流体运动微分方程

流体运动微分方程1第一页，共三十九页，2022年，8月28日控制体分析

最大优点在于对定常流动，当已知控制面上流动的有关信息后，就能求出总力的分量和平均速度，而不必深究控制体内各处流动的详细情况，给一些工程问题的求解带来方便。

缺点是不能得到控制体内各处流动的细节，而这对深入研究流体运动是非常重要的。

这一章中我们将推导微分形式的守恒方程。2第二页，共三十九页，2022年，8月28日

流体流动微分方程包括:连续性方程运动方程

连续性方程是流动流体质量守恒的数学描述。运动方程则是流动流体动量守恒的数学描述。二者都是基于流场中的点建立的微分方程。3第三页，共三十九页，2022年，8月28日6.1连续性方程zyxρvzρvyρvx

连续性方程反映流动过程遵循质量守恒。现取微元体如图。4第四页，共三十九页，2022年，8月28日输出微元体的质量流量为：可得输入微元体的质量流量：5第五页，共三十九页，2022年，8月28日则输出与输入之差为：微元体内质量变化率为：6第六页，共三十九页，2022年，8月28日根据质量守恒原理有：或该式即为直角坐标系下的连续性方程。由于未作任何假设，该方程适用于层流和湍流、牛顿和非牛顿流体。7第七页，共三十九页，2022年，8月28日对不可压缩流体，ρ=常数，有әρ/әt=0，则连续性方程为不可压缩流体的连续性方程不仅形式简单，而且应用广泛，很多可压缩流体的流动也可按常密度流动处理。8第八页，共三十九页，2022年，8月28日在直角坐标系中可表示为对平面流动(柱坐标和球坐标下的连续性方程自学。)9第九页，共三十九页，2022年，8月28日例题：不可压缩流体的二维平面流动，y方向的速度分量为试求x方向的速度分量，假定x=0时，vx=0。10第十页，共三十九页，2022年，8月28日解：不可压缩流体的平面运动满足连续性方程由已知条件得积分得vy=y2-y-x11第十一页，共三十九页，2022年，8月28日根据边界条件x=0时vx=0代入上式得故有所以12第十二页，共三十九页，2022年，8月28日例题：不可压缩流体的速度分布为

u=Ax+By,v=Cx+Dy,w=0若此流场满足连续性方程和无旋条件，试求A，B，C，D所满足的条件。不计重力影响。13第十三页，共三十九页，2022年，8月28日解：由连续方程可知则有又由于流动无旋，则有则有u=Ax+By,v=Cx+Dy,w=014第十四页，共三十九页，2022年，8月28日练习：有一个三维不可压流场，已知其x向和y向的分速度为求其z向的分速度的表达式。当x=0，z=0时，vz=2y。15第十五页，共三十九页，2022年，8月28日6.2不可压缩粘性流体运动微分方程在运动着的不可压缩粘性流体中取微元平行六面体流体微团，作用在流体微元上的各法向应力和切向应力如图所示。16第十六页，共三十九页，2022年，8月28日zyxσxxxyxzσyyyxyzzyσzzzxfxfzfyәxyxy+әxdxәxzxz+әxdxәσxxσxx+әxdxәzyzy+әzdzәzxzx+әzdzәσzzσzz+әzdzdzdydxәyxyx+әydyәyzyz+әydyәσyyσyy+әydy17第十七页，共三十九页，2022年，8月28日

对流体微团应用牛顿第二定律，则沿x轴方向的运动微分方程为18第十八页，共三十九页，2022年，8月28日化简后得同理得——以应力表示的运动方程19第十九页，共三十九页，2022年，8月28日将切应力和法向应力的关系式代入上式的第一式并整理得：20第二十页，共三十九页，2022年，8月28日同理得——不可压缩粘性流体的运动微分方程，也叫Navier-Stokes方程，简称N-S方程。21第二十一页，共三十九页，2022年，8月28日

法国工程师和物理学家。特别对力学理论有很大贡献。流体力学中的纳维尔.斯托克斯（Navier-Stokes）方程就用他和斯托克斯的名字命名的。他首次建立了可以于工程实际的弹性理论的数学表达式。1819年，纳维尔定义了应力零线，并修正了伽利略的错误结果。1826年，他提出弹性模量概念。纳维尔通常被认为是现代结构分析的奠基人。纳维尔的最大贡献当然还是N-S方程，流体力学的基本方程。克劳德.路易.纳维尔ClaudeLouisNavier1785~183622第二十二页，共三十九页，2022年，8月28日N-S方程理想流体γ=0理想流体欧拉运动微分方程定常流动欧拉平衡微分方程23第二十三页，共三十九页，2022年，8月28日莱昂哈德·欧拉（LeonhardEuler）

1707～1783

瑞士数学家和物理学家。他被称为历史上最伟大的两位数学家之一（另一位是卡尔·弗里德里克·高斯）。欧拉是第一个使用“函数”一词来描述包含各种参数的表达式的人，例如：y=F(x)(函数的定义由莱布尼兹在1694年给出)。他是把微积分应用于物理学的先驱者之一。欧拉在微积分、微分方程、几何、数论、变分学等领域均做出了巨大贡献。

24第二十四页，共三十九页，2022年，8月28日①②③④⑤各项意义为：①非定常项；②对流项；③单位质量流体的体积力；④单位质量流体的压力差；⑤扩散项或粘性力项N-S方程的矢量形式为25第二十五页，共三十九页，2022年，8月28日

由于引入了广义牛顿剪切定律，故N-S方程只适用于牛顿流体，处理非牛顿流体问题时可用以应力表示的运动方程。

Navier-Stokes方程是不可压流体理论中最根本的非线性偏微分方程组，是描述不可压缩粘性流体运动最完整的方程，是现代流体力学的主干方程

。26第二十六页，共三十九页，2022年，8月28日6.3基本微分方程组的定解条件

N-S方程有四个未知数，vx、vy、vz和p，将N-S方程和不可压缩流体的连续性方程联立，理论上可通过积分求解，得到四个未知量。一般而言，通过积分得到的是微分方程的通解，再结合基本微分方程组的定解条件，即初始条件和边界条件，确定积分常数，才能得到具体流动问题的特解。27第二十七页，共三十九页，2022年，8月28日1.初始条件对非定常流动，要求给定变量初始时刻t=t0的空间分布显然，对于定常流动，不需要初始条件。28第二十八页，共三十九页，2022年，8月28日2.边界条件

所谓边界条件，是包围流场每一条边界上的流场数值。不同种类的流动，边界条件也不相同。流体流动分析中最常遇到的三类边界条件如下：（1）固体壁面粘性流体与一不渗透的，无滑移的固体壁面相接触，在贴壁处，流体速度若流体与物面处于热平衡态，则在物面上必须保持温度连续29第二十九页，共三十九页，2022年，8月28日（2）进口与出口流动的进口与出口截面上的速度与压强的分布通常也是需要知道的，如管流。（3）液体-气体交界面液体-气体交界面的边界条件主要有两个：

运动学条件，即通过交界面的法向速度应相等。

压强平衡条件，即液体的压强必须与大气压和表面张力相平衡。30第三十页，共三十九页，2022年，8月28日

根据这些初始条件和边界条件，我们可对基本微分方程组积分，并确定积分常数，得到符合实际流动的求解结果。但实际上，只有极少数的问题可求出理论解，通常采用数值解法。31第三十一页，共三十九页，2022年，8月28日例题：不可压缩粘性流体在距离为b的两个大水平板间作定常层流流动，假定流体沿流动方向的压强降已知，求:（1）两板固定不动;（2）下板固定上板以等速U沿流动方向运动；两板间流体运动的速度分布。流向yxb32第三十二页，共三十九页，2022年，8月28日解：由于流体水平运动，则有由于流动是一维的，有vy=vz=0；由于流动是定常的，有33第三十三页，共三十九页，2022年，8月28日34第三十四页，共三十九页，2022年，8月28日所以N-S方程可简化为由连续方程可得35第三十五页，共三十九页，2022年，8月28日将式(3)代入式(1)得思考题：为什么上式右端偏导数改写成全导数？对上式进行两次积分可得36第三十六页，共三十九页，2022年，8月28日