三、三视图的投影规律为了简化作图，在三视图中不画投影面的边框线，视图之间的距离可以根据具体情况确定。正投影法基础第二十一页，共八十页，2022年，8月28日主视图俯视图左视图长高宽宽主、俯视图长相等且对正长对正主、左视图高相等且平齐俯、左视图宽相等且对应高平齐宽相等

三视图的投影规律第二十二页，共八十页，2022年，8月28日

三视图之间的方位对应关系

主视图反映：上、下、左、右俯视图反映：前、后、左、右左视图反映：上、下、前、后上下左右后前上前后左右下左右上下第二十三页，共八十页，2022年，8月28日§2-3立体表面几何元素的投影分析一、立体上点的投影二、立体上直线的投影三、立体上平面的投影正投影法基础第二十四页，共八十页，2022年，8月28日B2B3

PB1

1.点在一个投影面上的投影APab点在一个投影面上的投影不能确定点的空间位置。一、立体上点的投影正投影法基础第二十五页，共八十页，2022年，8月28日2.点的三面投影WHVOX空间点A在三个投影面上的投影a

点A的正面投影a

点A的水平投影a

点A的侧面投影空间点用大写字母表示，点的投影用小写字母表示。a●a●a●A●ZY一、立体上点的投影正投影法基础第二十六页，共八十页，2022年，8月28日一、立体上点的投影

3.点的投影规律ZOXYYa'aa"axaz点的投影连线与投影轴的关系

a`aOX点的投影到投影轴之距与点到投影面之距的关系a`ax=点到H之距a`az=点到W之距aax=a``az=点到V之距a`a``OZ正投影法基础第二十七页，共八十页，2022年，8月28日VWHZXYO正投影法基础Aa‘aaa第二十八页，共八十页，2022年，8月28日正投影法基础aaaaaa第二十九页，共八十页，2022年，8月28日4.两点的相对位置两点的相对位置指两点在空间的上下、前后、左右位置关系。判断方法▲x

坐标大的在左

▲y坐标大的在前▲z坐标大的在上baa

abb●●●●●●B点在A点之前、之右、之下。XYHYWZ正投影法基础第三十页，共八十页，2022年，8月28日重影点

空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时，则称此两点为该投影面的重影点。A、C为H面的重影点●●●●●aacc被挡住的投影加()()A、C为哪个投影面的重影点呢a

c？第三十一页，共八十页，2022年，8月28日●●aaaX例1:已知点A的两个投影，求第三投影。●a●●aaaXazaZ解法一:通过作45°线使aaZ=aaX解法二:用分规直接量取aaZ=aaXa●第三十二页，共八十页，2022年，8月28日例2:已知点的两个投影，求第三投影。a●b空间点A在OX轴上空间点B在OZ轴上●●bbZOXY●aaZOXY

在哪里？a●

在哪里？b●空间点A在哪里？空间点B在哪里？第三十三页，共八十页，2022年，8月28日二、立体上直线的投影

画直线段的投影时，一般先画出线段上两端点的投影，然后分别将两端点的同面投影连成线。直线投影也符合“长对正、高平齐、宽相等”的投影规律。正投影法基础第三十四页，共八十页，2022年，8月28日ab●●●aabb●●●将两点的同面投影用直线段连接，就得到直线段的同面投影。直线AB的三个投影二、立体上直线的投影正投影法基础第三十五页，共八十页，2022年，8月28日AB直线对一个投影面的投影特性：1.各种位置直线的投影特性直线垂直于投影面投影重合为一点

积聚性直线平行于投影面投影反映线段实长

ab=AB

真实性直线倾斜于投影面投影比空间线段短

ab=ABcosα类似性AB●●●●abαAMB●a≡b≡m●●●●●●●ab二、立体上直线的投影正投影法基础第三十六页，共八十页，2022年，8月28日

直线在三个投影面中的投影特性：投影面平行线：投影面垂直线:一般位置直线：特殊位置直线：平行于某一投影面而与其余两投影面倾斜垂直于某一投影面与三个投影面都倾斜的直线二、立体上直线的投影1.各种位置直线的投影特性正投影法基础第三十七页，共八十页，2022年，8月28日二、立体上直线的投影

1.各种位置直线的投影特性（1）投影面平行线VWHVWHVWH//V正平线水平线//H//W侧平线正投影法基础第三十八页，共八十页，2022年，8月28日二、立体上直线的投影

1.各种位置直线的投影特性实长b'b"a'a"ba投影特性：◆

在所平行的投影面上的投影反映实长及与其它二投影面的倾角。◆

另外二投影分别平行相应的投影轴。正投影法基础第三十九页，共八十页，2022年，8月28日二、立体上直线的投影

1.各种位置直线的投影特性（2）投影面垂直线VWH正垂线VVWHH铅垂线VWHW侧垂线正投影法基础第四十页，共八十页，2022年，8月28日二、立体上直线的投影

1.各种位置直线的投影特性投影特性：◆在所垂直的投影面上的投影积聚成一点。◆

另外二投影分别平行相应的投影轴且反映实长a'a"b"b'a(b)实长实长积聚性正投影法基础第四十一页，共八十页，2022年，8月28日二、立体上直线的投影

1.各种位置直线的投影特性（3）一般位置直线直线相对于投影面的位置可归结为几类？VWH

对H、V、W面均倾斜的直线就是一般位置直线。

投影特性：◆

三个投影都是倾斜直线，并且都小于实长。正投影法基础第四十二页，共八十页，2022年，8月28日二、立体上直线的投影

1.各种位置直线的投影特性（4）一般位置直线实长正投影法基础第四十三页，共八十页，2022年，8月28日abba线段的两个投影、线段的长度以及线段与投影面的夹角之间的关系。（一）空间分析：

1、线段AB、AK（水平投影ab）、BK（A、B两点到H面的距离差）构成了一个直角三角形。ABVHbbaakα

2、直角边BK（距离差）在投影图上的反映ZAZB／ZB-

ZA／—直角三角形法的作图原理第四十四页，共八十页，2022年，8月28日abba1.以线段的水平投影a

b

为一条直角边AK；（二）作图方法：

2.作另一直角边BK。以线段两端点A、B到H面的距离差／BZ-

AZ／为另一条直角边的长，从正面投影量取；ABVHbbaaKα

3.作出直角三角形。其斜边即为线段AB的实长；斜边与投影直角边（水平投影a

b）的夹角就是AB与H面的夹角α。ZAZB／ZB-

ZA／ABαAK／ZB-

ZA／第四十五页，共八十页，2022年，8月28日二、立体上直线的投影

2.直线上点的投影

a'b'abc'c

点在直线上判定方法：◆点的投影在直线的同面投影上◆点将线段分割成定比——定比定理

ac/cb=a'c'/c'b'=AC/CB正投影法基础第四十六页，共八十页，2022年，8月28日例:判断点K是否在线段AB上。ab●k因k不在a

b

上故点K不在AB上。abkabk●●另一判断法方法一：方法二：应用定比性：因

ak/kb≠ak/kb所以点K不在AB上。第四十七页，共八十页，2022年，8月28日二、立体上直线的投影

3.两直线的相对位置

两直线的相对位置有三种情况：平行、相交和交叉。平行与相交两直线处于同一平面称为同面直线，交叉二直线称为异面直线。a'b'c'd'abcdk'b'abc'd'cdka'平行相交交叉a'b'c'd'cabd4'1'2'123'34正投影法基础第四十八页，共八十页，2022年，8月28日二、立体上直线的投影

3.两直线的相对位置----平行

若空间两直线相互平行，则其同面投影必相互平行，且投影长度成一定比例。反之亦然。VHXc`d`CDc``d``a`b`ABa``b``a'b'c'd'abcd正投影法基础第四十九页，共八十页，2022年，8月28日abcdcabd例1:判断图中两条直线是否平行。

分析：结论：AB//CD对于一般位置直线，只要有两个同面投影互相平行，空间两直线就平行。正投影法基础第五十页，共八十页，2022年，8月28日bdcacbaddbac

分析：

求出侧面投影后可知：AB与CD不平行。例2:判断图中两条直线是否平行。方法：求出侧面投影如何判断？

对于特殊位置直线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。正投影法基础第五十一页，共八十页，2022年，8月28日二、立体上直线的投影

3.两直线的相对位置----相交

若空间两直线相交，则其同面投影必相交。而且交点必符合直线上点的投影规律。反之亦然。VHXa`b`ABabc`d`CDcde`eEb'abc'd'cda'ee'正投影法基础第五十二页，共八十页，2022年，8月28日●●cabbacdkkd例:过C点作水平线CD与AB相交。步骤：1.先作正面投影：作cd∥OX

交ab于k。OX2.连接ck并延长求得d。分析水平线的投影特性:正面投影平行X轴正投影法基础第五十三页，共八十页，2022年，8月28日二、立体上直线的投影

3.两直线的相对位置----交叉

空间两直线既不平行又不相交称为交叉。交叉两直线同面投影的交点不符合直线上点的投影规律。a'b'c'd'cabd121`（2`)4（3）3'4'

投影的交点是两直线上的重影点，不是两直线的交点！正投影法基础第五十四页，共八十页，2022年，8月28日二、立体上直线的投影

3.两直线的相对位置----交叉

在特殊情况下也可能有一对或两对同面投影平行。OXYHYWZa`b`abd`c`cda``c``b``d``正投影法基础第五十五页，共八十页，2022年，8月28日三、立体上平面的投影

立体上每个平面在三投影面体系中的投影，由围成该平面的点和线的同面投影确定。

平面的投影同样符合“长对正，高平齐，宽相等”的投影规律。正投影法基础第五十六页，共八十页，2022年，8月28日平面对于三投影面的位置可分为三类垂直面垂直于某一投影面，倾斜于另两个投影面特殊位置平面平行面平行于某一投影面，垂直于另两个投影面与三个投影面都倾斜一般位置平面投影面垂直面投影面平行面一般位置平面三、立体上平面的投影正投影法基础第五十七页，共八十页，2022年，8月28日三、立体上平面的投影

1.投影面平行面—正平面(//V)VWH正投影法基础第五十八页，共八十页，2022年，8月28日三、立体上平面的投影

1.投影面平行面—水平线(//H)VWH正投影法基础第五十九页，共八十页，2022年，8月28日三、立体上平面的投影

1.投影面平行面—侧平线(//W)VWH正投影法基础第六十页，共八十页，2022年，8月28日在它所平行的投影面上的投影反映实形。

另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线。平行面的投影特性：三、立体上平面的投影

1.投影面平行面----投影特性正投影法基础第六十一页，共八十页，2022年，8月28日三、立体上平面的投影

2.投影面垂直面—正垂面(V)VWHcacabbcba正投影法基础第六十二页，共八十页，2022年，8月28日三、立体上平面的投影

2.投影面垂直面—铅垂面(H)VWHcβacabbcba正投影法基础第六十三页，共八十页，2022年，8月28日三、立体上平面的投影

2.投影面垂直面—侧垂面(W)VWHcacabbcba正投影法基础第六十四页，共八十页，2022年，8月28日三、立体上平面的投影

2.投影面垂直面----投影特性垂直面的投影特性：

在它垂直的投影面上的投影积聚成直线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小。

另外两个投影面上的投影有类似性。正投影法基础第六十五页，共八十页，2022年，8月28日三、立体上平面的投影

3.一般位置平面VWH平面对三投影面均倾斜正投影法基础第六十六页，共八十页，2022年，8月28日abcacbabc三、立体上平面的投影

投影特性：◆在H、V、W面上的投影皆为空间平面图形的类似图形。3.一般位置平面----投影特性正投影法基础第六十七页，共八十页，2022年，8月28日P为正垂面S为铅垂面R为正平面例：参照立体图，说明立体上每个平面相对于投影面的位置。第六十八页，共八十页，2022年，8月28日1)平面上取任意直线

若一直线通过平面上的两点，则此直线必在该平面内。

若一直线通过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。方法一：方法二：如何判断直线在平面内？4.平面内取点、取线正投影法基础第六十九页，共八十页，2022年，8月28日abcbcaabcbcadmnnmd例1:已知平面由相交的两直线AB、AC所确定，试在平面内任作一条直线。解法一解法二（利用方法一）（利用方法二）有无数个解。第七十页，共八十页，2022年，8月28日例2:在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距离为20mm。nmnm20cabcab

结论：唯一解！问题：本题有几个解？第七十一页，共八十页，2022年，8月28日2)平面上取点