河北省张家口市赵家蓬区黄金坎中学2023年高三数学理测试题含解析

河北省张家口市赵家蓬区黄金坎中学2023年高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数y=f（x）的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则对称点（A，B）为y=f（x）的“孪生点对”，点对（A，B）与（B，A）可看作同一个“孪生点对”，若函数f（x）=恰好有两个“孪生点对”，则实数a的值为（）A．4 B．2 C．1 D．0参考答案：D【考点】5B：分段函数的应用．【分析】求出函数关于原点对称的函数，函数f（x）=恰好有两个“孪生点对”，转化为x＜0时，函数的极大值为2，即可得出结论．【解答】解：由题意，x≥0，f（x）=﹣x3+6x2﹣9x+2﹣a，关于原点对称的函数为f（x）=﹣x3﹣6x2﹣9x﹣2+a（x＜0），∵函数f（x）=恰好有两个“孪生点对”，∴x＜0时，函数的极大值为2，f′（x）=﹣3（x+3）（x+1），函数在（﹣∞，﹣3），（﹣1，0）单调递减，（﹣3，﹣1）单调递增，∴x=﹣1时取得极大值，即1﹣6+9﹣2+a=2，∴a=0，故选D．【点评】本题主要考查新定义题目，读懂题意，确定x＜0时，函数的极大值为2是解决本题的关键．2.数列是首项的等比数列，且，，成等差数列，则其公比为（

）

A．

B.

C.

或

D.参考答案：C3.定义一种运算符号“”，两个实数a，b的“ab”运算原理如图所示，若输人，，则输出P＝

（）、

、

、

、—参考答案：【知识点】算法与程序框图.

L1

【答案解析】A

解析：因为输入的a=1,b=2所以不成立，所以P=b(a+1)=2=4，故选A.【思路点拨】由已知得输入的a,b值依次为1,2，不满足，所以输出P＝4.4.若

与

在区间上都是减函数，则的取值范围是（

）A．（-1,0）（0,1）

B.（-1,0）

C.（0,1）

D.参考答案：D略5.命题“，”的否定是（

）． A．， B．，C．， D．，参考答案：A特称命题的否定将改为，故选．6.已知i为虚数单位，复数z满足：，则z在复平面内对应点的坐标为（

）A.(0,1) B.(0,－1) C.(1,0) D.(－1,0)参考答案：B【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简即可．【详解】由，得，∴复数z在复平面内对应的点为（0，﹣1），故选：B．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．7.不等式组的解集记为,若,则的最大值是(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：A8.已知函数，若，则（

）

参考答案：A，，所以解得9.数列{an}满足：存在正整数T，对于任意正整数n都有an＋T＝an成立，则称数列{an}为周期数列，周期为T.已知数列{an}满足a1＝m(m＞0)，则下列结论中错误的是()A．若m＝，则a5＝3 B．若a3＝2，则m可以取3个不同的值C．若m＝，则数列{an}是周期为3的数列 D．?m∈Q且m≥2，使得数列{an}是周期数列参考答案：D10.已知集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B的子集个数为（）A．8 B．2 C．4 D．7参考答案：A【考点】16：子集与真子集．【分析】根据B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，求出集合B中的元素个数，含有n个元素的集合，其子集个数为2n个．【解答】解：集合A={0，1}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，当x=0，y=0时，z=0，当x=0，y=1或x=1，y=0时，z=1，当x=1，y=1时，z=2，∴集合B含有3个元素，其子集个数为23=8个．故选A．【点评】本题主要考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有n个元素的集合，其子集个数为2n个．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，则甲、乙不在同一兴趣小组的概率为．参考答案：

【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】先求出基本事件总数n=3×3=9，再求出甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，由此能求出甲、乙不在同一兴趣小组的概率．【解答】解：∵某校有三个兴趣小组，甲、乙两名学生每人选择其中一个参加，且每人参加每个兴趣小组的可能性相同，∴基本事件总数n=3×3=9，甲、乙不在同一兴趣小组包含的基本事件个数m=3×2=6，∴甲、乙不在同一兴趣小组的概率p=．故答案为：．12.若，则=

．参考答案：13.在钝角△ABC中，∠A为钝角，令=，=，若=x+y（x，y∈R）．现给出下面结论：①当x=时，点D是△ABC的重心；②记△ABD，△ACD的面积分别为S△ABD，S△ACD，当x=时，；③若点D在△ABC内部（不含边界），则的取值范围是；④若=λ，其中点E在直线BC上，则当x=4，y=3时，λ=5．其中正确的有

（写出所有正确结论的序号）．参考答案：①②③【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】①设BC的中点为M，判断是否与相等即可；②设，，将△ABD，△ACD的面积转化为△APD，△AQD的面积来表示；③求出x，y的范围，利用线性规划知识求出的范围；④用表示出，根据共线定理解出λ．【解答】解：①设BC的中点为M，则=，当x=y=时，=，∴D为AM靠近M的三等分点，故D为△ABC的重心．故①正确．②设，，则S△APD=S△ABD，S△AQD=S△ACD，∵，∴S△APD=S△AQD，即S△ABD=S△ACD，∴，故②正确．③∵D在△ABC的内部，∴，作出平面区域如图所示：令=k，则k为过点N（﹣2，﹣1）的点与平面区域内的点（x，y）的直线的斜率．∴k的最小值为kNS=，最大值为kNR=1．故③正确．④当x=4，y=3时，，∵，∴=，∵E在BC上，∴=1，λ=7，故④错误．故答案为：①②③．14.程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是_________;参考答案：3115.如图，已知一块半径为1的残缺的半圆形材料MNQ，O为半圆的圆心，.现要在这块材料上裁出一个直角三角形.若该三角形一条边在MN上，则裁出三角形面积的最大值为

．参考答案：要裁出三角形面积的最大如图:令则三角形面积，令解得当，时取得最值，则

16.已知函数．如下定义一列函数：，，，……，，……，，那么由归纳推理可得函数的解析式是

．参考答案：17.如图正四面体ABCD，E为棱BC上的动点，则异面直线BD和AE所成角的余弦值的范围为_______．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本题满分12分）复数，（其中，为虚数单位）.在复平面上，复数、能否表示同一个点，若能，指出该点表示的复数；若不能，说明理由．参考答案：【测量目标】数学基本知识和基本技能/理解或掌握初等数学中有关数与运算的基本知识.【知识内容】数与运算/复数初步/复平面；函数与分析/三角比/二倍角及半角的正弦、余弦、正切.【参考答案】设复数，能表示同一个点，则,

……3分解得或.

………………7分当时，得，此时.

……………9分当时，得，此时.

……………11分综上，复平面上该点表示的复数为或．

……………12分19.(14分)已知函数.(1)当时,求函数的单调区间;(2)若函数有两个极值点,且,求证:;(3)设,对于任意时,总存在,使成立,求实数的取值范围.参考答案：(1)当时,,令或,,的递增区间为和,递减区间为.(2)由于有两个极值点,则有两个不等的实根,设,在上递减,,即.(3),,,在递增,,在上恒成立令,则在上恒成立,又当时，,在(2,4)递减,,不合;当时,,①时,在(2,)递减,存在,不合;②时,在(2,4)递增,,满足.综上,实数的取值范围为.20.（本小题满分12分）已知集合A为函数的定义域，集合.（I）若，求a的值；（II）求证是的充分不必要条件.参考答案：21.已知函数，.（Ⅰ）证明：，直线都不是曲线的切线；（Ⅱ）若，使成立，求实数的取值范围.参考答案：（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）设出切点，分别用函数的导数值和直线的两点表示斜率，得方程，发现方程的解为，与定义域矛盾；（Ⅱ）原问题转化为，令，,则，使成立，讨论函数的最小值即可.（Ⅱ）即，令，，则，使成立，，（1）当时，，在上为减函数，于是，由得，满足，所以符合题意；（2）当时，由及的单调性知在上为增函数，所以，即，①若，即，则，所以在上为增函数，于是，不合题意；②若，即则由，及的单调性知存在唯一，使，且当时，，为减函数；当时，，为增函数；所以，由得，这与矛盾，不合题意.综上可知，的取值范围是.【方法点睛】利用导数解决不等式有解问题的“两种”常用方法(1)