2023年小升初几何真题和专项训练

北京名校小升初真题（几何篇)时间:１5分钟满分5分姓名＿＿__＿____测试成绩__＿___＿__１（2023清华附中考题)如图，在三角形ABC中，,D为BＣ的中点,E为ＡB上的一点，且BE=AＢ,已知四边形EDCA的面积是35,求三角形ＡBC的面积．2(２023西城实验考题)四个完全同样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)假如小正方形面积是１平方米,大正方形面积是５平方米,那麽直角三角形中,最短的直角边长度是＿_____米．３（2023101中学考题)一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪.一看到小灵通,王师傅热情地招呼，说:“小灵通，听说你很会动脑筋,我也想问问你,这块草坪我把它提成东、西、南、北四部分(如图)．修剪西部、东部、南部各需10分钟,１6分钟，20分钟.请你想一想修剪北部需要多少分钟?4（202３三帆中学考题)右图中AB＝3厘米,CD=12厘米,ＥＤ=8厘米,AＦ=7厘米.四边形ABDＥ的面积是5(2023北大附中考题)三角形ABC中，C是直角,已知AC=2,CD＝2,CB=3，ＡM=BM，那么三角形AMN(阴影部分)的面积为多少?【附答案】1根据定理:==，所以四边形ＡCDE的面积就是6－1＝５份，这样三角形３5÷5×6＝４2。2小正方形面积是1平方米,大正方形面积是5平方米，所以外边四个面积和是5-1=４，所以每个三角形的面积是１，这个图形是“玄形”,所以长直角边和短直角边差就是中间正方形的边长,所以求出短边长就是１。３如下所示：将北部提成两个三角形，并标上字母那么有,即有，解得.所以修剪北部草坪需要2０＋２4=4４分钟.评注：在本题中使用到了比例关系,即：S△ABG：S△AGC＝Ｓ△AＧE:S△ＧEC＝ＢE:ＥC；S△BＧＡ:S△BＧC=S△AGF:S△ＧFC=ＡＦ：FC;Ｓ△AＧＣ：S△ＢＣG=S△AＤG：S△DGB=AD:ＤB；有时把这种比例关系称之为燕尾定理.4四边形AFＤC的面积=三角形AFD+三角形ＡＤC=（×FＤ×AＦ）+(×ＡＣ×CD）=(ＦＥ+ED）×AF＋(AB+ＢC)×ＣD=（×FＥ×AF＋×ED×AF)＋（×AB×CD+×BＣ×CD)。所以阴影面积=四边形AFＤC-三角形ＡＦE—三角形ＢＣD=（×ＦE×AF+×ED×AF）+（×AB×ＣD＋×ＢC×CＤ)-×FE×ＡF-×BＣ×ＣD=×ED×ＡF+×ＡB×CD=×８×7+×3×１2=28+18=46。5由于缺少尾巴，所以连接BＮ如下,的面积为3×2÷2＝3这样我们可以根据燕尾定理很容易发现：=ＣＤ：ＢD＝2：1;同理:=ＢM：ＡＭ＝1：1;设面积为１份，则的面积也是１份,所以得面积就是1+1=2份，而:=CＤ：ＢD=2：1,所以得面积就是4份；：=ＢM:AM=1：1，所以也是4份,这样的面积总共提成4+4+1+１=10份,所以阴影面积为３×=。希望考入重点中学？奥数网是我们成就梦想的地方！希望考入重点中学？奥数网是我们成就梦想的地方！一、小升初考试热点及命题方向几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在1２-14分（包含1道大题和2道左右的小题）。特别重要的就是平面图形中的面积计算,几何从内容方面,可以简朴的分为直线形面积（三角形四边形为主),圆的面积以及两者的综合。其中直线形面积近年来考的比较多，值得我们重点学习。从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识。二、２０23年考点预测2０２3年的小升初考试将继续以大题形式考察几何,命题的热点在于等积变换和燕尾定理在求解三角形面积里的运用．同时还需要重点关注在长方形和平行四边形框架内运用边长比等于相似比的定理,请老师重点补充沙漏原理的讲解。三、典型例题解析１等积变换在三角形中的运用一方面我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积=1/２×底×高因此我们有【结论1】等底的三角形面积之比等于相应高的比【结论2】等高的三角形面积之比等于相应底的比这2个结论看起来很显然，可大家小看它们，在许多和三角形面积比有关的题目中它们都能发挥巨大的作用，由于它们把三角形的面积比转化为了线段的比，我们来看下面的例题。【例1】（★★)如图，四边形ＡBCD中,ＡC和BD相交于Ｏ点,三角形ADＯ的面积=5,三角形DOＣ的面积=4,三角形AOＢ的面积＝1５，求三角形BＯＣ的面积是多少?【解】：Ｓ△ADＯ=5,Ｓ△DOC＝4根据结论2，△AＤＯ与△DOC同高所以面积比等于底的比,即ＡO／ＯC＝5:4同理S△ＡOB/S△BOC=ＡＯ/OＣ=5:４,由于S△AOB＝15所以S△BOC=12。【总结】从这个题目我们可以发现,题目的条件和结论都是三角形的面积比，我们在解题过程中借助结论2,先把面积比转化成线段比,再把线段比用结论2转化成面积比，解决了问题。事实上，这2次转化的过程就相称于在条件和结论中搭了一座“桥梁”，请同学们体会一下。【拓展】S△AOD×Ｓ△BOC＝S△CＯD×S△ＡOB，也合用于任意四边形。【练习】如下图,某公园的外轮廓是四边形ＡBＣD,被对角线AC、ＢD提成四个部分，△AOB面积为１平方千米，△BＯC面积为2平方千米，△CＯＤ的面积为３平方千米,公园陆地的面积是6.9２平方千米,求人工湖的面积是多少平方千米？【例2】（★★）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为２:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？【解】：粗线面积：黄面积=2:3，绿色面积是折叠后的重叠部分,减少的部分就是由于重叠才变少的，这样可以设总共3份，后来粗线变２份,减少的绿色部分为１份,所以阴影部分为2-１=1份,【总结】份数在小升初中运用的相称广,一定要养成这个思想!燕尾定理在三角形中的运用下面我们再介绍一个非常有用的结论:【燕尾定理】：在三角形ＡBC中，AD,ＢE,CＦ相交于同一点Ｏ，那么S△ＡBO:S△ACO=BD：DC【证明】:根据结论２ＢＤ/DC＝Ｓ△ＡBＤ/S△ADC=S△ＢOＤ/Ｓ△COD因此BD/DC＝(S△ABD-S△BOD)/(S△ADC-S△ＣOD）=S△AＢＯ／S△AＣＯ证毕上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，由于△ABO和△ＡＣO的形状很象燕子的尾巴，所以这个定理被称为燕尾定理。该定理在许多几何题目中都有着广泛的运用。【例３】（★★★)在△ABＣ中=２:1，＝1:３,求=？【分析】题目求的是边的比值,我们可以通过度别求出每条边的值再作比值,也可以通过三角形的面积比来做桥梁,但题目没告诉我们边的长度，所以方法二是我们要首选的方法。本题的图形一看就知道是燕尾定理的基本图,但2个燕尾似乎少了一个，因此应当补全,所以第一步我们要连接OC。【解】:连接OC由于AE:EC=1:3(条件)，所以Ｓ△ＡOＥ/Ｓ△CＯE=1:3若设S△AOE=x,则S△CＯE=3x,所以S△ＡOC＝4x,根据燕尾定理S△AOB/S△AOＣ＝BＤ/DC=2:1，所以S△AＯB=8x,所以BO/ＯＥ=S△ＡＯB/S△ＡOE=8x/x=8:1。【例4】(★★★)三角形ABＣ中，Ｃ是直角，已知AC＝2，CD=2,CB=3,AM=BM，那么三角形ＡＭN(阴影部分)的面积为多少?【解】:由于缺少尾巴,所以连接BＮ如下,的面积为3×２÷２=3这样我们可以根据燕尾定理很容易发现：=CD：BD=２：1;同理:=BＭ:AM=1：1；设面积为1份,则的面积也是1份，所以得面积就是1+1=2份，而:=CＤ：ＢＤ=2：１,所以得面积就是4份;:=BM：AM=1：1，所以也是4份，这样的面积总共提成4+4+1＋1=1０份，所以阴影面积为3×=。定理需定理需牢记做题有信心！平行线定理在三角形中的运用(热点★★★)下面我们再来看一个重要定理:平行线的相关定理:(即运用求面积来间接求出线段的比例关系)同学们应当对下图所示的图形非常熟悉了.相交线段AＤ和AＥ被平行线段BC和ＤＥ所截，得到的三角形ＡＢC和ADE形状完全相似.所谓“形状完全相似”的含义是:两个三角形的相应角相等,相应边成比例．体现在右图中，就是AB：AＤ=ＢC:DE=AC：CＥ=三角形ABC的高:三角形ＡDE的高．这种关系称为“相似”，同学们上了中学将会进一步学习.相似三角形相应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习．在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分,有时还要通过翻转、平移等变化（如右下图),往往不易看出相似关系.如（右下图)AB平行于DE，有比例式AB：DE＝AC：CE=BＣ：ＣD，三角形ABC与三角形DEＣ也是相似三角形.下图形状要牢记并且要纯熟掌握比例式．【例5】（★★）如图所示，BＤ,CF将长方形ABCD提成4块,△DEＦ的面积是4cm,△CED的面积是6cm。问:四边形AＢEF的面积是多少平方厘米？【解】:方法一:连接BF，这样我们根据“燕尾定理”在梯形中的运用知道三角形BEＦ的面积和三角形EDC的面积相等也是6,再根据例1中的结论知道三角形BCE的面积为6×6÷4＝９,所以长方形的面积为:15×2＝30。四边形面积为３0-4-6－９＝11。方法二:EF/EC=4/6=２/3=ED/EB，进而有三角形CBE的面积为:６×3/2=９。则三角形CBD面积为15,长方形面积为15×2=３0。四边形面积为30－4－6-９＝１１。【例６】(★★★）如右图，单位正方形ABCD，Ｍ为ＡD边上的中点,求图中的阴影部分面积。【解1】:两块阴影部分的面积相等,ＡM/BC=GM/ＧB=,所以GB/BM=，而三角形ABG和三角形ＡＭＢ同高，所以S△BAG=S△ＡBM＝××１÷2=，所以阴影面积为×2=【解2】:四边形AMCB的面积为(0.5+1)×1÷2=，根据燕尾定理在梯形中的运用，知道:：：＝AM:BC：ＡＭ×BＣ:AM×BC＝：1::=1:4:2：2;所以四边形AＭＣB的面积提成1+4＋２+2＝９份，阴影面积占4份，所以面积为×=。【解３】:如右图，连结DG,有：S△ACM＝S△BAM（同底等高)，又S△BＡG=S△ADG（△BAG与△ADG关于AC对称）又S△ＡGM=S△ＧDＭ（等底同高)【例7】（★★★）如图，正方形AＢＣＤ的面积是1２０平方厘米，Ｅ是ＡB的中点,F是BC的中点,四边形BGHF的面积是____＿＿__平方厘米。【解】:解:延长EＢ到Ｋ,使BK＝CD。三角形EGK与三角形DGC成比例,DC：ＥK=2:3，所以DＧ：GK＝２:３，由于三角形DEK=9０，所以ＥGK＝90÷3／５＝54，所以四边形EBFＧ＝ＥGK-BKF＝24。同理，EB:DC=1:2,所以BＨ:HD=１:２，所以三角形EＢH=1/3EBD＝10所以，四边形BGHF的面积是２4－1０=14运用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系【例８】(★★)如图,正方形AＢCＤ的边长是4厘米,CG=3厘米，矩形DＥFＧ的长ＤG为5厘米,求它的宽DE等于多少厘米?【解】:连结ＡＧ,自A作ＡH垂直于ＤＧ于H，在△ADG中,AD=4，ＤC＝4（AＤ上的高）．

∴S△AGD=4×4÷2=８，又ＤG=５，∴S△AGＤ=ＡＨ×DG÷2，∴ＡH=８×2÷5=３.２（厘米)，∴DＥ=3.2(厘米)。【例9】(★★）如下图所示,四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。【证明】:这道题两个平行四边形的关系不太明了,似乎无从下手。我们添加一条辅助线，即连结CE（见图)，这时通过三角形ＤCE，就把两个平行四边形联系起来了。在平行四边形ABCD中,三角形ＤＣＥ的底是DC,高与平行四边形ABCD边DC上的高相等，所以平行四边形ABＣD的面积是三角形DCE的两倍;同理,在平行四边形DEFG中,三角形ＤＣＥ的底是DE，高与平行四边形ＤEFG边DE上的高相等,所以平行四边形DEFG的面积也是三角形ＤCE的两倍。ﻫ两个平行四边形的面积都是三角形DＣE的两倍,所以它们的面积相等。５差不变原理的运用【例10】（★★★)左下图所示的ABCD的边ＢC长1０cm,直角三角形BCE的直角边EC长8cｍ，已知两块阴影部分的面积和比△ＥＦＧ的面积大1０cm2,求ＣF的长。【解】:两块阴影部分的面积和比△ＥＦG的面积大10,两部分分别加上四边形BCＦG，这样四边形ABCD的面积比三角形BＥＣ的面积大１0cm２S△BCE=1/2×10×8=40所以四边形ABＣD的面积是50。底是10，所以高是5cｍ【例11】(★★★）如图，ABＣG是4×7的长方形，DEFG是2×1０的长方形,那么，三角形BＣM的面积与三角形DCＭ的面积之差是多少？［方法一]:[思路]:公共部分的运用,这是小升初的常用方法，纯熟找出公共部分是解题的关键。【解】:GＣ＝7，GD=10推出ＨE=3；ＢＣ=4，DE=2阴影ＢＣM面积－阴影MDE面积=(BCM面积＋空白面积）-(MDE面积+空白面积)=三角形BHE面积－长方形CＤEH面积=3×6÷２-３×2=3[总结]:对于公共部分要大胆的进行解决,这样可以把本来无关的面积联系起来,达成解题的目的．［拓展］:如图,已知圆的直径为20，S１－Ｓ2=12,求ＢＤ的长度？[方法二］：[思路]:画阴影的两个三角形都是直角三角形，而BC和DE均为已知的,所以关键问题在于求CM和ＤＭ．这两条线段之和CD的长是易求的，所以只要知道它们的长度比就可以了,这恰好可以运用平行线BC与DE截成的比例线段求得.解：ＧC=7，GD＝10知道ＣＤ=３；BC=4,DE=2知道BＣ:ＤE=CＭ：ＤＭ所以CM=２，ＭD＝1。阴影面积差为:4×2÷2-1×2÷2=3[方法三］:连接BDS—S=S—S=(３×4—2×3)÷2=3.6其他常考题型【例12】（★★)下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？【解】:连接ＡB（见右图)。由于∠AOB=∠COD，所以∠OAB＋∠OＢA=∠ＯCE＋∠OEＣ。由此推知,五角星五个顶角之和等于三角形ＡＢD的三个内角之和，是1８0度。【例13】用同样大小的２2个小纸片摆成下图所示的图形，已知小纸片的长是1８厘米,求图中阴影部分的面积和。【解】：由图形的等量关系:５×长＝3×长＋3×宽,则宽=18×２/３=１２。再由弦图的特点，阴影中正方形的边长为18－12=６。可见阴影部分面积为３×6×6＝10８。小结本讲重要接触到以下几种典型题型：1）等积变换在三角形中的运用。参见例1，22）燕尾定理在三角形中的运用。参见例3，43）平行线定理在三角形中的运用。参见例５,６,74）运用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系。参见例８,９5)差不变原理的运用。参见例10,116)其他常考题型。参见例12，13【课外知识】春秋战国时代,一位父亲和他的儿子出征打战。父亲已做了将军，儿子还只是马前卒。又一阵号角吹响,战鼓雷鸣了,父亲庄严地托起一个箭囊,其中插着一只箭。父亲郑重对儿子说：“这是家袭宝箭，配带身边，力量无穷，但千万不可抽出来。”那是一个极其精美的箭囊，厚牛皮打制，镶着幽幽泛光的铜边儿，再看露出的箭尾。一眼便能认定用上等的孔雀羽毛制作。儿子喜上眉梢,贪婪地推想箭杆、箭头的模样，耳旁仿佛嗖嗖地箭声掠过,敌方的主帅应声折马而毙。果然,配带宝箭的儿子英勇非凡,所向披靡。当鸣金收兵的号角吹响时,儿子再也禁不住得胜的豪气,完全背弃了父亲的叮嘱,强烈的欲望驱赶着他呼一声就拔出宝箭，试图看个究竟。骤然间他惊呆了。一只断箭，箭囊里装着一只折断的箭。我一直刳着只断箭打仗呢！儿子吓出了一身冷汗，仿佛顷刻间失去支柱的房子，轰然意志坍塌了。结果不言自明，儿子惨死于乱军之中。拂开蒙蒙的硝烟,父亲拣起那柄断箭，沉重地啐一口道:“不相信自己的意志,永远也做不成将军。”把胜负寄托在一只宝箭上，多么愚蠢，而当一个人把生命的核心与把柄交给别人,又多么危险!比如把希望寄托在儿女身上;把幸福寄托在丈夫身上；把生活保障寄托在单位身上……温馨提醒:自己才是一只箭，若要它坚韧,若要它锋利,若要它百步穿杨,百发百中，磨砺它,拯救它的都只能是自己。作业题(注：作业题--例题类型对照表,供参考)题1，2—类型1；题3,4—类型5;题5，6—类型６;1、（★★）如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至Ｄ,使BD=AB；延长BC至E，使CE＝2ＢC;延长CＡ至Ｆ，使AF=3AＣ,求三角形DEＦ的面积。解：作辅助线FB，则SΔＢＡF＝３×SΔＡＢＣ＝1/２×SΔDAF；则有SΔＡBC＝1/６×SΔDAF；作辅助线AＥ,则ＳΔAＣE=2×SΔABC＝１／4×SΔCEF；则SΔABC＝１/8×SΔCEF;作辅助线CＤ,则有：SΔCBD＝SΔAＢC=1／３×SΔCEF;综上,三角形DEF由这四个三角形构成,那么由已求出的比例关系可知，三角形ＤEF的面积为１+6+8+3＝18。2、（★★)右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、３０公顷,问图中阴影部分的面积是多少?解：设定阴影部分面积为X,则不难由长方形面积公式看出比例关系为:X/3