注重数学的整体性提升系统思维水平

注重数学的整体性提升系统思维水平第一页，共六十二页，2022年，8月28日一、关于数学的整体性整体是事物的一种真实存在形式。数学是一个整体。数学的整体性体现在代数、几何、三角等各部分内容之间的相互联系上，同时也体现在同一部分内容中知识的前后逻辑关系上——纵向联系、横向联系。学生的学习是循序渐进、逐步深入的，概念要逐个学，知识要逐步教。如何处理好这种矛盾，是教学中的核心问题。第二页，共六十二页，2022年，8月28日例“反比例函数”反映的整体性学习基础：反比例关系，函数、自变量、函数值等概念，三种表示形式，函数图像的概念，一次函数、二次函数的研究经验（函数的研究内容、过程和方法）。研究一类函数的内容、过程：背景——概念——图象与性质——简单实际应用。研究方法：特殊到一般、具体到抽象；数形结合（画图像、观察图像得性质等）。第三页，共六十二页，2022年，8月28日反比例函数概念的抽象过程概念的引入——借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；概念属性的归纳——对典型丰富的具体例证进行属性的分析、比较、综合，归纳不同例证的共同特征；概念的抽象与概括——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；第四页，共六十二页，2022年，8月28日概念的辨析——以实例为载体分析概念关键词的意义（恰当使用反例）；概念的巩固应用——用概念解决简单问题，形成用概念作判断的具体步骤；概念的“精致”——通过概念的综合应用，建立与相关概念的联系，将概念纳入概念系统。第五页，共六十二页，2022年，8月28日上述过程与正比例函数、一次函数、二次函数等概念的抽象过程是一脉相承的。其实，初中教材中的概念编写思路基本上都按照这个“套路”展开。第六页，共六十二页，2022年，8月28日反比例函数的图象和性质的研究思路画出图象，并根据图象和函数表达式探索其性质。第七页，共六十二页，2022年，8月28日第八页，共六十二页，2022年，8月28日第九页，共六十二页，2022年，8月28日第十页，共六十二页，2022年，8月28日上述过程体现了研究一个数学对象的性质的一般过程与方法。第十一页，共六十二页，2022年，8月28日概念辨析成反比例的量和关系：xy=k（定值），这里x和y都是可以变化的；反比例函数：体现的“变化规律”是“变量y随变量x的变化而变化，且它们的积xy保持不变”。关键词：反比例；函数。y=1/x2，y是x2的反比例函数，对吗？注意：自变量是x而不是x2；“反比例函数”是“自变量与对应的函数值成反比例关系”。第十二页，共六十二页，2022年，8月28日二、关于系统思维的培养数学是一个系统，理解和掌握数学知识需要系统思维。系统思维就是把认识对象作为系统，从系统和要素、要素和要素、系统和环境的相互联系及相互作用中综合地考察认识对象的一种思维方法。系统思维能极大地简化人们对事物的认知。系统思维给我们带来整体观、全局观，具备系统思维是逻辑抽象能力强的集中表现。第十三页，共六十二页，2022年，8月28日例“三角形”研究中的系统思维定义“三角形”，明确它的构成要素；用符号表示三角形及其构成要素；以要素为标准对三角形进行分类；——明确研究对象基本性质，即研究要素之间的关系，得到“三角形内角和等于180°”等；研究“相关要素及其关系”，如“三角形的外角等于不相邻两内角之和”等；第十四页，共六十二页，2022年，8月28日三角形的全等（反映空间的对称性，“相等”是重要的数学关系，也可以看成“确定一个三角形的条件”）；特殊三角形的性质与判定（等腰三角形、直角三角形）；三角形的变换（如相似三角形等）；直角三角形的边角关系（锐角三角函数），解直角三角形；解三角形（正弦定理、余弦定理）。第十五页，共六十二页，2022年，8月28日把三角形作为一个系统进行研究明确研究对象（定义、表示、分类）

——性质（要素、相关要素的相互关系）——特例（性质和判定）——联系；定性研究（相等、不等、对称性等）——定量研究（面积、勾股定理、相似、解三角形等）。第十六页，共六十二页，2022年，8月28日培养系统思维，是为了使学生养成全面思考问题的习惯，避免“见木不见林”，进而使他们在面对数学问题时，能把解决问题的目标、实现目标的过程、解决过程的优化以及对问题的拓展、深化等作为一个整体进行研究。这样，“使学生学会思考，成为善于认识和解决问题的人才”就能落在实处。第十七页，共六十二页，2022年，8月28日什么叫性质？性质是指事物所具有的本质，即事物内部稳定的联系。问题：这里的“事物内部”指什么？“稳定的联系”是怎么表现的？到底怎样才能发现这种“联系”？第十八页，共六十二页，2022年，8月28日从三角形的“内角和为180°”、“两边之和大于第三边”、“大边对大角”、“等边对等角”等你想到了什么？“内部”可以是“三角形的组成要素”，“稳定的联系”是指“三角形要素之间确定的关系”。几何对象组成要素之间确定的关系就是性质。第十九页，共六十二页，2022年，8月28日从“外角等于不相邻两内角的和”、“三条高交于一点”、“等腰三角形三线合一”等又想到了什么？把外角、高、中线、角平分线等叫做三角形的相关要素，这些“相关要素”也可以看成是“三角形的内部”。要素、相关要素之间确定的关系也是性质。第二十页，共六十二页，2022年，8月28日两个几何事物所形成的某种位置关系所体现的性质，例如两条直线平行，从“同位角相等”、“内错角相等”以及“同旁内角互补”可以想到，这时的“性质”是借助“第三条直线”构成一些角，然后看由两条直线平行这一位置关系所决定的这些角之间有什么确定的关系。研究两个几何事物的某种位置关系下具有什么性质，可以从探索这种位置关系下的两个几何事物与其他几何事物之间是否形成确定的关系入手。第二十一页，共六十二页，2022年，8月28日圆的几何性质要素：圆心、半径、直径、弧、圆心角；相关要素：弦、圆周角……你认为可以怎样引导学生发现和提出值得研究的命题？第二十二页，共六十二页，2022年，8月28日同（等）圆的直径大于不经过圆心的任何一条弦；垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧；在同（等）圆中：弧相等则所对的弦相等，且弦心距也相等；两条劣弧不等，则大弧所对的弦较大（弦心距较小）；逆定理也成立。切线垂直于过切点的半径。过圆外一点所作圆的两条切线长相等。你能发现一些与圆心角相关的定理吗？第二十三页，共六十二页，2022年，8月28日从培养系统思维的要求出发设计教学以数学知识的发生发展过程为载体，按学生的认知规律设计教学，使学生经历研究一个数学对象的基本过程，提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力，培养认识和解决问题的能力。——数学化的过程第二十四页，共六十二页，2022年，8月28日相似对内容的认识初中几何，包括图形的认识、测量、运动或变化、性质和证明以及位置等。相似是“图形的变化”的主要内容，研究的主题是图形形状之间的关系，图形的位似还涉及图形的位置关系，因此也是“图形的认识”的深化；投影与视图则是在三维图形与二维图形的转化中，体现出“图形的变化”。第二十五页，共六十二页，2022年，8月28日两种“图形的变换”轴对称、旋转或平移变换：改变了图形的位置但不改变图形的形状和大小；相似变换：改变了图形的位置和大小，图形的形状则保持不变。第二十六页，共六十二页，2022年，8月28日三角形的相似是“相似”的核心内容。“相似”与“全等”——一般与特殊。类比全等三角形，安排相似的内容，引导学生探索相似三角形的判定和性质及在实际测量中的应用。位似图形是一种具有特殊位置关系的相似图形，可用来放大或缩小图形；在直角坐标系中研究位似，用坐标之间的关系表示位似，渗透用代数方法研究几何变换的思想。第二十七页，共六十二页，2022年，8月28日“相似”的内容结构第二十八页，共六十二页，2022年，8月28日图形的相似通过生活实例，在学生感受相似图形的基础上，给出相似图形的概念，再特殊化给出相似多边形概念，并从定义出发给出判定两个多边形相似的方法，以及相似多边形对应角相等、对应边成比例的性质。第二十九页，共六十二页，2022年，8月28日相似三角形按照“定义——判定——性质——应用”的顺序展开。定义：相似图形的特殊化，既是判定也是性质。判定：类比全等三角形的判定，提出寻找判定三角形相似的任务。第三十页，共六十二页，2022年，8月28日“判定定理”的构建过程从定义出发，关键是“对应边成比例”；通过旋转、平移等变换，移到“一个角重合、一条边平行”的位置，于是“平行截割”成为出发点——基本事实；特殊化：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例；第三十一页，共六十二页，2022年，8月28日预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；三个判定定理；特殊化：相似直角三角形的判定定理。降低了难度但保持了相似三角形的主干内容，体现了公理化思想。第三十二页，共六十二页，2022年，8月28日“性质定理”的构建过程通过“思考”栏目引出问题，明确探究方向：第三十三页，共六十二页，2022年，8月28日通过“探究”栏目引导学生探究并证明相似三角形性质：第三十四页，共六十二页，2022年，8月28日锐角三角函数对内容的认识三角形是最简单而基本的封闭图形，而空间的大部分基本性质都已经在三角形的几何性质中得到充分体现。所以，三角形成为平面几何所研究的主角，就在于它既简单而又能充分反映空间的本质。而在三角形中，等腰三角形和直角三角形是最为基本的。第三十五页，共六十二页，2022年，8月28日定性平面几何研究的主题是“全等形”和“平行性”。其中有两个核心内容，一是三角形内角和定理，二是等腰三角形的性质。第三十六页，共六十二页，2022年，8月28日定量平面几何中，要对不等长的两条线段、不同大小的两个角区或不同大小的两个区域，赋予两者之间定量的比值去度量两者之间的差异。这时，平行性扮演着举足轻重的“角色”，其作用是大大简化了定量几何的基础理论和基本公式。由此得到的是简朴好用的矩形面积公式、勾股定理和相似三角形定理。第三十七页，共六十二页，2022年，8月28日三角学就是以这三个定理为基础，讨论三角形的各种几何量（三边长、三个内角的度数、面积、高、外径和内径等）之间的函数关系，锐角三角函数则是讨论直角三角形各种几何量之间的函数关系，它为讨论一般三角形奠定了基础。因此，研究直角三角形的种种性质对定量平面几何有奠基作用。第三十八页，共六十二页，2022年，8月28日“锐角三角函数”就是在研究勾股定理、相似三角形的基础上，进一步讨论直角三角形的边角之间的关系，主要内容是正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，并综合运用这些知识解直角三角形．第三十九页，共六十二页，2022年，8月28日锐角三角函数的定义过程以“比萨斜塔纠偏问题”引入，以“对于直角三角形，我们已经知道三边之间、两个锐角之间的关系，它的边角之间有什么关系呢？”提出问题，然后研究锐角的正弦，再给出锐角的余弦、正切。第四十页，共六十二页，2022年，8月28日锐角的正弦的定义先利用“直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半”，得到30°角所对的边与斜边的比值；再讨论45°、60°角所对的边与斜边的比值；然后讨论一般情况：相似直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比，随着这个锐角的变化而变化，随着它的确定而唯一确定，把Rt△ABC中锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦。第四十一页，共六十二页，2022年，8月28日锐角三角函数概念的展开课题的引入从实际需要看（比萨斜塔纠偏问题）；从数学内部看（以往讨论了直角三角形边与边的关系、角与角的关系，边与角有没有确定的关系？）。概念属性的归纳例证1从最熟悉的开始，30°角所对的边与斜边的比值是1/2。思考：由这个结论能解决什么问题？——当∠A=30°时，已知斜边就可求出∠A的对边，反之也然。第四十二页，共六十二页，2022年，8月28日例证2等腰直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比是多少？由此能解决什么问题？归纳：任意给定锐角A，∠A的对边与斜边的比值是否为一个确定的值？概念的明确与表示下定义，用符号表示。第四十三页，共六十二页，2022年，8月28日定义的辨析（1）∠A为Rt△ABC的锐角，△ABC的大小可以变化，但∠A的对边与斜边的比值不变，即对于每一个锐角A都有唯一确定的比值与之对应，这个比值叫做∠A的正弦；（2）符号sinA的理解——一个由A唯一确定的数，例如sin30°=1/2；等。概念的巩固应用已知直角三角形的边求正弦值等。概念的精致解直角三角形。第四十四页，共六十二页，2022年，8月28日关于“解三角形”教学设计中，加强思想方法、解决问题的策略等方面的思考：如何发现问题；从定性到定量地研究问题；将新问题化归为旧问题；从知识的相互联系性思考问题；等等。第四十五页，共六十二页，2022年，8月28日如何研究一个数学对象（问题）数学中，往往是在定性研究问题后，希望得到定量的结果。一个三角形有六个要素，由全等三角形的“基本事实”——SSS，SAS，ASA，你能提出什么新的问题？六个要素中，只要知道三个（其中至少有一个是边），三角形就唯一确定。也就是说，其余三个要素可以由这三个要素唯一确定。从定量角度，由这三个要素可以求出其余三个要素。第四十六页，共六十二页，2022年，8月28日关于解直角三角形第四十七页，共六十二页，2022年，8月28日第四十八页，共六十二页，2022年，8月28日关于解三角形对于“解三角形”，你会哪些知识？——会解直角三角形，对于一般三角形，只有“内角和定理”。给定两边一夹角，求其他边、角——化归为直角三角形。还有没有其他方法？——从知识的联系性出发，与解三角形相关的知识还有哪些？怎么用？第四十九页，共六十二页，2022年，8月28日你还能提出哪些问题？对于一个确定的三角形，其外接圆是唯一确定的，因此外接圆的半径可以用三角形的边、角来表示。怎样用三角形的边、角来表示它的外接圆半径？对于一个确定的三角形，它的高、中线、角平分线、面积等都是唯一确定的，怎样用三角形的边、角来表示它们的度量？第五十页，共六十二页，2022年，8月28日一个三角形包含的各种几何量，如三边的边长、三个内角的度数、面积、外径、内径、高、中线长、角平分线长等，这是三角形这个整体中的各种要素。对它们之间存在的各种函数关系的研究中，可以体现出系统思维的力量，在培养学生的系统思维、掌握“认识、解决问题的方法”、提高发现和提出问题、分析和解决问题的能力等方面都能发挥很好的作用。第五十一页，共六十二页，2022年，8月28日加强认识和解决问题方法的教学如何获得研究对象；构建研究数学对象的基本线索；发现和提出值得研究的具体问题；掌握研究问题的基本方法。第五十二页，共六十二页，2022年，8月28日例投影与视图对内容的认识中心投影、平行投影的事例随处可见，与投影相关的概念都与现实生活紧密相关。平行投影是三视图的学习基础。投影与视图涉及立体图形与平面图形间的转化，要利用直观感知、动手操作等学习方式，是培养空间观念的好载体。本章顺序：投影——三视图——课题学习（制作立体模型）。第五十三页，共六十二页，2022年，8月28日投影按照从一般到特殊的线索展开，重点讨