（精品讲义）2.4等比数列word版含答案2

18/1817/18/eq\a\vs4\al(等比数列)第一课时等比数列的概念及通项公式预习课本P48～50，预习课本P48～50，思考并完成以下问题(1)等比数列的定义是什么？如何判断一个数列是否为等比数列？(2)等比数列的通项公式是什么？(3)等比中项的定义是什么？1．等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．[点睛](1)“从第2项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为“每相邻两项的比”；(3)“同一常数q”，q是等比数列的公比，即q＝eq\f(an,an－1)(n≥2)或q＝eq\f(an＋1,an).特别注意，q不可以为零，当q＝1时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列．2．等比中项如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，这三个数满足关系式G＝±eq\r(ab).[点睛](1)G是a与b的等比中项，则a与b的符号相同，符号相反的两个实数不存在等比中项．G＝±eq\r(ab)，即等比中项有两个，且互为相反数．(2)当G2＝ab时，G不一定是a与b的等比中项．例如02＝5×0，但0,0,5不是等比数列．3．等比数列的通项公式等比数列{an}的首项为a1，公比为q(q≠0)，则通项公式为：an＝a1qn－1.1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列()(2)等比数列的首项不能为零，但公比可以为零()(3)常数列一定为等比数列()(4)任何两个数都有等比中项()解析：(1)错误，根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时，该数列才是等比数列．(2)错误，当公比为零时，根据等比数列的定义，数列中的项也为零．(3)错误，当常数列不为零时，该数列才是等比数列．(4)错误．当两数同号时才有等比中项，异号时不存在等比中项．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2．下列数列为等比数列的是()A．2,22,3×22，… B.eq\f(1,a)，eq\f(1,a2)，eq\f(1,a3)，…C．s－1，(s－1)2，(s－1)3，… D．0,0,0，…解析：选BA、C、D不是等比数列，A中不满足定义，C、D中项可为0，不符合定义．3．等比数列的首项为eq\f(9,8)，末项为eq\f(1,3)，公比为eq\f(2,3)，则这个数列的项数为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B∵eq\f(1,3)＝eq\f(9,8)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，∴eq\f(8,27)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))n－1，∴n－1＝3，∴n＝4.4．已知等比数列{an}为递增数列，a1＝－2，且3(an＋an＋2)＝10an＋1，则公比q＝________.解析：设公比为q，则3(an＋anq2)＝10anq，即3q2－10q＋3＝0，解得q＝3或q＝eq\f(1,3)，又因为a1＝－2且数列{an}为等比递增数列，所以q＝eq\f(1,3).答案：eq\f(1,3)等比数列的通项公式[典例](1)在等比数列{an}中，a1＝eq\f(1,2)，q＝eq\f(1,2)，an＝eq\f(1,32)，则项数n为()A．3 B．4C．5 D．6(2)已知等比数列{an}为递增数列，且aeq\o\al(2,5)＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，则数列{an}的通项公式an＝________.[解析](1)因为an＝a1qn－1，所以eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝eq\f(1,32)，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))5，解得n＝5.(2)由2(an＋an＋2)＝5an＋1?2q2－5q＋2＝0?q＝2或eq\f(1,2)，由aeq\o\al(2,5)＝a10＝a1q9>0?a1>0，又数列{an}递增，所以q＝2.aeq\o\al(2,5)＝a10?(a1q4)2＝a1q9?a1＝q＝2，所以数列{an}的通项公式为an＝2n.[答案](1)C(2)2n等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于a1，q的方程组，求出a1，q后再求an，这是常规方法．(2)充分利用各项之间的关系，直接求出q后，再求a1，最后求an，这种方法带有一定的技巧性，能简化运算．[活学活用]在等比数列{an}中，(1)a4＝2，a7＝8，求an；(2)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.解：(1)因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝a1q3，,a7＝a1q6，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1q3＝2，①,a1q6＝8，②))由eq\f(②,①)得q3＝4，从而q＝eq\r(3,4)，而a1q3＝2，于是a1＝eq\f(2,q3)＝eq\f(1,2)，所以an＝a1qn－1＝2.(2)法一：因为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＋a5＝a1q＋a1q4＝18，③,a3＋a6＝a1q2＋a1q5＝9，④))由eq\f(④,③)得q＝eq\f(1,2)，从而a1＝32.又an＝1，所以32×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n－1＝1，即26－n＝20，所以n＝6.法二：因为a3＋a6＝q(a2＋a5)，所以q＝eq\f(1,2).由a1q＋a1q4＝18，得a1＝32.由an＝a1qn－1＝1，得n＝6.等比中项[典例](1)在等比数列{an}中，a1＝eq\f(1,8)，q＝2，则a4与a8的等比中项是()A．±4 B．4C．±eq\f(1,4) D.eq\f(1,4)(2)已知b是a，c的等比中项，求证：ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．[解析](1)由an＝eq\f(1,8)×2n－1＝2n－4知，a4＝1，a8＝24，所以a4与a8的等比中项为±4.答案：A(2)证明：因为b是a，c的等比中项，所以b2＝ac，且a，b，c均不为零，又(a2＋b2)(b2＋c2)＝a2b2＋a2c2＋b4＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，(ab＋bc)2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2，所以(ab＋bc)2＝(a2＋b2)(b2＋c2)，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项．(1)由等比中项的定义可知eq\f(G,a)＝eq\f(b,G)?G2＝ab?G＝±eq\r(ab)，所以只有a，b同号时，a，b的等比中项有两个，异号时，没有等比中项．(2)在一个等比数列中，从第二项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项和后一项的等比中项．(3)a，G，b成等比数列等价于G2＝ab(ab>0)．[活学活用]1．如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么()A．b＝3，ac＝9 B．b＝－3，ac＝9C．b＝3，ac＝－9 D．b＝－3，ac＝－9解析：选B因为b2＝(－1)×(－9)＝9，且b与首项－1同号，所以b＝－3，且a，c必同号．所以ac＝b2＝9.2．已知等比数列{an}的前三项依次为a－1，a＋1，a＋4，则an＝________.解析：由已知可得(a＋1)2＝(a－1)(a＋4)，解得a＝5，所以a1＝4，a2＝6，所以q＝eq\f(a2,a1)＝eq\f(6,4)＝eq\f(3,2)，所以an＝4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1.答案：4×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))n－1等比数列的判定与证明[典例]在数列{an}中，若an>0，且an＋1＝2an＋3(n∈N*)．证明：数列{an＋3}是等比数列．证明：[法一定义法]∵an>0，∴an＋3>0.又∵an＋1＝2an＋3，∴eq\f(an＋1＋3,an＋3)＝eq\f(2an＋3＋3,an＋3)＝eq\f(2?an＋3?,an＋3)＝2.∴数列{an＋3}是首项为a1＋3，公比为2的等比数列．[法二等比中项法]∵an>0，∴an＋3>0.又∵an＋1＝2an＋3，∴an＋2＝4an＋9.∴(an＋2＋3)(an＋3)＝(4an＋12)(an＋3)＝(2an＋6)2＝(an＋1＋3)2.即an＋3，an＋1＋3，an＋2＋3成等比数列，∴数列{an＋3}是等比数列．证明数列是等比数列常用的方法(1)定义法：eq\f(an＋1,an)＝q(q为常数且q≠0)或eq\f(an,an－1)＝q(q为常数且q≠0，n≥2)?{an}为等比数列．(2)等比中项法：aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)?{an}为等比数列．[活学活用](1)已知各项均不为0的数列{an}中，a1，a2，a3成等差数列，a2，a3，a4成等比数列，a3，a4，a5的倒数成等差数列，证明：a1，a3，a5成等比数列．(2)已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列，令bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))an，求证数列{bn}是等比数列，并求其通项公式．证明：(1)由已知，有2a2＝a1＋a3，①aeq\o\al(2,3)＝a2·a4，②eq\f(2,a4)＝eq\f(1,a3)＋eq\f(1,a5).③由③得eq\f(2,a4)＝eq\f(a3＋a5,a3·a5)，所以a4＝eq\f(2a3·a5,a3＋a5).④由①得a2＝eq\f(a1＋a3,2).⑤将④⑤代入②，得aeq\o\al(2,3)＝eq\f(a1＋a3,2)·eq\f(2a3·a5,a3＋a5).∴a3＝eq\f(?a1＋a3?a5,a3＋a5)，即a3(a3＋a5)＝a5(a1＋a3)．化简，得aeq\o\al(2,3)＝a1·a5.又a1，a3，a5均不为0，所以a1，a3，a5成等比数列．(2)依题意an＝2＋(n－1)×(－1)＝3－n，于是bn＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－n.而eq\f(bn,bn－1)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3－n,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))4－n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝2.∴数列{bn}是公比为2的等比数列，通项公式为bn＝2n－3.层级一学业水平达标1．2＋eq\r(3)和2－eq\r(3)的等比中项是()A．1 B．－1C．±1 D．2解析：选C设2＋eq\r(3)和2－eq\r(3)的等比中项为G，则G2＝(2＋eq\r(3))(2－eq\r(3))＝1，∴G＝±1.2．在首项a1＝1，公比q＝2的等比数列{an}中，当an＝64时，项数n等于()A．4 B．5C．6 D．7解析：选D因为an＝a1qn－1，所以1×2n－1＝64，即2n－1＝26，得n－1＝6，解得n＝7.3．设等差数列{an}的公差d不为0，a1＝9d，若ak是a1与a2k的等比中项，则k等于()A．2 B．4C．6 D．8解析：选B∵an＝(n＋8)d，又∵aeq\o\al(2,k)＝a1·a2k，∴[(k＋8)d]2＝9d·(2k＋8)d，解得k＝－2(舍去)或k＝4.4．等比数列{an}的公比为q，且|q|≠1，a1＝－1，若am＝a1·a2·a3·a4·a5，则m等于()A．9 B．10C．11 D．12解析：选C∵a1·a2·a3·a4·a5＝a1·a1q·a1q2·a1q3·a1q4＝aeq\o\al(5,1)·q10＝－q10，am＝a1qm－1＝－qm－1，∴－q10＝－qm－1，∴10＝m－1，∴m＝11.5．等比数列{an}中，|a1|＝1，a5＝－8a2，a5＞a2，则an等于()A．(－2)n－1 B．－(－2n－1)C．(－2)n D．－(－2)n解析：选A设公比为q，则a1q4＝－8a1q，又a1≠0，q≠0，所以q3＝－8，q＝－2，又a5＞a2，所以a2＜0，a5＞0，从而a1＞0，即a1＝1，故an＝(－2)n－1.6．等比数列{an}中，a1＝－2，a3＝－8，则an＝________.解析：∵eq\f(a3,a1)＝q2，∴q2＝eq\f(－8,－2)＝4，即q＝±2.当q＝－2时，an＝a1qn－1＝－2×(－2)n－1＝(－2)n；当q＝2时，an＝a1qn－1＝－2×2n－1＝－2n.答案：(－2)n或－2n7．已知等比数列{an}的各项均为正数，且a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差数列，则eq\f(a8＋a9,a6＋a7)＝________.解析：由题设a1，eq\f(1,2)a3,2a2成等差数列可得a1＋2a2＝a3，即q2－2q－1＝0，所以q＝eq\r(2)＋1，eq\f(a8＋a9,a6＋a7)＝eq\f(a8?1＋q?,a6?1＋q?)＝q2＝3＋2eq\r(2).答案：3＋2eq\r(2)8．已知三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则此时的三个数成等差数列，则原来的三个数的和等于________．解析：依题意设原来的三个数依次为eq\f(a,q)，a，aq.∵eq\f(a,q)·a·aq＝512，∴a＝8.又∵第一个数与第三个数各减去2后的三个数成等差数列，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,q)－2))＋(aq－2)＝2a，∴2q2－5q＋2＝0，∴q＝2或q＝eq\f(1,2)，∴原来的三个数为4,8,16或16,8,4.∵4＋8＋16＝16＋8＋4＝28，∴原来的三个数的和等于28.答案：289．在四个正数中，前三个成等差数列，和为48，后三个成等比数列，积为8000，求这四个数．解：设前三个数分别为a－d，a，a＋d，则有(a－d)＋a＋(a＋d)＝48，即a＝16.设后三个数分别为eq\f(b,q)，b，bq，则有eq\f(b,q)·b·bq＝b3＝8000，即b＝20，∴这四个数分别为m,16,20，n，∴m＝2×16－20＝12，n＝eq\f(202,16)＝25.即所求的四个数分别为12,16,20,25.10．已知递增的等比数列{an}满足a2＋a3＋a4＝28，且a3＋2是a2和a4的等差中项，求an.解：设等比数列{an}的公比为q.依题意，知2(a3＋2)＝a2＋a4，∴a2＋a3＋a4＝3a3＋4＝28，∴a3＝8，a2＋a4＝20，∴eq\f(8,q)＋8q＝20，解得q＝2或q＝eq\f(1,2)(舍去)．又a1＝eq\f(a3,q2)＝2，∴an＝2n.层级二应试能力达标1．设a1，a2，a3，a4成等比数列，其公比为2，则eq\f(2a1＋a2,2a3＋a4)的值为()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(1,8) D．1解析：选A原式＝eq\f(2a1＋a2,q2?2a1＋a2?)＝eq\f(1,q2)＝eq\f(1,4).2．在等比数列{an}中，已知a1＝eq\f(1,3)，a5＝3，则a3＝()A．1 B．3C．±1 D．±3解析：选A由a5＝a1·q4＝3，所以q4＝9，得q2＝3，a3＝a1·q2＝eq\f(1,3)×3＝1.3．设a1＝2，数列{1＋2an}是公比为3的等比数列，则a6等于()A．607.5 B．608C．607 D．159解析：选C∵1＋2an＝(1＋2a1)×3n－1，∴1＋2a6＝5×35，∴a6＝eq\f(5×243－1,2)＝607.4．如图给出了一个“三角形数阵”．已知每一列数成等差数列，从第三行起，每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)eq\f(3,4)，eq\f(3,8)，eq\f(3,16)…记第i行第j列的数为aij(i，j∈N*)，则a53的值为()A.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(5,16) D.eq\f(5,4)解析：选C第一列构成首项为eq\f(1,4)，公差为eq\f(1,4)的等差数列，所以a51＝eq\f(1,4)＋(5－1)×eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).又因为从第三行起每一行数成等比数列，而且每一行的公比都相等，所以第5行构成首项为eq\f(5,4)，公比为eq\f(1,2)的等比数列，所以a53＝eq\f(5,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＝eq\f(5,16).5．若数列{an}的前n项和为Sn，且an＝2Sn－3，则{an}的通项公式是________．解析：由an＝2Sn－3得an－1＝2Sn－1－3(n≥2)，两式相减得an－an－1＝2an(n≥2)，∴an＝－an－1(n≥2)，eq\f(an,an－1)＝－1(n≥2)．故{an}是公比为－1的等比数列，令n＝1得a1＝2a1－3，∴a1＝3，故an＝3·(－1)n－1.答案：an＝3·(－1)n－16．在等差数列{an}中，a1＝2，a3＝6，若将a1，a4，a5都加上同一个数，所得的三个数依次成等比数列，则所加的这个数为________．解析：设等差数列{an}的公差为d，所求的数为m，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝2，,a3＝a1＋2d＝6，))∴d＝2，∴a4＝8，a5＝10，∵a1＋m，a4＋m，a5＋m成等比数列，∴(a4＋m)2＝(a1＋m)(a5＋m)，即(8＋m)2＝(2＋m)(10＋m)，解得m＝－11.答案：－117．已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．证明：∵Sn＝2－an，∴Sn＋1＝2－an＋1.∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝(2－an＋1)－(2－an)＝an－an＋1.∴an＋1＝eq\f(1,2)an.又∵S1＝2－a1，∴a1＝1≠0.又由an＋1＝eq\f(1,2)an知an≠0，∴eq\f(an＋1,an)＝eq\f(1,2).∴数列{an}是等比数列．8．已知数列{an}是各项为正数的等比数列，且a2＝9，a4＝81.(1)求数列{an}的通项公式an；(2)若bn＝log3an，求证：数列{bn}是等差数列．解：(1)求数列{an}的公比为q，∵a2＝9，a4＝81.则q2＝eq\f(a4,a2)＝eq\f(81,9)＝9，又∵an>0，∴q>0，∴q＝3，故通项公式an＝a2qn－2＝9×3n－2＝3n，n∈N*.(2)证明：由(1)知an＝3n，∴bn＝log3an＝log33n＝n，∴bn＋1－bn＝(n＋1)－n＝1(常数)，n∈N*，故数列{bn}是一个公差等于1的等差数列．第二课时等比数列的性质预习课本P53练习第3、4题，预习课本P53练习第3、4题，思考并完成以下问题等比数列项的运算性质是什么？等比数列的性质(1)若数列{an}，{bn}是项数相同的等比数列，则{an·bn}也是等比数列．特别地，若{an}是等比数列，c是不等于0的常数，则{c·an}也是等比数列．(2)在等比数列{an}中，若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq.(3)数列{an}是有穷数列，则与首末两项等距离的两项的积相等，且等于首末两项的积．(4)在等比数列{an}中，每隔k项取出一项，按原来的顺序排列，所得新数列仍为等比数列，公比为qk＋1.(5)当m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列时，am，an，ap成等比数列．1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积()(2)当q>1时，{an}为递增数列()(3)当q＝1时，{an}为常数列()解析：(1)正确，根据等比数列的定义可以判定该说法正确．(2)错误，当q>1，a1>0时，{an}才为递增数列．(3)正确，当q＝1时，数列中的每一项都相等，所以为常数列．答案：(1)√(2)×(3)√2．由公比为q的等比数列a1，a2，…依次相邻两项的乘积组成的数列a1a2，a2a3，a3a4，…是()A．等差数列B．以q为公比的等比数列C．以q2为公比的等比数列D．以2q为公比的等比数列解析：选C因为eq\f(an＋1an＋2,anan＋1)＝eq\f(an＋2,an)＝q2为常数，所以该数列为以q2为公比的等比数列．3．已知等比数列{an}中，a4＝7，a6＝21，则a8的值为()A．35 B．63C．21eq\r(3) D．±21eq\r(3)解析：选B∵{an}成等比数列．∴a4，a6，a8成等比数列∴aeq\o\al(2,6)＝a4·a8，即a8＝eq\f(212,7)＝63.4．在等比数列{an}中，各项都是正数，a6a10＋a3a5＝41，a4a8＝4，则a4＋a8＝________.解析：∵a6a10＝aeq\o\al(2,8)，a3a5＝aeq\o\al(2,4)，∴aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,8)＝41，又a4a8＝4，∴(a4＋a8)2＝aeq\o\al(2,4)＋aeq\o\al(2,8)＋2a4a8＝41＋8＝49，∵数列各项都是正数，∴a4＋a8＝7.答案：7等比数列的性质[典例](1)在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为()A．10n B．n10C．100n D．n100(2)在等比数列{an}中，a3＝16，a1a2a3…a10＝265，则a7等于________．[解析](1)设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则a2·a3·…·an＋1＝(a1an＋2)eq\f(n,2)＝(100)eq\f(n,2)＝10n.(2)因为a1a2a3…a10＝(a3a8)5＝265，所以a3a8＝213，又因为a3＝16＝24，所以a8＝29.因为a8＝a3·q5，所以q＝2.所以a7＝eq\f(a8,q)＝256.[答案](1)A(2)256有关等比数列的计算问题，基本方法是运用方程思想列出基本量a1和q的方程组，先解出a1和q，然后利用通项公式求解．但有时运算稍繁，而利用等比数列的性质解题，却简便快捷，为了发现性质，要充分发挥项的“下标”的指导作用．[活学活用]1．已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝()A．7 B．5C．－5 D．－7解析：选D因为数列{an}为等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，联立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＋a7＝2，,a4a7＝－8，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝4，,a7＝－2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a4＝－2，,a7＝4，))所以q3＝－eq\f(1,2)或q3＝－2，故a1＋a10＝eq\f(a4,q3)＋a7·q3＝－7.2．已知等比数列{an}的公比为正数，且4a2a8＝aeq\o\al(2,4)，a2＝1，则a6＝()A.eq\f(1,8) B.eqB.eq\f(1,16)C.eq\f(1,32) D.eq\f(1,64)解析：选B由4a2a8＝aeq\o\al(2,4)，得4aeq\o\al(2,5)＝aeq\o\al(2,4)，∴q＝eq\f(1,2)，∴a6＝a2q4＝eq\f(1,16).灵活设元求解等比数列问题[典例](1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去1,1,4,13成等差数列，则这四个数的和是________．(2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为216，后三个数成等差数列，且它们之和为12，求这四个数．[解析](1)设这四个数分别为a，aq，aq2，aq3，则a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差数列．即整理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a?q－1?2＝3，,aq?q－1?2＝6，))解得a＝3，q＝2.因此这四个数分别是3,6,12,24，其和为45.[答案]45(2)解：法一：设前三个数为eq\f(a,q)，a，aq，则eq\f(a,q)·a·aq＝216，所以a3＝216.所以a＝6.因此前三个数为eq\f(6,q)，6,6q.由题意知第4个数为12q－6.所以6＋6q＋12q－6＝12，解得q＝eq\f(2,3).故所求的四个数为9,6,4,2.法二：设后三个数为4－d,4,4＋d，则第一个数为eq\f(1,4)(4－d)2，由题意知eq\f(1,4)(4－d)2×(4－d)×4＝216，解得4－d＝6.所以d＝－2.故所求得的四个数为9,6,4,2.几个数成等比数列的设法(1)三个数成等比数列设为eq\f(a,q)，a，aq.推广到一般：奇数个数成等比数列设为：…eq\f(a,q2)，eq\f(a,q)，a，aq，aq2…(2)四个符号相同的数成等比数列设为：eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3.推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为：…eq\f(a,q5)，eq\f(a,q3)，eq\f(a,q)，aq，aq3，aq5…(3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号相同时，可设为：a，aq，aq2，aq3.[活学活用]在2和20之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的两个数的和为()A．－4或eq\f(35,2) B．4或eq\f(35,2)C．4 D．17eq\f(1,2)解析：选B设插入的第一个数为a，则插入的另一个数为eq\f(a2,2).由a，eq\f(a2,2)，20成等差数列得2×eq\f(a2,2)＝a＋20.∴a2－a－20＝0，解得a＝－4或a＝5.当a＝－4时，插入的两个数的和为a＋eq\f(a2,2)＝4.当a＝5时，插入的两个数的和为a＋eq\f(a2,2)＝eq\f(35,2).等比数列的实际应用问题[典例]某工厂2016年1月的生产总值为a万元，计划从2016年2月起，每月生产总值比上一个月增长m%，那么到2017年8月底该厂的生产总值为多少万元？[解]设从2016年1月开始，第n个月该厂的生产总值是an万元，则an＋1＝an＋anm%，∴eq\f(an＋1,an)＝1＋m%.∴数列{an}是首项a1＝a，公比q＝1＋m%的等比数列．∴an＝a(1＋m%)n－1.∴2017年8月底该厂的生产总值为a20＝a(1＋m%)20－1＝a(1＋m%)19(万元)．数列实际应用题常与现实生活和生产实际中的具体事件相联系，建立数学模型是解决这类问题的核心，常用的方法有：①构造等差、等比数列的模型，然后用数列的通项公式或求和公式解；②通过归纳得到结论，再用数列知识求解．[活学活用]如图，在等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2eq\r(2).过点A作BC的垂线，垂足为A1；过点A1作AC的垂线，垂足为A2；过点A2作A1C的垂线，垂足为A3；…，依此类推．设BA＝a1，AA1＝a2,A1A2＝a3，…，A5A6＝a7，则a7＝________.解析：等腰直角三角形ABC中，斜边BC＝2eq\r(2)，所以AB＝AC＝a1＝2，AA1＝a2＝eq\r(2)，…，An－1An＝an＋1＝sineq\f(π,4)·an＝eq\f(\r(2),2)an＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))n，故a7＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))6＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)层级一学业水平达标1．等比数列x,3x＋3,6x＋6，…的第四项等于()A．－24 B．0C．12 D．24解析：选A由题意知(3x＋3)2＝x(6x＋6)，即x2＋4x＋3＝0，解得x＝－3或x＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是()A．a1，a3，a9成等比数列 B．a2，a3，a6成等比数列C．a2，a4，a8成等比数列 D．a3，a6，a9成等比数列解析：选D设等比数列的公比为q，因为eq\f(a6,a3)＝eq\f(a9,a6)＝q3，即aeq\o\al(2,6)＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比数列．故选D.3．在正项等比数列{an}中，an＋1<an，a2·a8＝6，a4＋a6＝5，则eq\f(a5,a7)等于()A.eq\f(5,6) B.eq\f(6,5)C.eq\f(2,3) D.eq\f(3,2)解析：选D设公比为q，则由等比数列{an}各项为正数且an＋1<an知0<q<1，由a2·a8＝6，得aeq\o\al(2,5)＝6.∴a5＝eq\r(6)，a4＋a6＝eq\f(\r(6),q)＋eq\r(6)q＝5.解得q＝eq\f(2,\r(6))，∴eq\f(a5,a7)＝eq\f(1,q2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))2＝eq\f(3,2).4．已知方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根组成以eq\f(1,2)为首项的等比数列，则eq\f(m,n)＝()A.eq\f(2,3) B.eq\f(3,2)或eq\f(2,3)C.eq\f(3,2) D．以上都不对解析：选B设a，b，c，d是方程(x2－mx＋2)(x2－nx＋2)＝0的四个根，不妨设a<c<d<b，则a·b＝c·d＝2，a＝eq\f(1,2)，故b＝4，根据等比数列的性质，得到c＝1，d＝2，则m＝a＋b＝eq\f(9,2)，n＝c＋d＝3，或m＝c＋d＝3，n＝a＋b＝eq\f(9,2)，则eq\f(m,n)＝eq\f(3,2)或eq\f(2,3)，故选B.5．已知各项均为正数的等比数列{an}中，lg(a3a8a13)＝6，则a1·a15的值为()A．100 B．－100C．10000 D．－10000解析：选C∵a3a8a13＝aeq\o\al(3,8)，∴lg(a3a8a13)＝lgaeq\o\al(3,8)＝3lga8＝6.∴a8＝100.又a1a15＝aeq\o\al(2,8)＝10000，故选C.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a，b，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2a＝3＋b，,?a－6?2＝3b，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝3))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝15，,b＝27.))所以这个未知数为3或27.答案：3或277．设数列{an}为公比q>1的等比数列，若a4，a5是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a6＋a7＝________.解析：由题意得a4＝eq\f(1,2)，a5＝eq\f(3,2)，∴q＝eq\f(a5,a4)＝3.∴a6＋a7＝(a4＋a5)q2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(3,2)))×32＝18.答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，eq\r(2)为公比的等比数列{an}(1≤n≤10，n∈N*)，则第10个正方形的面积S＝aeq\o\al(2,10)＝22·29＝211＝2048.答案：20489．在由实数组成的等比数列{an}中，a3＋a7＋a11＝28，a2·a7·a12＝512，求q.解：法一：由条件得由②得aeq\o\al(3,7)＝512，即a7＝8.将其代入①得2q8－5q4＋2＝0.解得q4＝eq\f(1,2)或q4＝2，即q＝±eq\f(1,\r(4,2))或q＝±eq\r(4,2).法二：∵a3a11＝a2a12＝aeq\o\al(2,7)，∴aeq\o\al(3,7)＝512，即a7＝8.于是有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a11＝20，,a3a11＝64，))即a3和a11是方程x2－20x＋64＝0的两根，解此方程得x＝4或x＝16.因此eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝4，,a11＝16))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝16，,a11＝4.))又∵a11＝a3·q8，∴q＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a11,a3)))eq\f(1,8)＝±4eq\f(1,8)＝±eq\r(4,2)或q＝±eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))eq\f(1,8)＝±eq\f(1,\r(4,2)).10．在正项等比数列{an}中，a1a5－2a3a5＋a3a7＝36，a2a4＋2a2a6＋a4a6＝100，求数列{an}的通项公式．解：∵a1a5＝aeq\o\al(2,3)，a3a7＝aeq\o\al(2,5)，∴由题意，得aeq\o\al(2,3)－2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝36，同理得aeq\o\al(2,3)＋2a3a5＋aeq\o\al(2,5)＝100，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?a3－a5?2＝36，,?a3＋a5?2＝100.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3－a5＝±6，,a3＋a5＝10.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝2，,a5＝8))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝8，,a5＝2.))分别解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝\f(1,2)，,q＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝32，,q＝\f(1,2).))∴an＝2n－2或an＝26－n.层级二应试能力达标1．在等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则()A．a1＝1 B．a3＝1C．a4＝1 D．a5＝1解析：选B由题意，可得a1·a2·a3·a4·a5＝1，即(a1·a5)·(a2·a4)·a3＝1，又a1·a5＝a2·a4＝aeq\o\al(2,3)，所以aeq\o\al(5,3)＝1，得a3＝1.2．已知等比数列{an}中，a3a11＝4a7，数列{bn}是等差数列，且b7＝a7，则b5＋b9等于()A．2 B．4C．8 D．16解析：选C等比数列{an}中，a3a11＝aeq\o\al(2,7)＝4a7，解得a7＝4，等差数列{bn}中，b5＋b9＝2b7＝2a7＝8.3．在各项均为正数的等比数列{bn}中，若b7·b8＝3，则l