（精品讲义）1-6三角函数模型的简单应用word版含答案2

18/1817/18/eq\a\vs4\al(三角函数模型的简单应用)预习课本P60～64，思考并完成以下问题(1)如何利用数据建立拟合三角函数模型？(2)解三角函数应用题的解题步骤是什么？1．三角函数模型的作用三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测未来等方面发挥重要作用．2．用函数模型解决实际问题的一般步骤收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验．1．电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I＝2sin100πt，t∈(0，＋∞)，则电流I变化的周期是()A．eq\f(1,100) B．100C．eq\f(1,50) D．50答案：C2．某人的血压满足函数式f(t)＝24sin(160πt)＋110，其中f(t)为血压，t为时间，则此人每分钟心跳的次数为()A．60B．70C．80D．90答案：C3．电流I(A)随时间t(s)变化的关系式是I＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,3)))，则当t＝eq\f(1,200)时，电流I为________．答案：eq\f(5,2)三角函数在物理中的应用[典例]已知弹簧上挂着的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的位移s(cm)随时间t(s)的变化规律为s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，t∈[0，＋∞)．用“五点法”作出这个函数的简图，并回答下列问题：(1)小球在开始振动(t＝0)时的位移是多少？(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是多少？(3)经过多长时间小球往复振动一次？[解]列表如下，t－eq\f(π,6)eq\f(π,12)eq\f(π,3)eq\f(7π,12)eq\f(5π,6)2t＋eq\f(π,3)0eq\f(π,2)πeq\f(3π,2)2πsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))010－10s040－40描点、连线，图象如图所示．(1)将t＝0代入s＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,3)))，得s＝4sineq\f(π,3)＝2eq\r(3)，所以小球开始振动时的位移是2eq\r(3)cm.(2)小球上升到最高点和下降到最低点时的位移分别是4cm和－4cm.(3)因为振动的周期是π，所以小球往复振动一次所用的时间是πs.处理物理学问题的策略(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性．(2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题．[活学活用]交流电的电压E(单位：V)与时间t(单位：s)的关系可用E＝220eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6)))来表示，求：(1)开始时电压；(2)电压值重复出现一次的时间间隔；(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间．解：(1)当t＝0时，E＝110eq\r(3)(V)，即开始时的电压为110eq\r(3)V.(2)T＝eq\f(2π,100π)＝eq\f(1,50)(s)，即时间间隔为0.02s.(3)电压的最大值为220eq\r(3)V，当100πt＋eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，即t＝eq\f(1,300)s时第一次取得最大值.三角函数在实际生活中的应用[典例]如图，游乐场中的摩天轮匀速旋转，每转一圈需要12分钟，其中心O距离地面40.5米，半径40米．如果你从最低处登上摩天轮，那么你与地面的距离将随时间的变化而变化，以你登上摩天轮的时刻开始计时．请解答下列问题：(1)求出你与地面的距离y与时间t的函数关系式；(2)当你第四次距离地面60.5米时，用了多少时间？(3)当你登上摩天轮2分钟后，你的朋友也在摩天轮最低处登上摩天轮，问你的朋友登上摩天轮多少时间后，你和你的朋友与地面的距离之差最大，并求出最大值．[解](1)由已知可设y＝40.5－40cosωt(t≥0)，由已知周期为12分钟，可知ω＝eq\f(2π,12)，即ω＝eq\f(π,6).所以y＝40.5－40coseq\f(π,6)t(t≥0)．(2)令y＝40.5－40coseq\f(π,6)t＝60.5，得coseq\f(π,6)t＝－eq\f(1,2)，所以eq\f(π,6)t＝eq\f(2,3)π或eq\f(π,6)t＝eq\f(4,3)π，解得t＝4或t＝8，故第四次距离地面60.5米时，用时为12＋8＝20(分钟)．(3)与地面的距离之差最大，此时你必须在你的朋友的正上方，或你的朋友在你的正上方，由周期性知，再过2分钟后，你恰在你的朋友的正上方，再过半个周期时，恰相反，故过(6k＋2)(k∈Z)分钟后距离之差最大，最大值为40米．解三角函数应用问题的基本步骤[活学活用]已知某海滨浴场海浪的高度y(米)是时间t(0≤t≤24，单位小时)的函数，记作：y＝f(t)，下表是某日各时的浪高数据：t(时)03691215182124y(米)1.51.00.51.01.510.50.991.5经长期观测，y＝f(t)的曲线可近似地看成是函数y＝Acosωt＋b.(1)根据以上数据，求函数y＝Acosωt＋b的最小正周期T、振幅A及函数表达式；(2)依据规定，当海浪高度高于1米时才对冲浪爱好者开放，请依据(1)的结论，判断一天内的上午8：00时至晚上20：00时之间，有多少时间可供冲浪者进行运动？解：(1)由表中数据，知周期T＝12.∴ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6).由t＝0，y＝1.5，得A＋b＝1.5， ①由t＝3，y＝1.0，得b＝1.0， ②∴A＝0.5，b＝1，∴振幅为eq\f(1,2)，∴y＝eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1.(2)由题知，当y＞1时才可对冲浪者开放，∴eq\f(1,2)coseq\f(π,6)t＋1＞1，∴coseq\f(π,6)t＞0.∴2kπ－eq\f(π,2)＜eq\f(π,6)t＜2kπ＋eq\f(π,2).即12k－3＜t＜12k＋3， ③∵0≤t≤24，故可令③中k分别为0,1,2，得0≤t＜3或9＜t＜15或21＜t≤24.∴在规定时间上午8：00至晚上20：00之间，有6个小时时间可供冲浪者运动：上午9：00至下午3：00.层级一学业水平达标1.如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过eq\f(1,2)周期后，乙的位置将移至()A．x轴上 B．最低点C．最高点 D．不确定解析：选C相邻的最大值与最小值之间间隔半个周期，故乙移至最高点．2．在两个弹簧上各挂一个质量分别为M1和M2的小球，它们做上下自由振动．已知它们在时间t(s)时离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由下列两式确定：s1＝5sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,6)))，s2＝5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t－\f(π,3))).则在时间t＝eq\f(2π,3)时，s1与s2的大小关系是()A．s1＞s2 B．s1＜s2C．s1＝s2 D．不能确定解析：选C当t＝eq\f(2π,3)时，s1＝－5，s2＝－5，∴s1＝s2.选C.3.如图所示，一个单摆以OA为始边，OB为终边的角θ(－π＜θ＜π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝eq\f(1,2)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2t＋\f(π,2)))，则当t＝0时，角θ的大小及单摆频率是()A．eq\f(1,2)，eq\f(1,π) B．2，eq\f(1,π)C．eq\f(1,2)，π D．2，π解析：选A当t＝0时，θ＝eq\f(1,2)sineq\f(π,2)＝eq\f(1,2)，由函数解析式易知单摆周期为eq\f(2π,2)＝π，故单摆频率为eq\f(1,π)，故选A.4.(陕西高考)如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋k.据此函数可知，这段时间水深(单位：m)的最大值为()A．5 B．6C．8 D．10解析：选C根据图象得函数的最小值为2，有－3＋k＝2，k＝5，最大值为3＋k＝8.5．稳定房价是我国今年实施宏观调控的重点，国家最近出台的一系列政策已对各地的房地产市场产生了影响，温州市某房地产中介对本市一楼盘在今年的房价作了统计与预测：发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格，单位：元)与第x季度之间近似满足：y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω＞0)，已知第一、二季度平均单价如下表所示：x123y100009500？则此楼盘在第三季度的平均单价大约是()A．10000元 B．9500元C．9000元 D．8500元解析：选C因为y＝500sin(ωx＋φ)＋9500(ω＞0)，所以当x＝1时，500sin(ω＋φ)＋9500＝10000；当x＝2时，500sin(2ω＋φ)＋9500＝9500，所以ω可取eq\f(3π,2)，φ可取π，即y＝500sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)x＋π))＋9500.当x＝3时，y＝9000.6．如图所示的是某简谐运动的图象，则这个简谐运动需要________s往复一次．解析：由图象知周期T＝0.8－0＝0.8，则这个简谐运动需要0.8s往复一次．答案：0.87.如图，电流强度I(单位：安)随时间t(单位：秒)变化的函数I＝Asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωt＋\f(π,6)))(A>0，ω≠0)的图象，则当t＝eq\f(1,50)秒时，电流强度是________安．解析：由图象可知，A＝10，周期T＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,300)－\f(1,300)))＝eq\f(1,50)，所以ω＝eq\f(2π,T)＝100π，所以I＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(100πt＋\f(π,6))).当t＝eq\f(1,50)秒时，I＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2π＋\f(π,6)))＝5(安)．答案：58．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acoseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)?x－6?))(x＝1,2,3，…，12)来表示．已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.解析：依题意知，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋A＝28，,a－A＝18，))则a＝eq\f(28＋18,2)＝23，A＝eq\f(28－18,2)＝5，则y＝23＋5coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,6)?x－6?))，当x＝10时，y＝23＋5coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)×4))＝20.5(℃)．答案：20.59.如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.(1)求这一天的最大用电量和最小用电量．(2)写出这段曲线的函数解析式．解：(1)最大用电量为50万kW·h，最小用电量为30万kW·h.(2)观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，所以A＝eq\f(1,2)×(50－30)＝10，b＝eq\f(1,2)×(50＋30)＝40.因为eq\f(1,2)×eq\f(2π,ω)＝14－8，所以ω＝eq\f(π,6).所以y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋φ))＋40.将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝eq\f(π,6).所以所求解析式为y＝10sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)x＋\f(π,6)))＋40，x∈[8,14]．10．某动物种群数量1月1日低至700,7月1日高至900，其总量在此两值之间依正弦型曲线变化．(1)求出种群数量y关于时间t的函数解析式；(2)画出种群数量y关于时间t变化的草图．(其中t以年初以来经过的月份数为计量单位)解：(1)设表示该曲线的函数为y＝Asin(ωt＋a)＋b(A＞0，ω＞0，|a|＜π)．由已知平均数为800，最高数与最低数差为200，数量变化周期为12个月，故振幅A＝eq\f(200,2)＝100，ω＝eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，b＝800.又∵7月1日种群数量达到最高，∴eq\f(π,6)×6＋a＝eq\f(π,2)＋2kπ(k∈Z)．又∵|a|＜π，∴a＝－eq\f(π,2).故种群数量y关于时间t的函数解析式为y＝800＋100sineq\f(π,6)(t－3)．(2)种群数量关于时间变化的草图如图．层级二应试能力达标1.如图所示的是一个半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y(米)与时间t(秒)满足关系式y＝Asin(ωt＋φ)＋2，则()A．ω＝eq\f(15,2π)，A＝3 B．ω＝eq\f(2π,15)，A＝3C．ω＝eq\f(2π,15)，A＝5 D．ω＝eq\f(15,2π)，A＝5解析：选B由题意知A＝3，ω＝eq\f(2π×4,60)＝eq\f(2,15)π.2．商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一节某商场的人流量满足函数F(t)＝50＋4sineq\f(t,2)(t≥0)，则在下列哪个时间段内人流量是增加的？()A．[0,5] B．[5,10]C．[10,15] D．[15,20]解析：选C由2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(t,2)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，知函数F(t)的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10,15]?[3π，5π]．3．动点A(x，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周，已知时间t＝0时，点A的坐标是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，则当0≤t≤12时，动点A的纵坐标y关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是()A．[0,1] B．[1,7]C．[7,12] D．[0,1]，[7,12]解析：选D∵T＝12，∴eq\f(2π,12)＝eq\f(π,6)，从而可设y关于t的函数为y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ)).又t＝0时，y＝eq\f(\r(3),2)，即sinφ＝eq\f(\r(3),2)，不妨取φ＝eq\f(π,3)，∴y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋\f(π,3))).∴当2kπ－eq\f(π,2)≤eq\f(π,6)t＋eq\f(π,3)≤2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，即12k－5≤t≤12k＋1(k∈Z)时，该函数递增，∵0≤t≤12，∴函数的单调递增区间为[0,1]，[7,12]．4．有一冲击波，其波形为函数y＝－sineq\f(πx,2)的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰，则正整数t的最小值是()A．5 B．6C．7 D．8解析：选C由y＝－sineq\f(πx,2)的图象知，要使在区间[0，t]上至少有2个波峰，必须使区间[0，t]的长度不小于2T－eq\f(T,4)＝eq\f(7T,4)，即t≥eq\f(7,4)·eq\f(2π,|ω|)＝eq\f(7,4)·eq\f(2π,\f(π,2))＝7，故选C.5．下图表示相对于平均海平面的某海湾的水面高度h(m)在某天0～24时的变化情况，则水面高度h关于时间t的函数解析式为____________________．解析：根据题图设h＝A·sin(ωt＋φ)，则A＝6，T＝12，eq\f(2π,ω)＝12，∴ω＝eq\f(π,6)，点(6,0)为“五点”作图法中的第一点，∴eq\f(π,6)×6＋φ＝0，∴φ＝－π，∴h＝6·sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－π))＝－6·sineq\f(π,6)t，t∈[0,24]．答案：h＝－6sineq\f(π,6)t，t∈[0,24]6．一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示，则可近似地描述该物体的位置y和时间t之间的关系的一个三角函数式为________.t00.10.20.30.40.50.60.70.8y－4.0－2.80.02.84.02.80.0－2.8－4.0解析：设y＝Asin(ωt＋φ)，则从表中可以得到A＝4，T＝0.8，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,0.8)＝eq\f(5π,2).又由4sinφ＝－4.0，可得sinφ＝－1，取φ＝－eq\f(π,2)，故y＝4sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,2)t－\f(π,2)))，即y＝－4coseq\f(5π,2)t.答案：y＝－4coseq\f(5π,2)t7．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距12h，低潮时水的深度为8.4m，高潮时为16m，一次高潮发生在10月10日4：00.每天涨潮落潮时，水的深度d(m)与时间t(h)近似满足关系式d＝Asin(ωt＋φ)＋h.(1)若从10月10日0：00开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深d(m)和时间t(h)之间的函数关系；(2)10月10日17：00该港口水深约为多少？(精确到0.1m)(3)10月10日这一天该港口共有多少时间水深低于10.3m?解：(1)依题意知T＝eq\f(2π,ω)＝12，故ω＝eq\f(π,6)，h＝eq\f(8.4＋16,2)＝12.2，A＝16－12.2＝3.8，所以d＝3.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t＋φ))＋12.2.又因为t＝4时，d＝16，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,6)＋φ))＝1，所以φ＝－eq\f(π,6)，所以d＝3.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋12.2.(2)t＝17时，d＝3.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(17π,6)－\f(π,6)))＋12.2＝3.8sineq\f(2π,3)＋12.2≈15.5(m)．(3)令3.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＋12.2＜10.3，有sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)t－\f(π,6)))＜－eq\f(1,2)，因此2kπ＋eq\f(7π,6)＜eq\f(π,6)t－eq\f(π,6)＜2kπ＋eq\f(11π,6)(k∈Z)，所以2kπ＋eq\f(4π,3)＜eq\f(π,6)t＜2kπ＋2π，k∈Z，所以12k＋8＜t＜12k＋12.令k＝0，得t∈(8,12)；令k＝1，得t∈(20,24)．故这一天共有8h水深低于10.3m.8.如图为一个观光缆车示意图，该观光缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m,60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设点B与地面距离为h.(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．解：(1)由题意可作图如图．过点O作地面平行线ON，过点B作ON的垂线BM交ON于点M.当θ＞eq\f(π,2)时，∠BOM＝θ－eq\f(π,2).h＝|OA|＋0.8＋|BM|＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2)))；当0≤θ≤eq\f(π,2)时，上述解析式也适合．则h与θ间的函数解析式为h＝5.6＋4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,2))).(2)点在⊙O上逆时针运动的角速度是eq\f(2π,60)＝eq\f(π,30)，∴t秒转过的弧度数为eq\f(π,30)t，∴h＝4.8sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,30)t－\f(π,2)))＋5.6，t∈[0，＋∞)．(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．y＝sineq\f(x,2)是()A．周期为4π的奇函数 B．周期为eq\f(π,2)的奇函数C．周期为π的偶函数 D．周期为2π的偶函数解析：选Ay＝sineq\f(x,2)为奇函数，T＝eq\f(2π,\f(1,2))＝4π，故选A.2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是()A．3 B．6C．18 D．36解析：选C∵l＝αr，∴6＝1×r.∴r＝6.∴S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×6×6＝18.3．若－eq\f(π,2)＜α＜0，则点P(tanα，cosα)位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选B∵－eq\f(π,2)＜α＜0，∴tanα<0，cosα＞0，∴点P(tanα，cosα)位于第二象限．4．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝()A．eq\f(4,5) B．－eq\f(4,5)C．eq\f(3,5) D．－eq\f(3,5)解析：选B∵角θ的终边过(4，－3)，∴cosθ＝eq\f(4,5).∴cos(π－θ)＝－cosθ＝－eq\f(4,5).5．函数y＝1－sinx，x∈[0,2π]的大致图象是()解析：选B取x＝0，则y＝1，排除C、D；取x＝eq\f(π,2)，则y＝0，排除A，选B.6．已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，则sin2α－sinαcosα的值是()A．eq\f(2,5) B．－eq\f(2,5)C．－2 D．2解析：选A由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，得12cosα＝6sinα，即tanα＝2，所以sin2α－sinαcosα＝eq\f(sin2α－sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(tan2α－tanα,tan2α＋1)＝eq\f(2,5).7．函数y＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－x))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))且x≠0))的值域为()A．[－1,1] B．(－∞，－1]∪[1，＋∞)C．(－∞，1] D．[－1，＋∞)解析：选B∵x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,4)))且x≠0，∴eq\f(π,2)－x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(3π,4)))且eq\f(π,2)－x≠eq\f(π,2)，即eq\f(π,2)－x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))∪eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))，当eq\f(π,2)－x∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(π,2)))时，y≥1；当eq\f(π,2)－x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，\f(3π,4)))时，y≤－1，∴函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．8．将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移eq\f(π,3)个单位，得到的图象对应的解析式为()A．y＝sineq\f(1,2)x B．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,2)))C．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6))) D．y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))解析：选C将函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,3)))的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x变为eq\f(1,2)x，即可得y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,3)))，然后将其图象向左平移eq\f(π,3)个单位，即将x变为x＋eq\f(π,3).∴y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,3)))－\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x－\f(π,6))).9.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋BA＞0，ω＞0，|φ|＜eq\f(π,2)的周期为T，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是()A．A＝3，T＝2π B．B＝－1，ω＝2C．T＝4π，φ＝－eq\f(π,6) D．A＝3，φ＝eq\f(π,6)解析：选C由题图可知T＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)＋\f(2π,3)))＝4π，A＝eq\f(1,2)(2＋4)＝3，B＝－1.∵T＝4π，∴ω＝eq\f(1,2).令eq\f(1,2)×eq\f(4π,3)＋φ＝eq\f(π,2)，得φ＝－eq\f(π,6).10．设函数f(x)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,3)))，则下列结论正确的是()A．f(x)的图象关于直线x＝eq\f(π,3)对称B．f(x)的图象关于点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，0))对称C．把f(x)的图象向左平移eq\f(π,12)个单位，得到一个偶函数的图象D．f(x)的最小正周期为π，且在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上为增函数解析：选C当x＝eq\f(π,3)时，2x＋eq\f(π,3)＝π，f(x)＝sinπ＝0，不合题意，A不正确；当x＝eq\f(π,4)时，2x＋eq\f(π,3)＝eq\f(5π,6)，f(x)＝sineq\f(5π,6)＝eq\f(1,2)，B不正确；把f(x)的图象向左平移eq\f(π,12)个单位，得到函数y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＋\f(π,3)))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝cos2x，是偶函数，C正确；当x＝eq\f(π,12)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,12)))＝sineq\f(π,2)＝1，当x＝eq\f(π,6)时，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))＝sineq\f(2π,3)＝eq\f(\r(3),2)＜1，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))上f(x)不是增函数，D不正确．11．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))的部分图象如图所示，则函数f(x)的一个单调递增区间是()A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7π,12)，\f(5π,12)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(7π,12)，－\f(π,12)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,4)，\f(π,6)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(11π,12)，\f(17π,12)))解析：选D由图象可得eq\f(1,4)T＝eq\f(2,3)π－eq\f(5,12)π，∴T＝π，则ω＝2.又图象过点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,12)π，2))，∴2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(5,12)π＋φ))＝2，∴φ＝－eq\f(π,3)，∴f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,3)))，其单调递增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,12)，kπ＋\f(5,12)π))(k∈Z)，取k＝1，即得选项D.12．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为()A．41米 B．43米C．78米 D．118米解析：选B摩天轮转轴离地面高160－eq\f(156,2)＝82(米)，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(π,15)，摩天轮上某个点P离地面的高度h(米)与时间t(分钟)的函数关系是h＝82－78coseq\f(π,15)t，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h＝82－78coseq\f(π,15)t＝82－78×eq\f(1,2)＝43(米)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)13．已知sin(π－α)＝－eq\f(2,3)，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，则tan(2π－α)＝________.解析：sin(π－α)＝sinα＝－eq\f(2,3)，∵α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，0))，∴cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(\r(5),3)，tan(2π－α)＝－tanα＝－eq\f(sinα,cosα)＝eq\f(2\r(5),5).答案：eq\f(2\r(5),5)14．已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的最大值为3，最小正周期是eq\f(2π,7)，初相是eq\f(π,6)，则这个函数的解析式为________________．解析：由题意，知A＝3，ω＝eq\f(2π,T)＝eq\f(2π,\f(2π,7))＝7，φ＝eq\f(π,6)，∴y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(π,6))).答案：y＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(7x＋\f(π,6)))15．已知函数y＝tanωx(ω＞0)的图象的相邻两支截直线y＝1和y＝2所得的线段长分别为m，n，则m，n的大小关系是________．解析：∵两条直线所截得的线段长都为y＝tanωx(ω＞0)的最小正周期，∴m＝n＝eq\f(π,ω).答案：m＝n16．将函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ωx－\f(π,3)))(ω＞0)的图象向左平移eq\f(π,3ω)个单位得到函数y＝g(x)的图象．若y＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上为增函数，则ω的最大值为______．解析：根据题意得g(x)＝2sinωx，又y＝g(x)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，\f(π,4)))上为增函数，∴eq\f(T,4)≥eq\f(π,4)，即ω≤2，所以ω的最大值为2.答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝eq\f(1,2)，求eq\f(cos?3π＋θ?,cosθ[cos?π＋θ?－1])＋eq\f(cos?θ－4π?,cos?θ＋2π?cos?3π＋θ?＋cos?－θ?)的值．解：因为coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋θ))＝－sinθ，所以sinθ＝－eq\f(1,2).原式＝eq\f(－cosθ,cosθ?－cosθ－1?)＋eq\f(cosθ,cosθ?－cosθ?＋cosθ)＝eq\f(1,1＋cosθ)＋eq\f(1,1－cosθ)＝eq\f(2,1－cos2θ)＝eq\f(2,sin2θ)＝8.18．(本小题满分12分)设函数f(x)＝sin(2x＋φ)(－π＜φ＜0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线x＝eq\f(π,8).(1)求φ；(2)求函数y＝f(x)的单调增区间．解：(1)∵x＝eq\f(π,8)是函数y＝f(x)的图象的对称轴，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2×\f(π,8)＋φ))＝±1.∴eq\f(π,4)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∵－π＜φ＜0，∴φ＝－eq\f(3π,4).(2)由(1)知φ＝－eq\f(3π,4)，因此y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4))).由题意得2kπ－eq\f(π,2)≤2x－eq\f(3π,4)≤2kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z.∴kπ＋eq\f(π,8)≤x≤kπ＋eq\f(5π,8)，k∈Z.∴函数y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(3π,4)))的单调增区间为eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,8)，kπ＋\f(5π,8)))，k∈Z.19．(本小题满分12分)函数f(x)＝3sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))的部分图象如图所示．(1)写出f(x)的最小正周期及图中x0，y0的值．(2)求f(x)在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,12)))上的最大值和最小值．解：(1)f(x)的最小正周期为π，x0＝eq\f(7π,6)，y0＝3.(2)因为x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，－\f(π,12)))，所以2x＋eq\f(π,6)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(5π,6)，0))，于是当2x＋eq\f(π,6)＝0，即x＝－eq\f(π,12)时，f(x)取得最大值0；当2x＋eq\f(π,6)＝－eq\f(π,2)，即x＝－eq\f(π,3)时，f(x)取得最小值－3.20．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2ωx＋\f(π,6)))＋1(其中0＜ω＜1)，若点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，1))是函数f(x)图象的一个对称中心．(1)试求ω的值．(2)先列表，再作出函数f(x)在区间x∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)，1))是函数f(x)图象的一个对称中心，所以－eq\f(ωπ,3)＋eq\f(π,6)＝kπ，k∈Z，所以ω＝－3k＋eq\f(1,2)，k∈Z.因为0＜ω＜1，所以k＝0，ω＝eq\f(1,2).(2)由(1)知f(x)＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,6)))＋1，x∈[－π，π]．列表如下，x＋eq\f(π