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1定义和例子子空间第19章向量空间

(Vectorspaces)第19章向量空间线性无关一、向量空间定义和例子非空集合V称为域F上向量空间(vectorspace),如果V有一个称为加法(记作+)的二元运算,和一个数乘运算(scalarmultiplication)：

满足：V在加法下构成交换群,对,下列条件成立：

向量空间的定义2V中元:向量(vectors),用u,v,w表示;域中元:数量(scalars),用a,b,c表示;

前边学习了群和环,本章开始学习域,作为准备,我们先复习一下线性空间相关知识.例1:

集合是域R上的向量空间,运算是:向量空间的定义3例2:

是域

上的向量空间,p素数.例3:

设E是域,F是E的子域.则E是F上的向量空间.向量加法和数量乘法是E中的加法和乘法.二、子空间设V是域F上向量空间,称V的非空子集U为V的子空间(Subspace),如果U在V的运算下构成域F上向量空间.子空间4例4:

集合是向量空间的子空间.例5:

令V是域F上向量空间,

是V中元素.则

是V的子空间,称为由生成的子空间.

而称为的一个线性组合.

若,称生成V.

子空间判定：非空+加法和数乘运算封闭.三、线性无关

设V是F上向量空间,S是V的子集.称S在域F上线性相关(linearlydependent),若存在S中向量

及F中不全为零的元素

使得若S在域F上不是线性相关,则称S线性无关(linearlyindependent).线性无关5设V是域F上向量空间,称V的子集B是V的一个基(basis),若B线性无关,且V中每个元素都是B中元素线性组合.定理19.1:若和

都是V的基,则m=n.

线性无关6若一个向量空间有一个包含n个元素的基,则称该向量空间的维数(dimension)是n.规定零空间的维数为0.如一个向量空间没有有限基，则称其为无限维的.关于线性空间，我们有如下重要定

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