第一基本概念与抽样分布演示文稿

第一基本概念与抽样分布演示文稿第一页，共五十一页。优选第一基本概念与抽样分布第二页，共五十一页。由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性.从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布.这样总体就可以用一个随机变量及其分布来描述.统计中，总体这个概念的要旨是：

总体就是一个随机变(向)量或其概率分布.数理统计研究的内容：总体相应随机变(向)量的概率分布及数字特征.第三页，共五十一页。为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为“抽样”，所抽取的部分个体称为样本.样本中所包含的个体数目称为样本容量.2.样本从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验样本容量为5(1).抽样、样本、样本值第四页，共五十一页。

但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数

(X1,X2,…,Xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值.样本是随机变量.抽到哪5辆是随机的容量为n的样本可以看作n维随机向量.第五页，共五十一页。样本具有两重性：10.随机性样本(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量。20.相对确定性经过一次抽样否，样本(X1,X2,…,Xn)又是一组确定的样本值(x1,x2,…,xn)。第六页，共五十一页。由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法.最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面三点:10.随机性：X1,X2,…,Xn每个结果等可能被抽取。20.代表性：X1,X2,…,Xn中每一个与所考察的总体有相同的分布；30.独立性：X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量,每个样本值互不干扰。(2).简单随机样本第七页，共五十一页。

由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的n个随机变量X1,X2,…,Xn表示.简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本.数学定义：

n个随机变量X1,X2,…,Xn独立同分布(X与同分布)，则称(X1,X2,…,Xn)来自总体X的容量为n的简单随机样本，简称为样本.第八页，共五十一页。事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值.如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本.我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.3.总体、样本、样本值的关系第九页，共五十一页。总体（理论分布）？样本样本值统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总体的情况---总体分布F(x)的性质.总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体.样本是联系二者的桥梁第十页，共五十一页。实际上，样本的分布与总体分布的关系如下定理1.若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为第十一页，共五十一页。由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来.二、统计量1.定义设(X1,X2,…,Xn)为总体X的一个样本,f(X1,X2,…,Xn)是一个不含任何有关总体分布未知参数的函数，称为此总体的一个统计量，它是完全由样本决定的量.统计量实际上也是一个随机变量，它是一个随机向量的函数。第十二页，共五十一页。是统计量.不是统计量.统计量的两重性(1).统计量f(X1,X2,…,Xn)本身是随机向量,他有确定的概率分布－抽样分布。(2).经过一次抽样否，f(X1,X2,…,Xn)又是由样本值(x1,x2,…,xn)确定的一个统计值。第十三页，共五十一页。样本k－阶原点矩样本k－阶中心矩

k=1,2,…它反映了总体k阶中心矩的信息

2.常用的统计量（样本矩）(1).定义它们均是随机变量第十四页，共五十一页。样本均值样本方差它反映了总体均值的信息k=1时，A1称为样本均值k=2时，B2称为样本方差第十五页，共五十一页。(2).矩的性质性质1.由大数定律可知大样本条件下，一次抽样后样本均值、方差可作为总体的均值、方差的近似。一般地，抽样分为大样本和小样本问题。第十六页，共五十一页。性质2.证第十七页，共五十一页。推论证第十八页，共五十一页。第十九页，共五十一页。

3.次序统计量(1).定义即：X(k)的取值x(k)为(x(1),…,x(n))按从小到大的次序重新排列后第k个位置的数，第二十页，共五十一页。(2).中位数、样本极差中位数样本极差次序统计量、中位数、样本极差都是统计量。极差可以反映样本值变化的程度或离散程度。第二十一页，共五十一页。例1.计算下列样本中位数、均值、方差、标准差、极差.解第二十二页，共五十一页。

4.经验分布函数(1).定义当给定次序统计量的一组值定义对称Fn(x)为总体X的经验分布函数。为样本值不超过x的频率。第二十三页，共五十一页。经验分布函数Fn(x)从样本直观得到描述性分布.样本直方图可以描述.(2).经验分布函数的性质10.具有通常分布函数的三个性质,图形呈跳跃上升；20.Fn(x)是一个随机变量；第二十四页，共五十一页。30.经验分布函数Fn(x)与总体分布函数F(x)的关系格列汶科(Glivenko)定理：第二十五页，共五十一页。三、抽样分布统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布，这个分布叫做统计量的“抽样分布”

.

抽样分布精确抽样分布渐近分布

(小样本问题中使用)(大样本问题中使用)

抽样分布是由一个统计量(随机变量函数)的分布.研究统计量的性质和评价一个统计推断的优良性，完全取决于其抽样分布的性质.第二十六页，共五十一页。由实际问题与中心极限定理可知，讨论正态总体的样本统计量的分布非常必要。1.正态总体X与样本线性函数的分布(1)总体X～第二十七页，共五十一页。(2)(X1,…,Xn)来自总体X～第二十八页，共五十一页。设X1,…,Xn～N(0,1)且相互独立,则称随机变量：是由正态分布派生出来的一种分布.(1).定义所服从的分布为自由度为

n

的n为独立随机正态变量的个数,也称为第二十九页，共五十一页。其中Γ(x)为伽玛(Gamma)函数具有如下性质：第三十页，共五十一页。10.

设X1,…,Xn～则E(X)=n,D(X)=2n由定义知E(Xi)=0,D(Xi)=1=n第三十一页，共五十一页。30.

2变量的可加性要用到独立随机变量和的卷积公式和Γ(x)

的性质。=2n第三十二页，共五十一页。应用Lindeberg中心极限定理可得：40.极限分布第三十三页，共五十一页。记为T～t(n).设X～N(0,1),Y～

2(n),且相互独立，则称随机变量所服从的分布为自由度为n的t分布，也称为t变量.3.t－分布(1).定义:(2).T变量的密度函数为：第三十四页，共五十一页。10.T～t(n)为具有自由度为n的t分布的随机变量，则T的数字特征具有如下性质：当

n=1时，

T～t(n)实际上是柯西分布，任何阶矩均不存在；(3).T变量的性质：当n>2，

E(T)=0;D(T)=n/(n-2)

.

第三十五页，共五十一页。事实上第三十六页，共五十一页。当n充分大时，其图形类似于标准正态分布密度函数的图形.t分布的密度函数关于x=0对称，是偶函数，且应用Γ函数的性质及司特林(Stirling)公式得：30.极限分布当n充分大时，t分布近似N

(0,1)分布.但对于较小的n，t分布与N(0,1)分布相差很大.第三十七页，共五十一页。由定义可见，服从自由度为n1及n2

的F－分布，n1称为第一自由度，n2称为第二自由度，记作F～F(n1,n2).～F(n2,n1)4.F－分布(1).定义也称为F变量第三十八页，共五十一页。EX不依赖于第一自由度n1.10.若X~F(n1,n2)，X的数学特征:若n2>2(2).若X~F(n1,n2)，X的概率密度为(3).F变量的性质第三十九页，共五十一页。20.若n1=1时，F～F(1,n2)=t2(n2).30.极限分布若X~F(n1,n2)，n2>4，则第四十页，共五十一页。四、抽样分布定理当总体为正态分布时，我们简单地叙述几个抽样分布定理.1.一个正态总体X～设X1,X2,…,Xn是来自总体X～(1).定理1.(样本均值的分布)第四十一页，共五十一页。n取不同值时样本均值的分布第四十二页，共五十一页。n取不同值时的分布第四十三页，共五十一页。(2).定理2(样本方差的分布)则有X1,X2,…,Xn是来自总体X～第四十四页，共五十一页。又相互独立30.的说明第四十五页，共五十一页。2.两个正态总体

情形定理3.第四十六页，共五十一页。或也有或第四十七页，共五十一页。或统计四大分布的定义、基本性质以及上述抽样分布定理在后面的学习中经常用到，要理解，牢记！！第四十八页，共五十一页。下面给出概率分布的