(17.1)-第16章多项式环

1多项式环的定义带余相除法第16章多项式环

(PolynomialRings)第16章多项式环定义：多项式环一、多项式环的定义

设R为交换环,则称集合为R上关于未定元x的多项式环(ringofpolynomials).

多项式环的定义2R[x]中的每个元素称为是R上的一个关于未定元x的多项式,常用f(x),g(x)等来表示.设R是交换环,任取,设称f(x)的次数为

n(degree

n),记为

deg

f(x)=n;为

f(x)

的首项系数

(leadingcoefficientoff(x)

)称为常数多项式

(constant)

唯一没有定义次数的多项式设

R

有单位元,若

f(x)首项系数为单位元,则称

f(x)是首1多项式

(monicpolynomial).

次数,首项系数,首1多项式

多项式环的定义3注意相等:两个元素和

相等(equal)当且仅当R[x]中加法和乘法：设R为交换环,取

加法:乘法:,其中

多项式环的定义5注意：R[x]叫做R上的“多项式环”，但还不是真正的环，因为到目前，我们只知道它是一个集合，而没有满足环的要求的加法和乘法两种运算.加法：对应项系数相加乘法：用分配律展开，后在合并同类项(和之前所学完全类似)可以验证：R[x]是一个交换环(同学自行验证)注:加法结合律、交换律,乘法结合律、交换律,

乘法对加法的分配率,都成立.定理16.1

设D是整环,则D[x]也是整环证:已知D[x]为一个有单位元的交换环,其单位元为

(1是D单位元).只需证D[x]无零因子.在D[x]中任取两个多项式：

则的首相系数为.因D是整环，所以,即故D[x]无零因子.

多项式环的定义7关于多项式环的第一个定理为:本次课到此结束谢谢！9多项式环的定义带余除法第16章多项式环

(PolynomialRings)第16章多项式环二、带余除法

带余除法10定理0.1带余除法(DivisionAlgorithm)设a∈Z,b∈Z+,则存在唯一的q,r∈Z,使得a=bq

+r,0≤r<b.整数的重要性质之一即为：带余除法.域上面的多项式也具有类似的性质：定理16.2

中带余除法

设F是域,任取则存在唯一的,使得

其中定理16.2

中带余除法

设F是域,任取则存在唯一的,使得

其中

带余除法11证明：存在性.设若f(x)=0或n<m,取q(x)=0,r(x)=f(x),定理成立.以下设f(x)≠0且n≥m.则degf(x)=n.对n用归纳法若n=0,则必有

设n>0,令,则若定理显然成立.设由归纳假设知

整理便有：定理16.2

中带余除法

设F是域,任取则存在唯一的,使得

其中

带余除法12唯一性：将上面第二个等号两边相减可得：如果上式两边非零,则右边的次数严格大于左边的次数,不可.故必有注:带余除法中r(x)和q(x)分别叫g(x)除f(x)的余式(remainder)和商(quotient).本次课到此结束谢谢！14多项式环的定义带余除法第16章多项式环

(PolynomialRings)第16章多项式环整除,因式,根,重数设

D是整环,f(x),g(x)∈D[x]整除:若存在h(x)∈D[x],使得f(x)=g(x)h(x),称g(x)整除(divides)f(x),记为g(x)|f(x).因式:称g(x)为f(x)的一个因式(factor).

根:a∈D是f(x)的一个根(zeroorroot),如果f(a)=0.重数:若F为域,a∈F且f(x)∈F[x],则称a是f(x)的k重根(azeroofmultiplicityk),如果是f(x)的一个因式,而不是.

带余除法15下面给出带余除法的几个重要推论.推论3

域F上任意n次多项式f(x)至多有n个根,重根按重数计算.推论2(因式定理)

设F是域,a∈F,f(x)∈F[x],则a是f(x)的根当且仅当x-a是f(x)的因式.推论1(余数定理)设F是域,a∈F,f(x)∈F[x],则x-a除f(x)余数是f(a).证:

对n用归纳法.当n=0时,结论显然.设n>0,a是f(x)

的k重根,则有g(x)∈F[x]使得.则n=k+deg(g(x))且g(a)≠0.注意到F[x]为整环.故f(x)的不同于a的根必为g(x)的根.由归纳假设,

g(x)的根的个数不会超过其次数.推论得证.

辗转相除法16

本章的最后给出带余除法的一个重要应用.先来介绍一类环.主理想整环(PrincipalIdealDomain(PID))：称整环R为主理想整环,

如果R的每个理想均为主理想,即形如

定理16.3(F[x]是PID)设F是域,则F[x]是主理想整环.

辗转相除法17证：设I是F[x]的一个理想.若I=0,显然为主理想.设I非零,且取g(x)为I中次数最小的一个元素.则对